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专题31 圆锥曲线存在性问题的五种类型大题-2022年新高考数学高频考点 题型专项练习(新高考适用)
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这是一份专题31 圆锥曲线存在性问题的五种类型大题-2022年新高考数学高频考点 题型专项练习(新高考适用)
专题31 圆锥曲线存在性问题的五种类型大题100题类型一:存在性问题---角度关系1-20题1．已知双曲线的右焦点为，离心率为2，直线与C的一条渐近线交于点P，且．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设Q为双曲线C右支上的一个动点在x轴上是否存在定点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在请说明理由．2．已知双曲线：，，，，，五点中恰有三点在上.（1）求的方程；（2）设是上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点，使得,若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.3．已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（1）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（2）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．4．设点A、F分别是双曲线的左顶点和右焦点，点P是双曲线右支上的动点.(1)若是直角三角形，求点P的坐标；(2)是否存在常数，使得对任意的点P恒成立？证明你的结论．5．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且满足，. （1）求椭圆的方程；（2）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得. 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.6．已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的动直线交于两点，轴上是否存在定点，使得总成立？若存在，求出定点；若不存在，请说明理由．7．已知双曲线的实半轴长为1，且上的任意一点到的两条渐近线的距离乘积为（1）求双曲线的方程；（2）设直线过双曲线的右焦点，与双曲线相交于两点，问在轴上是否存在定点，使得的平分线与轴或轴垂直？若存在，求出定点的坐标；否则，说明理由．8．已知点，，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）问在第一象限内曲线上是否存在点使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．9．已知椭圆，点为焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于S，T两点，且，点为x轴上一点，直线与椭圆C交于不同的两点A，B.（1）求椭圆C的方程；（2）直线PA、PB分别交y轴于M、N两点，O为坐标系原点，问：x轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.10．已知双曲线(，)的离心率为2，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点.且.（1）求双曲线的标准方程.（2）设为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，在轴的负半轴上是否存在定点.使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（1）动圆圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程；（2）直线交曲线于，，轴上是否存在一点，使得当变动时，都有？说明理由.12．已知抛物线：与离心率为的椭圆：的一个交点为，点到抛物线的焦点的距离为2.（Ⅰ）求与的方程；（Ⅱ）设为坐标原点，在第一象限内，椭圆上是否存在点，使过作的垂线交抛物线于点，直线交轴于点，且？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.13．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(－2，0)，且离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(4，0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（斜率为）交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得射线平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.15．已知椭圆的短轴长和焦距都为2，直线与椭圆交于不同的两点．（1）求椭圆的方程；（2）已知，直线分别交轴于两点，问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．16．已知椭圆与双曲线有两个相同的顶点，且的焦点到其渐近线的距离恰好为的短半轴的长度．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得平分？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系中，已知， ，动点满足，动点的轨迹记为.（1）求曲线的方程；（2）若点也在曲线上，且，求的面积；（3）是否存在常数，使得对动点恒有成立？请给出你的结论和理由.18．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，当与轴垂直时，的周长为.（1）求的方程：（2）在轴上是否存在点，使得恒成立(为坐标原点)？若存在求出坐标，若不存在说明理由.19．已知双曲线的离心率为，点为上位于第二象限的动点，（1）若点的坐标为(-2，3，求双曲线的方程；（2）设分别为双曲线的右顶点､左焦点，是否存在常数，使得如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由.20．已知圆，圆，动圆与圆外切且与圆内切，设圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）若，是曲线上的动点，且直线过点，问在轴上是否存在定点.使得(为坐标原点).若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.类型二:存在性问题---面积关系1-20题1．设直线与双曲线交于M，N两个不同的点，F为右焦点.（1）求双曲线C的渐近线方程及两条渐近线所夹的锐角；（2）当时，设直线与C交于M，N，三角形面积为S，判断：是否存在k使得成立？若存在求出k的值，否则说明理由.2．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．（1）若直线垂直于轴，求；（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．3．已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一点到焦点距离的最小值与最大值之比为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．4．已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍．（1）求点的轨迹方程：（2）若点与点关于点对称，求、两点间距离的最大值；（3）若过点的直线与点的轨迹相交于、两点，，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．