专题05 圆锥曲线-2021年新高考数学大题专项练习

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1．已知椭圆过点，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线与轴的正半轴和轴分别交于点，与椭圆相交于两点，各点互不重合，且满足.


（1）求椭圆的标准方程；


（2）若直线的方程为，求的值；


（3）若，试证明直线恒过定点，并求此定点的坐标.


2．已知动点到直线的距离比到点的距离大.


（1）求动点所在的曲线的方程；


（2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；


（3）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.


3．已知椭圆经过点，且离心率.


（1）求椭圆的标准方程；


（2）若斜率为且不过点的直线交于两点，记直线，的斜率分别为，，且，求直线的斜率.


4．如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.





（1）求曲线的方程；


（2）设过点的直线与曲线相交于两点（点在两点之间）.是否存在直线使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.


5．已知双曲线的方程为：，其左右顶点分别为：，，一条垂直于轴的直线交双曲线于，两点，直线与直线相交于点.


（1）求点的轨迹的方程；


（2）过点的直线，与轨迹交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，试探讨是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由.


6．已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点(与轴不重合)，，的周长分别为12和8.


（1）求椭圆的方程；


（2）在轴上是否存在一点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.


7．已知椭圆：()的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为.


（1）求椭圆的方程；


（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围.


8．已知抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于，两点.


（1）若，求的面积；


（2）若抛物线上存在两个不同的点，关于直线对称，求的取值范围.


9．如图，直线与圆相切于点，与抛物线相交于不同的两点，与轴相交于点.





（1）若是抛物线的焦点，求直线的方程；


（2）若，求的值.


10．在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线.


（Ⅰ）求曲线的方程；


（Ⅱ）过点F的两条直线、与曲线相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与的斜率依次为、，若，求证：直线MN恒过定点.


11．已知椭圆的离心率为，且直线与圆相切．


（1）求椭圆的方程；


（2）设直线与椭圆相交于不同的两点﹐，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且点在以为直径的圆上．记，的面积分别为，，求的取值范围．


12．已知抛物线的焦点为点在抛物线上，点的横坐标为且.


（1）求抛物线的标准方程；


（2）若为抛物线上的两个动点(异于点)，且，求点的横坐标的取值范围.


13．如图，已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3.





（1）求抛物线E的方程；


（2）已知点G(-1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线.


14．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为.


（Ⅰ）求椭圆C的方程；


（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．