2021年九年级中考数学 专题练习：多边形与平行四边形（含答案）

2021中考数学 专题练习：多边形与平行四边形

一、选择题

1. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为(　　)

A. 7  B. 7或8  C. 8或9  D. 7或8或9

2. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2，CD＝，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为，则点P的个数为(　　)

A. 1 　　　 B. 2 　　　　 C. 3 　　　 D. 4

3. 一个正多边形的每个外角不可能等于(　　)

A．30°    B．50°    C．40°    D．60°

4. （2020·泰安）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG﹦2cm，底边BC﹦6cm，∠B﹦45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形．若∠BEF﹦30°，则AF的长为（　　）

A．1cm B．cm C．（2—3）cm D．（2—）cm

5. 如图，ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是

A．EH=HG

B．四边形EFGH是平行四边形 

C．AC⊥BD

D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍

6. (2020·潍坊)如图，点E是□的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则□的周长为（    ）

A 21 B. 28 C. 34 D. 42

7. （2020·海南）如图，在□ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为(     )

A．16   B．17   C．24   D．25

8. 如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为

A． B． C． D．

二、填空题

9. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　　　　，使四边形ABCD是平行四边形. 

10. 如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S▱AEPH=　　　　. 

11. 如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．

12. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．

13. 如图，在ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为__________．

14. 如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝________°.

15. （2020·黔东南州）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为　　   ．

16. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为__________．

三、解答题

17. 如图，△ABC是正三角形，剪去三个边长均不相等的小正三角形(即△ADN，△BEF，△CGM)后，得到一个六边形DEFGMN.

(1)六边形DEFGMN的每个内角是多少度？为什么？

(2)六边形DEFGMN是正六边形吗？为什么？

18. （2020·重庆B卷）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．

（1）若∠BCF=60°，求∠ABC的度数；

（2）求证：BE=DF．

19. 如图①，在平行四边形ABCD中，连接BD，AD＝6cm，BD＝8cm，∠DBC＝90°，现将△AEF沿BD的方向匀速平移，速度为2cm/s，同时，点G从点D出发，沿DC的方向匀速移动，速度为2cm/s.当△AEF停止移动时，点G也停止运动，连接AD，AG，EG，过点E作EH⊥CD于点H，如图②所示，设△AEF的移动时间为t(s)(0＜t＜4)．

(1)当t＝1时，求EH的长度；

(2)若EG⊥AG，求证：EG2＝AE·HG；

(3)设△AGD的面积为y(cm2)，当t为何值时，y可取得最大值，并求y的最大值．

20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？

2021中考数学 专题训练：多边形与平行四边形-答案

一、选择题

1. 【答案】D　【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n，则180°(n－2)＝1080°，得出n＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n，则180°(n－2)＝1080°，得出n＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n，则180°(n－2)＝1080°，得出n＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.

2. 【答案】B　【解析】本题考查了直角三角形中的点到直线的距离. 解题思路：如解图，分别过点A和C作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F.⇒⇒AE＝2＞⇒AB、AD上各有一点到BD的距离为.同理，得CF＝1＜⇒AB、AD上没有点到BD的距离为.

3. 【答案】B　[解析] 设正多边形的边数为n，则当30°n＝360°时，n＝12，故A可能；当50°n＝360°时，n＝，不是整数，故B不可能；当40°n＝360°时，n＝9，故C可能；当60°n＝360°时，n＝6，故D可能．

4. 【答案】 D

【解析】本题考查了图形全等的概念、平行四边形的性质以及解直角三角形，过点F作FH⊥BC，垂足为H.

设AF=x，因为四边形ABCD是一张平行四边形纸片，所以AD=BC.因为沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，所以BE=DF，所以AF=EC=x．因为AG是BC边上的高，FH⊥BC，所以GH=AF=x.因为∠B=45°，AG=2，所以BG=2，则HE=6-2-2x=4-2x. 因为tan∠BEF=，所以HE===2，则4-2x=2，解得x=2-，因此本题选D．

5. 【答案】B

【解析】∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在ABCD中，AB=2，AD=4，

∴EH=AD=2，HG=AB=1，∴EH≠HG，故选项A错误；

∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，

∴EH=，

∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；

由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；

∵点E、F分别为OA和OB的中点，

∴EF=，EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴，

即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，

故选B．

6. 【答案】B

【解析】利用平行四边形、相似的有关性质解决问题.∵，DE=3，∴AE=6.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AB=CD,AB∥CD,∴△DEF∽△AEB, ∴,又DF=4，∵AB=8，∴□的周长为28.故选B.

7. 【答案】A

【解析】 在Rt△ABG中，AG＝＝＝6.∵四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠ADE＝∠AEB，∴AB＝BE，则CE＝BC－BE＝15－10＝5.又∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝12，则△ABE的周长为32.∵AB∥DF，∴△ABE∽△CFE，∴△ABE的周长：△CEF的周长＝BE：CE＝2：1，∴△CEF的周长为16.