5．在直角坐标系中，已知点，，直线，交于，且它们的斜率满足：.（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点的直线交曲线于，两点，直线与分别交直线于点，，是否存在常数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.6．在①离心率，②椭圆过点，③为椭圆上一点，面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.设椭圆的左、右焦点分别为、，已知椭圆的短轴长为，______.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于、两点，请问的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由.7．双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点．①证明：；②是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆的离心率，点A，B，N分别为椭圆的左右顶点和上顶点，且.（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点直线与椭圆交于不同的，两点，且直线的斜率依次成等比数列.椭圆上是否存在一点，使得以为邻边的平行四边形的面积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.9．已知抛物线，椭圆，若抛物线过点，抛物线与椭圆有共同的焦点，且椭圆的离心率．（I）求椭圆与抛物线的方程；（II）直线的方程为，若不经过点的直线与抛物线交于，（，分别在轴两侧），与直线交于点，与椭圆交于点，，设，，的斜率分别为，，，若．（i）证明：直线恒过定点；（ii）点关于轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，左、右焦点分别为、，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆相交于、两点，的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由.11．已知椭圆C：的左顶点为离心率，过点A的直线与椭圆交于点B.（1）求椭圆C的方程；（2）设AB的中点为，射线与椭圆交于点，是否存在直线使的面积是面积的3倍？若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由.12．已知圆，动圆M过点且与圆C相切.（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；（2）假设直线l与轨迹E相交于A，B两点，且在轨迹E上存在一点P，使四边形OAPB为平行四边形，试问平行四边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.13．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，（1）求椭圆的方程；（2）已知动点在椭圆上，两定点，．①求的面积的最大值；②若直线与分别与直线交于两点，问：是否存在点，使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．14．在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，2），B（2，2），直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：kAD﹣kBD＝﹣2．（1）求点D的轨迹C的方程；（2）设过点（0，2）的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线y＝﹣1于点M，N，是否存在常数入，使OPQ＝λOMN，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．15．已知椭圆：的左、右顶点分别是，，右焦点为，点是椭圆上一动点（异于，），点与点关于原点对称，分别连接，并延长交于点，连接并延长交椭圆于点，记的面积与的面积分别为，．（1）当的坐标为时，求的值．（2）是否存在点使得？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．16．已知椭圆，拋物线，点，斜率为的直线交拋物线于两点，且，经过点的斜率为的直线与椭圆相交于两点.（1）若拋物线的准线经过点，求拋物线的标准方程和焦点坐标：（2）是否存在，使得四边形的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及的值；若不存在，请说明理由.17．如图所示，已知、分别是椭圆：的左、右顶点，点是椭圆上位于轴上方的动点，点与点关于轴对称，直线，与轴分别交于，两点.（1）求线段的长度的最小值；（2）当线段的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为1？若存在，确定点的个数，若不存在，请说明理由.18．如图，已知抛物线的焦点为，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，在A，B两点处的切线相交于N，再分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D.（1）求证：点N在定直线上；（2）是否存在点N，使得的面积是的面积和的面积的等差中项，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.19．已知椭圆C的左，右焦点分别为，，离心率为，M为C上一点，面积的最大值为.（1）求C的标准方程；（2）设动直线l过且与C交于A，B两点，过作直线l的平行线，交C于R，N两点，记的面积为，的面积为，试问：是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由.20．已知椭圆C∶()的左，右焦点分别为，，离心率为，M为C上一点，面积的最大值为.（1）求C的标准方程；（2）已知点，O为坐标原点，不与x轴垂直的直线l与C交于A，B两点，且.试问∶的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由.类型三:存在性问题---向量关系1-20题1．已知椭圆C：的离心率为，且是C上一点．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点作直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使为定值？若存在，求出点M的坐标及该定值；若不存在，试说明理由．2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由．3．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2，且经过点；过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．4．椭圆与抛物线有一个公共焦点且经过点.（1）求椭圆的方程及其离心率；（2）直线与椭圆相交于，两点，为原点，是否存在点满足，，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由5．已知曲线C上的动点M到y轴的距离比到点的距离小1.（1）求曲线C的方程；（2）过F作弦，，设，的中点分别为A，B，若，求最小值并求弦，所在直线的方程；（3）是否存在一定点T，使得？若存在，求出T的坐标；若不存在，试说明理由.6．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足（O为坐标原点）若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.7．已知椭圆的离心率为，两焦点，与椭圆上的顶点构成边长为2的等边.