2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》四(含答案)

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2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》四1.各项均不为0的数列{an}满足=an＋2an，且a3=2a8=.(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}的通项公式为bn=，求数列{bn}的前n项和Sn.           2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=－1，b1=1，a2＋b2=2．(1)若a3＋b3=5，求{bn}的通项公式；(2)若T3=21，求S3．              3.在数列{an}中，a＋2an＋1=anan＋2＋an＋an＋2，且a1=2，a2=5.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.            4.若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y=－x的图象上(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若c1=0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn=logan.求证：对任意正整数n≥2，总有≤＋＋＋…＋<.                5.已知数列{an}是等差数列，且a1，a2(a1<a2)分别为方程x2－6x＋5=0的两个实根．(1)求数列{an}的前n项和Sn；(2)在(1)中，设bn=，求证：当c=－时，数列{bn}是等差数列．          6.在等差数列{an}中，，．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求{bn}的前项和．       7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）已知a=bcosC+csinB，求B；（2）若a，b，c成等比数列，求证：B≤.        8.已知数列{an}满足an+1=λan+2n(n∈N*，λ∈R)，且a1=2．(1)若λ=1，求数列{an}的通项公式；(2)若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{an}的前n项和Sn．           9.已知正项等比数列{an}满足a1,2a2,a3+6成等差数列，且a42=9a1a3． （1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．        10.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（1）求{an}的通项公式；（2）求和：b1+b3+b5+…+b2n-1.         11.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3. （1）求数列{an}的通项公式；（2）{bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.           12.在数列{an}中，，（1）写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式；（2）证明这个数列的通项公式.            13.已知数列{an}的前n项和，数列{bn}满足=．(I)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}}的通项公式； (Ⅱ)设，数列{}的前n项和为Tn，求满足 的n的最大值。       14.已知数列{an},{cn}满足条件:a1=1,an+1=2an+1,cn=.(1)求证数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)求数列{cn}的前n项和Tn,并求使得am>对任意n∈N都成立的正整数m的最小值.       15.已知数列{an}的前n项和为，且.（1）求数列{an}的通项公式； （2）定义，其中为实数的整数部分，为的小数部分，且，记，求数列{cn}的前n项和. 
答案解析16.解：(1)证明：依题意，an＋1an＋an＋2an＋1=2an＋2an，两边同时除以anan＋1an＋2，可得＋=，故数列是等差数列，设数列的公差为d.因为a3=2a8=，所以=5，=10，所以－=5=5d，即d=1，故=＋(n－3)d=5＋(n－3)×1=n＋2，故an=.(2)由(1)可知bn==·=，故Sn==. 17.解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an=－1＋(n－1)d，bn=qn－1．由a2＋b2=2得d＋q=3．①(1)由a3＋b3=5得2d＋q2=6．②联立①和②解得(舍去)或因此{bn}的通项公式为bn=2n－1．(2)由b1=1，T3=21得q2＋q－20=0．解得q=－5或q=4．当q=－5时，由①得d=8，则S3=21．当q=4时，由①得d=－1，则S3=－6．  18.解：(1)证明：∵a＋2an＋1=anan＋2＋an＋an＋2，∴(an＋1＋1)2=(an＋1)(an＋2＋1)，即=.∵a1=2，a2=5，∴a1＋1=3，a2＋1=6，∴=2，∴数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，an＋1=3·2n－1，∴an=3·2n－1－1，∴Sn=－n=3·2n－n－3.  19.解：(1)∵Sn=－an，∴当n≥2时，an=Sn－Sn－1=an－1－an，∴an=an－1.又∵S1=－a1，∴a1=，∴an=×n－1=2n＋1.(2)证明：由cn＋1－cn=logan=2n＋1，得当n≥2时，cn=c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)=0＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2－1=(n＋1)(n－1)．∴＋＋＋…＋=＋＋＋…＋=×＋＋＋…＋==－<.又∵＋＋＋…＋≥=，∴原式得证．  20.解：(1)∵a1，a2(a1<a2)分别为方程x2－6x＋5=0的两个实根，∴a1=1，a2=5，∴等差数列{an}的公差为4，∴Sn=n·1＋·4=2n2－n.(2)证明：当c=－时，bn===2n，∴bn＋1－bn=2(n＋1)－2n=2，b1=2.∴数列{bn}是以2为首项，2为公差的等差数列.  21.22.解：23.解： 24.解： 25.解：  26.解： 27.解：  28. 29. 30.