8. 【答案】A

【解析】正方形ABCD中，∵BC=4，

∴BC=CD=AD=4，∠BCE=∠CDF=90°，

∵AF=DE=1，∴DF=CE=3，∴BE=CF=5，

在△BCE和△CDF中，，

∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴∠CBE=∠DCF，

∵∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90°=∠CGE，

cos∠CBE=cos∠ECG=，

∴，CG=，∴GF=CF﹣CG=5﹣=，

故选A．

二、填空题

9. 【答案】答案不唯一，如AD∥BC或AB=CD或∠A+∠B=180°等

10. 【答案】4　[解析]由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”可推出▱AEPH的面积等于▱PGCF的面积.

∵CG=2BG，∴BG∶BC=1∶3，BG∶PF=1∶2.

∵△BPG∽△BDC，且相似比为1∶3，

∴S△BDC=9S△BPG=9.

∵△BPG∽△PDF，且相似比为1∶2，

∴S△PDF=4S△BPG=4.

∴S▱AEPH=S▱PGCF=9-1-4=4.

11. 【答案】110°　【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CAB＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB交对角线AC于点E，∴∠ABE＝90°，∴∠2＝∠CAB＋∠ABE＝20°＋90°＝110°.

12. 【答案】36°　【解析】∵在▱ABCD中，∠D＝∠B＝52°，∴∠AEF＝∠DAE＋∠D＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF＝108°，由折叠的性质得，∠AED′＝∠AED＝108°，∴∠FED′＝∠AED′－∠AEF＝108°－72°＝36°.

13. 【答案】21°

【解析】设∠ADE=x，

∵AE=EF，∠ADF=90°，

∴∠DAE=∠ADE=x，DE=AF=AE=EF，

∵AE=EF=CD，∴DE=CD，

∴∠DCE=∠DEC=2x，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠BCA=x，

∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCA=63°﹣x，

∴2x=63°﹣x，解得x=21°，即∠ADE=21°；

故答案为：21°．

14. 【答案】75　【解析】∵多边形A1A2…A12是正十二边形，作它的外接圆⊙O，∴劣弧A10A3的度数＝5×＝150°，∴∠A3A7A10＝×150°＝75°.

15. 【答案】（2，﹣1）

【解析】∵▱ABCD是中心对称图形，它的对角线交点O为原点，点A（﹣2，1）与点C成中心对称，∴点C的纵、横坐标与点A的互为相反数．∴点C的坐标为（2，﹣1）.

16. 【答案】24

【解析】∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，BO=DO，

∵点E是BC的中点，

∴OE是△BCD的中位线，

∴CD=2OE=2×3=6，

∴菱形ABCD的周长=4×6=24；

故答案为：24．

三、解答题

17. 【答案】

解：(1)六边形DEFGMN的各个内角都是120°.

理由：∵△ADN，△BEF，△CGM都是正三角形，

∴它们的每个内角都是60°，即六边形DEFGMN的每个外角都是60°.

∴六边形DEFGMN的每个内角都是120°.

(2)六边形DEFGMN不是正六边形．

理由：∵三个小正三角形(即△ADN，△BEF，△CGM)的边长均不相等，

∴DN，EF，GM均不相等．

∴六边形DEFGMN不是正六边形．

18. 【答案】

（1）解： ∵CF平分∠BCD，∴∠BCD=2∠BCF.

∵∠BCF=60°，∴∠BCD=2×60°=120°.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.

∴∠ABC=180°-120°=60°.

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∠BAD=∠DCB.

∴∠ABE=∠CDF.

∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE=∠BAD=∠DCB=∠DCF.

在△ABE和△CDF中，∵∠ABE=∠CDF，AB=CD，∠BAE=∠DCF，

∴△ABE≌△CDF.

∴BE=DF.

19. 【答案】

(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，又∠DBC＝90°，

∴∠ADB＝90°，

又AD＝6cm，BD＝8cm，

由勾股定理得，AB＝＝10cm，

当t＝1时，EB＝2cm，

则DE＝8－2＝6cm，

∵EH⊥CD，∠DBC＝90°，

∴△DEH∽△DCB，

∴＝，即＝，

解得EH＝3.6cm；

(2)∵∠CDB＝∠AEF，

∴AE∥CD，

∴∠AEG＝∠EGH，又EG⊥AG，EH⊥CD，

∴△AGE∽△EHG，

∴＝，

∴EG2＝AE·HG；

(3)由(1)得，△DEH∽△DCB，

∴＝，即＝，

解得，EH＝，

∴y＝×DG×EH＝＝－t2＋t＝－(t－2)2＋，

∴当t＝2时，y的最大值为.

20. 【答案】

（1）点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为．

（2）①当M在OC上，Q在AB上时，．

在Rt△OPM中，OP＝t，，所以．

在Rt△AQE中，AQ＝2t，，所以．

于是．因此．

②当M在OC上，Q在BC上时，．

因为，所以．

因此．

③当M、Q相遇时，根据P、Q的路程和，解得．

因此当M、Q都在BC上，相遇前，，PM＝4，．

所以．

图2                         图3                         图4

（3）①当时，．

因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随t的增大而增大，

所以当时，S最大，最大值为．

②当时，．

因为抛物线开口向下，所以当时，S最大，最大值为．

③当时，．

因为S随t的增大而减小，所以当时，S最大，最大值为14．

综上所述，当时，S最大，最大值为．

考点伸展

第（2）题中，M、Q从相遇到运动结束，S关于t的函数关系式是怎样的？

此时， ．因此．

图5