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点，使得为定值？如果有，求出点的坐标及定值；如果没有，请说明理由.8．设直线：与双曲线：相交于A，B两点，为坐标原点．（1）为何值时，以为直径的圆过原点？（2）是否存在实数，使且？若存在，求的值，若不存在，说明理由．9．已知椭圆：（）的离心率为，长轴端点和短轴端点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上异于椭圆端点的任意一点，过点且平行于的直线与椭圆相交于，两点（点为坐标原点），是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．10．已知椭圆的右焦点F2是抛物线的焦点，过点垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长度为3．（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．请问：在x轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．11．双曲线：的顶点与椭圆：长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为．（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，，又过原点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，．是否存在定值，使得？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．12．椭圆的上下焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的一个动点，的面积最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆相交于，两点，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，求出；若不存在，说明理由．13．已知椭圆过，两点，直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线过点，是否存在常数，使得为定值，若存在，求的值及定值；若不存在，请说明理由.14．已知椭圆的左、右焦点，恰好是双曲线的左右顶点，过点的直线交直线交椭圆于A，B两点（点A在x轴上方），当轴时，直线在y轴上的截距为．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上是否存在点M满足：？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．15．已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且不重合于轴的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．16．已知动点P到点的距离与到直线的距离之比为.（1）求动点的轨迹的标准方程；（2）过点的直线l交于M，N两点，已知点，直线BM，BN分别交x轴于点E，F.试问在轴上是否存在一点G，使得？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.17．已知椭圆C：，过点的直线l交椭圆C于点A，B.（1）当直线l与x轴垂直时，求；（2）在x轴上是否存在定点P，使为定值？若存在，求点P的坐标及的值；若不存在，说明理由.18．已知双曲线的离心率为，点在上．（1）求双曲线的方程；（2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．19．已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在第一象限，且．（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在点，满足对于过点的任一直线与椭圆的两个交点，，都有为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．20．已知双曲线，直线交双曲线于两点.（1）求双曲线的顶点到其渐近线的距离；（2）若过原点，为双曲线上异于的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值；（3）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.类型四:存在性问题---数量关系1-20题1．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，离心率为，P为椭圆C上的一个动点.当P是C的上顶点时，△的面积为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设斜率存在的直线与C的另一个交点为Q，是否存在点，使得?若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由.2．如图所示，已知椭圆，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦的中点为，直线与椭圆相交于，两点．（1）若直线的斜率为，求直线的斜率．（2）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．3．已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆的离心率为，椭圆上的一点满足轴，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点为椭圆的左顶点，若点为椭圆上异于点的动点，设直线的斜率分别为，且，过原点作直线的垂线，垂足为点，问：是否存在定点，使得线段的长为定值？若存在，求出定点的坐标及线段的长；若不存在，请说明理由．4．平面内两个动圆的圆心分别为，半径分别为，其中满足，且．（1）求证：圆与圆相交，并求两圆的交点的轨迹E的方程；（2）过点的动直线l与曲线E相交于C，D两点．在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点M，使得恒成立？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．5．已知点，分别是直线及抛物线：()上的点，且的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于点，，线段中点为，判断轴上是否存在点，使得为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.6．已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）为曲线上不同两点，为坐标原点，线段的中点为，当△面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.7．已知椭圆：（）的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于，两点（不同于点），记直线，的斜率分别为，，试判断是否存在定值，使当变化时总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.8．已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，为的左，右顶点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线过点交双曲线的右支于两点，设直线斜率分别为，是否存在实数入使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.9．在平面直角坐标系中，已知椭圆的其中一个焦点是抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过左焦点且斜率不为零的动直线与椭圆交于两点，试问在轴上是否存在一个定点，若设焦点到两直线距离分别为，则？