2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》四 教师版

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LISTNUM OutlineDefault \l 3 各项均不为0的数列{an}满足eq \f(an＋1an＋an＋2,2)=an＋2an，且a3=2a8=eq \f(1,5).


(1)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，并求数列{an}的通项公式；


(2)若数列{bn}的通项公式为bn=eq \f(an,2n＋6)，求数列{bn}的前n项和Sn.


【答案解析】解：(1)证明：依题意，an＋1an＋an＋2an＋1=2an＋2an，两边同时除以anan＋1an＋2，


可得eq \f(1,an＋2)＋eq \f(1,an)=eq \f(2,an＋1)，故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的公差为d.


因为a3=2a8=eq \f(1,5)，所以eq \f(1,a3)=5，eq \f(1,a8)=10，所以eq \f(1,a8)－eq \f(1,a3)=5=5d，即d=1，


故eq \f(1,an)=eq \f(1,a3)＋(n－3)d=5＋(n－3)×1=n＋2，故an=eq \f(1,n＋2).


(2)由(1)可知bn=eq \f(an,2n＋6)=eq \f(1,2)·eq \f(1,n＋2n＋3)=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n＋2)－\f(1,n＋3)))，


故Sn=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－\f(1,4)＋\f(1,4)－\f(1,5)＋…＋\f(1,n＋2)－\f(1,n＋3)))=eq \f(n,6n＋3).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=－1，b1=1，a2＋b2=2．


(1)若a3＋b3=5，求{bn}的通项公式；


(2)若T3=21，求S3．


【答案解析】解：


设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an=－1＋(n－1)d，bn=qn－1．


由a2＋b2=2得d＋q=3．①


(1)由a3＋b3=5得2d＋q2=6．②


联立①和②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＝3，,q＝0))(舍去)或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＝1，,q＝2.))


因此{bn}的通项公式为bn=2n－1．


(2)由b1=1，T3=21得q2＋q－20=0．


解得q=－5或q=4．


当q=－5时，由①得d=8，则S3=21．


当q=4时，由①得d=－1，则S3=－6．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 在数列{an}中，aeq \\al(2,n＋1)＋2an＋1=anan＋2＋an＋an＋2，且a1=2，a2=5.


(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；


(2)求数列{an}的前n项和Sn.


【答案解析】解：


(1)证明：∵aeq \\al(2,n＋1)＋2an＋1=anan＋2＋an＋an＋2，


∴(an＋1＋1)2=(an＋1)(an＋2＋1)，


即eq \f(an＋1＋1,an＋1)=eq \f(an＋2＋1,an＋1＋1).


∵a1=2，a2=5，∴a1＋1=3，a2＋1=6，∴eq \f(a2＋1,a1＋1)=2，


∴数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．


(2)由(1)知，an＋1=3·2n－1，


∴an=3·2n－1－1，∴Sn=eq \f(31－2n,1－2)－n=3·2n－n－3.


LISTNUM OutlineDefault \l 3 若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y=eq \f(1,6)－eq \f(1,3)x的图象上(n∈N*)．


(1)求数列{an}的通项公式；


(2)若c1=0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn=lgeq \f(1,2)an.求证：对任意正整数n≥2，


总有eq \f(1,3)≤eq \f(1,c2)＋eq \f(1,c3)＋eq \f(1,c4)＋…＋eq \f(1,cn)