2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》三(含答案)

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2021年高考数学解答题专项突破练习-《数列》三1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5,S5=15. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若，求数列{bn}的前100项和．        2.已知数列{an}满足.（1）求证：是等比数列；（2）求{an}的通项公式.         3.已知等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，且a2·a3=45，S4=28.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn=(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值.             4.等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16．(I)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)数列{bn}是等差数列，a3=b3，a5=b5试求数列{bn}的通项公式．         5.已知数列{an}的前n项和Sn=1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5=，求λ.            6.已知等差数列{an}的公差为2，等比数列{bn}的公比为2，且anbn=n·2n．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)令cn=，记数列{cn}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小．                 7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S4=2a4-1，S3=2a3-1．(1)求{an}的通项公式；(2)记bn=log ，求b1＋b2＋…＋bn的最大值．              8.已知数列{an}满足a1=1，an＋1=，n∈N*.(1)求证：数列为等差数列；(2)设T2n=－＋－＋…＋－，求T2n.             9.已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a2=37，S4=152．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{|an-2n|}的前n项和Tn．           10.已知数列{an}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3， a4，a5成等差数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{}的前n项和Sn，求证：Sn＜3．          11.Sn为等差数列{an}的前n项和，且an=1,S7=28.记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[lg99]=1.（1）求b1,b11,b101；（2）求数列{bn}的前1 000项和.        12.设数列{an}的前项和为，．已知，，，且当时，．(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列；(3)求数列{an}的通项公式．       13.已知公差不为0的等差数列{an}的首项为，且成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)对，试比较与的大小．         14.已知数列{an}的前n项和为Sn，an>0，且满足（1）求a1及通项公式an；（2）若bn=(-1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.          15.在公差不为0等差数列的{an}中，已知，且，，成等比数列.（1）求；（2）设，求数列{bn}的前项和.         
答案解析16.解:17.解： 18.解：(1)∵S4=28，∴=28，∴a1＋a4=14，则a2＋a3=14，又a2·a3=45，公差d＞0，∴a2＜a3，a2=5，a3=9，∴解得∴an=4n－3.(2)由(1)知Sn=2n2－n，∴bn==，∴b1=，b2=，b3=.又{bn}是等差数列，∴b1＋b3=2b2，即2×=＋，解得c=－(c=0舍去). 19.解：(I)设等比数列{an}的公比为q，∵a1=2，a4=16．∴16=2q3，解得q=2．∴an=2n．(II)设等差数列{bn}的公差为d，∵b3=a3=23=8，b5=a5=25=32．∴b1+2d=8，b1+4d=32，解得b1=﹣16，d=12，∴bn=﹣16+12(n﹣1)=12n﹣28．  20.解：(1)证明：由题意得a1=S1=1＋λa1，故λ≠1，a1=，故a1≠0.由Sn=1＋λan，Sn＋1=1＋λan＋1得an＋1=λan＋1-λan，即an＋1(λ-1)=λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以=.因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an=n-1.(2)由(1)得Sn=1-n.由S5=得1-5=，即5=.解得λ=-1.  21.解：(1)∵anbn=n·2n，∴⇒解得a1=2，b1=1，∴an=2＋2(n－1)=2n，bn=2n－1．(2)∵an=2n，bn=2n－1，∴cn===－，∴Tn=c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn－1＋cn=1－＋－＋－＋－＋…＋－＋－=1＋－－=－＋<，∴Tn<．  22.解：(1)设{an}的公比为q，由S4-S3=a4，得2a4-2a3=a4，所以=2，所以q=2．又因为S3=2a3-1，所以a1＋2a1＋4a1=8a1-1，所以a1=1．所以an=2n-1．(2)由(1)知，Sn==2n-1，所以bn=log =2log224-n=8-2n，bn＋1-bn=-2，b1=8-2=6，所以数列{bn}是首项为6，公差为-2的等差数列，所以b2=4，b3=2，b4=0，当n>5时bn<0，所以当n=3或n=4时，b1＋b2＋…＋bn的最大值为12．  23.解：(1)证明：由an＋1=，得==＋，所以－=.又a1=1，则=1，所以数列是首项为1，公差为的等差数列．(2)设bn=－=，由(1)得，数列是公差为的等差数列，所以－=－，即bn==－×，所以bn＋1－bn=－=－×=－.又b1=－×=－×=－，所以数列{bn}是首项为－，公差为－的等差数列，所以T2n=b1＋b2＋…＋bn=－n＋×=－(2n2＋3n)．  24.解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则解得所以数列{an}的通项公式为an=2n＋33(n∈N*)．(2)由(1)知，|an-2n|=|2n＋33-2n|=当1≤n≤5时，Tn=-=n2＋34n-2n＋1＋2；当n≥6时，T5=133，|2n＋33-2n|=2n-(2n＋33)，Tn-T5=-=2n＋1-n2-34n＋131，∴Tn=2n＋1-n2-34n＋264．综上所述，Tn=  25.                   26.解： 27.（1）；（2）证明见解析；（3）．  28.  29.解：30.