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.10．已知椭圆的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若.（1）求椭圆C的方程；（2）过点F且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，在x轴上是否存在点P，使出？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.11．已知抛物线C：x2＝8y，点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，点M的坐标为（2，﹣2）．（1）分别过A，B两点作抛物线C的切线，两切线的交点为M，求直线l的斜率；（2）若直线l过抛物线的焦点F，试判断是否存在定值λ，使得＝12．已知抛物线：的焦点为，为抛物线上的一点，且.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线与抛物线交于，两点，点在抛物线上，记直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否存在点，使得？若存在，求出点的个数；若不存在，请说明理由.13．已知点，分别是直线及抛物线：()上的点，且的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于点，，线段中点为，判断轴上是否存在点，使得为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.14．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，且其两个焦点与短轴顶点相连形成的四边形为正方形.过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）设的中点为，试判断是否存在实数，使得为定值.若存在，求出的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由.15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，设的准线与轴的交点为当时，．（1）求抛物线的标准方程；（2）若点过点的直线与交于两点，是否存在轴上的定点使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，分别过椭圆左、右焦点、的动直线、相交于点，与椭圆分别交于、与、不同四点，直线、、、的斜率、、、满足．已知当与轴重合时，，．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点、，使得为定值？若存在，求出、点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．17．已知抛物线的焦点为，半径为1的圆的圆心位于轴的正半轴上，过圆心的动直线与抛物线交于、两点，如图所示．（1）若圆经过抛物线的焦点，且圆心位于焦点的右侧，求圆的方程；（2）是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出该定点的坐标，若不存在，则说明理由．18．已知椭圆的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为.（1）求椭圆C的方程.（2）过点M(4，0)的直线交椭圆于A，B两个不同的点，问：是否存在实数，使得，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由.19．已知分别是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，面积最大值为，离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆交于两点，问:是否存在实数，使得恒成立.如果存在.求出的值.如果不存在，说明理由.20．已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点F，.过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得恒成立？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.类型五:存在性问题---几何关系1-20题1．已知椭E：的右顶点为A，右焦点为F，上､下顶点分别为B，C，，直线CF交线段AB于点D，且.（1）求椭圆E的标准方程；（2）是否存在直线l，使得l交E于M，N两点.且F恰是△BMN的垂心？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.2．已知抛物线，直线交抛物线C于M、N两点，且线段中点的纵坐标为2．（1）求抛物线C的方程；（2）是否存在正数m，对于过点，且与抛物线C有两个交点A，B，都有抛物线C的焦点F在以为直径的圆内？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．3．已知双曲线过点，焦距为，．（1）求双曲线C的方程；（2）是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．4．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，,求直线方程；（3）椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.5．设动点的坐标为（、），向量，，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线与曲线交于、两点，若（为坐标原点），是否存在直线，使得四边形为矩形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．6．已知椭圆的离心率，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点．是否存在直线使得以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．7．已知椭圆：的焦距为8，且椭圆经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于、两点，试问在直线上是否存在一点，使得为正三角形？若存在，求出相应的直线的方程；若不存在，说明理由．8．已知椭圆的右顶点为，右焦点为，上、下顶点分别为，，，直线交线段于点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线，使得交于，两点，且恰是△的垂心？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．9．已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上的一个动点，以为圆心过椭圆左焦点的圆与直线相切，的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）已知点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，以，为邻边作平行四边形，是否存在常数，使得点的轨迹在椭圆上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.10．已知椭圆：，，分别为椭圆长轴的左、右端点，为直线上异于点的任意一点，连接交椭圆于点.（1）求证：（其中为坐标原点）为定值；（2）是否存在轴上的定点，使得以为直径的圆恒通过与的交点．11．如图所示，A，B分别是椭圆的左右顶点，F为其右焦点，且.点P是椭圆C上异于A､B的任一动点，过点A作直线轴.以线段为直径的圆交直线于点A､M，连接交直线l于点Q.（1）求椭圆C的方程；（2）试问在x轴上是否存在一个定点N，使得直线必过该定点N？若存在，求出N点的坐标，着不存在，说明理由.12．已知椭圆的左右焦点分别为，长轴长为，A､B为椭圆上的两个动点，当A､B关于原点对称时，的最大值为.（1）求椭圆C的方程；（2）若存在实数使得，过点A作直线的垂线，垂足为N，直线是否恒过某点？若恒过某点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.13．已知椭圆，其离心率为．（1）若，点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．（2）是否存在过椭圆的右焦点的直线，使得其与椭圆交于，两点，线段的中点为，且满足坐标原点关于点的对称点在椭圆上．若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．14．已知椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）过点作直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.问：x轴上是否存在点Q，使得直线MQ与直线NQ关于x轴对称？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.15．已知椭圆：的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，线段与圆相切于该线段的中点，且的面积为2.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆上是否存在三个点A，，，使得直线过椭圆的左焦点，且四边形是平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.16．已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于不同的两点.（1）若直线的方程为，求线段的长；（2）若直线经过点，点关于轴的对称点为，求证：三点共线；（3）若直线经过点，抛物线上是否存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.17．从抛物线上各点向轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程，并说明曲线是什么曲线；（2）过点的直线交曲线于两点、，线段的垂直平分线交曲线于两点、，探究是否存在直线使、、、四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由．18．已知椭圆：的短轴长为2，离心率为，左顶点为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若不与轴平行的直线交椭圆于两点，试问：在轴上是否存在定点，当直线过点时，恒有，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．19．A，B为椭圆的左右顶点，，E为椭圆C上任意一点（异于左右顶点）， 设AE，BE的斜率分别为k1和k2，，（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.20．已知、分别为椭圆的左顶点和下顶点，为直线上的动点，的最小值为．（1）求的方程；（2）设与的另一交点为，与的另一交点为，问：是否存在点，使得四边形为梯形，若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由．
专题31 圆锥曲线存在性问题的五种类型大题100题类型一:存在性问题---角度关系1-20题1．已知双曲线的右焦点为，离心率为2，直线与C的一条渐近线交于点P，且．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设Q为双曲线C右支上的一个动点在x轴上是否存在定点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在请说明理由．2．已知双曲线：，，，，，五点中恰有三点在上.（1）求的方程；（2）设是上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点，使得,若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.3．已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．（1）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；（2）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．4．设点A、F分别是双曲线的左顶点和右焦点，点P是双曲线右支上的动点.(1)若是直角三角形，求点P的坐标；(2)是否存在常数，使得对任意的点P恒成立？证明你的结论．5．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且满足，. （1）求椭圆的方程；（2）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得. 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.6．已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的动直线交于两点，轴上是否存在定点，使得总成立？若存在，求出定点；若不存在，请说明理由．7．已知双曲线的实半轴长为1，且上的任意一点到的两条渐近线的距离乘积为（1）求双曲线的方程；（2）设直线过双曲线的右焦点，与双曲线相交于两点，问在轴上是否存在定点，使得的平分线与轴或轴垂直？若存在，求出定点的坐标；否则，说明理由．8．已知点，，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）问在第一象限内曲线上是否存在点使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．9．已知椭圆，点为焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于S，T两点，且，点为x轴上一点，直线与椭圆C交于不同的两点A，B.（1）求椭圆C的方程；（2）直线PA、PB分别交y轴于M、N两点，O为坐标系原点，问：x轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.10．已知双曲线(，)的离心率为2，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点.且.（1）求双曲线的标准方程.（2）设为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，在轴的负半轴上是否存在定点.使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.（1）动圆圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程；（2）直线交曲线于，，轴上是否存在一点，使得当变动时，都有？说明理由.12．已知抛物线：与离心率为的椭圆：的一个交点为，点到抛物线的焦点的距离为2.（Ⅰ）求与的方程；（Ⅱ）设为坐标原点，在第一象限内，椭圆上是否存在点，使过作的垂线交抛物线于点，直线交轴于点，且？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.13．椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(－2，0)，且离心率为.（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(4，0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线（斜率为）交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得射线平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.15．已知椭圆的短轴长和焦距都为2，直线与椭圆交于不同的两点．（1）求椭圆的方程；（2）已知，直线分别交轴于两点，问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．16．已知椭圆与双曲线有两个相同的顶点，且的焦点到其渐近线的距离恰好为的短半轴的长度．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得平分？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系中，已知， ，动点满足，动点的轨迹记为.（1）求曲线的方程；（2）若点也在曲线上，且，求的面积；（3）是否存在常数，使得对动点恒有成立？请给出你的结论和理由.18．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，当与轴垂直时，的周长为.（1）求的方程：（2）在轴上是否存在点，使得恒成立(为坐标原点)？若存在求出坐标，若不存在说明理由.19．已知双曲线的离心率为，点为上位于第二象限的动点，（1）若点的坐标为(-2，3，求双曲线的方程；（2）设分别为双曲线的右顶点､左焦点，是否存在常数，使得如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由.20．已知圆，圆，动圆与圆外切且与圆内切，设圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）若，是曲线上的动点，且直线过点，问在轴上是否存在定点.使得(为坐标原点).若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.类型二:存在性问题---面积关系1-20题1．设直线与双曲线交于M，N两个不同的点，F为右焦点.（1）求双曲线C的渐近线方程及两条渐近线所夹的锐角；（2）当时，设直线与C交于M，N，三角形面积为S，判断：是否存在k使得成立？若存在求出k的值，否则说明理由.2．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．（1）若直线垂直于轴，求；（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．3．已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一点到焦点距离的最小值与最大值之比为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．4．已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍．（1）求点的轨迹方程：（2）若点与点关于点对称，求、两点间距离的最大值；（3）若过点的直线与点的轨迹相交于、两点，，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．5．在直角坐标系中，已知点，，直线，交于，且它们的斜率满足：.（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点的直线交曲线于，两点，直线与分别交直线于点，，是否存在常数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.6．在①离心率，②椭圆过点，③为椭圆上一点，面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.设椭圆的左、右焦点分别为、，已知椭圆的短轴长为，______.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于、两点，请问的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由.7．双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点．①证明：；②是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆的离心率，点A，B，N分别为椭圆的左右顶点和上顶点，且.（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点直线与椭圆交于不同的，两点，且直线的斜率依次成等比数列.椭圆上是否存在一点，使得以为邻边的平行四边形的面积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.9．已知抛物线，椭圆，若抛物线过点，抛物线与椭圆有共同的焦点，且椭圆的离心率．（I）求椭圆与抛物线的方程；（II）直线的方程为，若不经过点的直线与抛物线交于，（，分别在轴两侧），与直线交于点，与椭圆交于点，，设，，的斜率分别为，，，若．（i）证明：直线恒过定点；（ii）点关于轴的对称点为，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，左、右焦点分别为、，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆相交于、两点，的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由.11．已知椭圆C：的左顶点为离心率，过点A的直线与椭圆交于点B.（1）求椭圆C的方程；（2）设AB的中点为，射线与椭圆交于点，是否存在直线使的面积是面积的3倍？若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由.12．已知圆，动圆M过点且与圆C相切.（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；（2）假设直线l与轨迹E相交于A，B两点，且在轨迹E上存在一点P，使四边形OAPB为平行四边形，试问平行四边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.13．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，（1）求椭圆的方程；（2）已知动点在椭圆上，两定点，．①求的面积的最大值；②若直线与分别与直线交于两点，问：是否存在点，使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．14．在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，2），B（2，2），直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：kAD﹣kBD＝﹣2．（1）求点D的轨迹C的方程；（2）设过点（0，2）的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线y＝﹣1于点M，N，是否存在常数入，使OPQ＝λOMN，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．15．已知椭圆：的左、右顶点分别是，，右焦点为，点是椭圆上一动点（异于，），点与点关于原点对称，分别连接，并延长交于点，连接并延长交椭圆于点，记的面积与的面积分别为，．（1）当的坐标为时，求的值．（2）是否存在点使得？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．16．已知椭圆，拋物线，点，斜率为的直线交拋物线于两点，且，经过点的斜率为的直线与椭圆相交于两点.（1）若拋物线的准线经过点，求拋物线的标准方程和焦点坐标：（2）是否存在，使得四边形的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及的值；若不存在，请说明理由.17．如图所示，已知、分别是椭圆：的左、右顶点，点是椭圆上位于轴上方的动点，点与点关于轴对称，直线，与轴分别交于，两点.（1）求线段的长度的最小值；（2）当线段的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为1？若存在，确定点的个数，若不存在，请说明理由.18．如图，已知抛物线的焦点为，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，在A，B两点处的切线相交于N，再分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D.（1）求证：点N在定直线上；（2）是否存在点N，使得的面积是的面积和的面积的等差中项，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.19．已知椭圆C的左，右焦点分别为，，离心率为，M为C上一点，面积的最大值为.（1）求C的标准方程；（2）设动直线l过且与C交于A，B两点，过作直线l的平行线，交C于R，N两点，记的面积为，的面积为，试问：是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由.20．已知椭圆C∶()的左，右焦点分别为，，离心率为，M为C上一点，面积的最大值为.（1）求C的标准方程；（2）已知点，O为坐标原点，不与x轴垂直的直线l与C交于A，B两点，且.试问∶的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由.类型三:存在性问题---向量关系1-20题1．已知椭圆C：的离心率为，且是C上一点．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点作直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使为定值？若存在，求出点M的坐标及该定值；若不存在，试说明理由．2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由．3．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2，且经过点；过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．4．椭圆与抛物线有一个公共焦点且经过点.（1）求椭圆的方程及其离心率；（2）直线与椭圆相交于，两点，为原点，是否存在点满足，，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由5．已知曲线C上的动点M到y轴的距离比到点的距离小1.（1）求曲线C的方程；（2）过F作弦，，设，的中点分别为A，B，若，求最小值并求弦，所在直线的方程；（3）是否存在一定点T，使得？若存在，求出T的坐标；若不存在，试说明理由.6．已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足（O为坐标原点）若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.7．已知椭圆的离心率为，两焦点，与椭圆上的顶点构成边长为2的等边.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点，使得为定值？如果有，求出点的坐标及定值；如果没有，请说明理由.8．设直线：与双曲线：相交于A，B两点，为坐标原点．（1）为何值时，以为直径的圆过原点？（2）是否存在实数，使且？若存在，求的值，若不存在，说明理由．9．已知椭圆：（）的离心率为，长轴端点和短轴端点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆上异于椭圆端点的任意一点，过点且平行于的直线与椭圆相交于，两点（点为坐标原点），是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．10．已知椭圆的右焦点F2是抛物线的焦点，过点垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长度为3．（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．请问：在x轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．11．双曲线：的顶点与椭圆：长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为．（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，，又过原点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，．是否存在定值，使得？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．12．椭圆的上下焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的一个动点，的面积最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与椭圆相交于，两点，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，求出；若不存在，说明理由．13．已知椭圆过，两点，直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线过点，是否存在常数，使得为定值，若存在，求的值及定值；若不存在，请说明理由.14．已知椭圆的左、右焦点，恰好是双曲线的左右顶点，过点的直线交直线交椭圆于A，B两点（点A在x轴上方），当轴时，直线在y轴上的截距为．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上是否存在点M满足：？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．15．已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且不重合于轴的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．16．已知动点P到点的距离与到直线的距离之比为.（1）求动点的轨迹的标准方程；（2）过点的直线l交于M，N两点，已知点，直线BM，BN分别交x轴于点E，F.试问在轴上是否存在一点G，使得？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.17．已知椭圆C：，过点的直线l交椭圆C于点A，B.（1）当直线l与x轴垂直时，求；（2）在x轴上是否存在定点P，使为定值？若存在，求点P的坐标及的值；若不存在，说明理由.18．已知双曲线的离心率为，点在上．（1）求双曲线的方程；（2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．19．已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在第一象限，且．（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在点，满足对于过点的任一直线与椭圆的两个交点，，都有为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．20．已知双曲线，直线交双曲线于两点.（1）求双曲线的顶点到其渐近线的距离；（2）若过原点，为双曲线上异于的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值；（3）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.类型四:存在性问题---数量关系1-20题1．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，离心率为，P为椭圆C上的一个动点.当P是C的上顶点时，△的面积为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设斜率存在的直线与C的另一个交点为Q，是否存在点，使得?若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由.2．如图所示，已知椭圆，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦的中点为，直线与椭圆相交于，两点．（1）若直线的斜率为，求直线的斜率．（2）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．3．已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆的离心率为，椭圆上的一点满足轴，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点为椭圆的左顶点，若点为椭圆上异于点的动点，设直线的斜率分别为，且，过原点作直线的垂线，垂足为点，问：是否存在定点，使得线段的长为定值？若存在，求出定点的坐标及线段的长；若不存在，请说明理由．4．平面内两个动圆的圆心分别为，半径分别为，其中满足，且．（1）求证：圆与圆相交，并求两圆的交点的轨迹E的方程；（2）过点的动直线l与曲线E相交于C，D两点．在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点M，使得恒成立？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．5．已知点，分别是直线及抛物线：()上的点，且的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于点，，线段中点为，判断轴上是否存在点，使得为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.6．已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）为曲线上不同两点，为坐标原点，线段的中点为，当△面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.7．已知椭圆：（）的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于，两点（不同于点），记直线，的斜率分别为，，试判断是否存在定值，使当变化时总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.8．已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，为的左，右顶点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线过点交双曲线的右支于两点，设直线斜率分别为，是否存在实数入使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.9．在平面直角坐标系中，已知椭圆的其中一个焦点是抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过左焦点且斜率不为零的动直线与椭圆交于两点，试问在轴上是否存在一个定点，若设焦点到两直线距离分别为，则？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.10．已知椭圆的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若.（1）求椭圆C的方程；（2）过点F且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，在x轴上是否存在点P，使出？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.11．已知抛物线C：x2＝8y，点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，点M的坐标为（2，﹣2）．（1）分别过A，B两点作抛物线C的切线，两切线的交点为M，求直线l的斜率；（2）若直线l过抛物线的焦点F，试判断是否存在定值λ，使得＝12．已知抛物线：的焦点为，为抛物线上的一点，且.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线与抛物线交于，两点，点在抛物线上，记直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否存在点，使得？若存在，求出点的个数；若不存在，请说明理由.13．已知点，分别是直线及抛物线：()上的点，且的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于点，，线段中点为，判断轴上是否存在点，使得为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.14．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，且其两个焦点与短轴顶点相连形成的四边形为正方形.过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）设的中点为，试判断是否存在实数，使得为定值.若存在，求出的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由.15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，设的准线与轴的交点为当时，．（1）求抛物线的标准方程；（2）若点过点的直线与交于两点，是否存在轴上的定点使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，分别过椭圆左、右焦点、的动直线、相交于点，与椭圆分别交于、与、不同四点，直线、、、的斜率、、、满足．已知当与轴重合时，，．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点、，使得为定值？若存在，求出、点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．17．已知抛物线的焦点为，半径为1的圆的圆心位于轴的正半轴上，过圆心的动直线与抛物线交于、两点，如图所示．（1）若圆经过抛物线的焦点，且圆心位于焦点的右侧，求圆的方程；（2）是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出该定点的坐标，若不存在，则说明理由．18．已知椭圆的离心率，直线被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为.（1）求椭圆C的方程.（2）过点M(4，0)的直线交椭圆于A，B两个不同的点，问：是否存在实数，使得，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由.19．已知分别是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，面积最大值为，离心率（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆交于两点，问:是否存在实数，使得恒成立.如果存在.求出的值.如果不存在，说明理由.20．已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点F，.过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得恒成立？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.类型五:存在性问题---几何关系1-20题1．已知椭E：的右顶点为A，右焦点为F，上､下顶点分别为B，C，，直线CF交线段AB于点D，且.（1）求椭圆E的标准方程；（2）是否存在直线l，使得l交E于M，N两点.且F恰是△BMN的垂心？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.2．已知抛物线，直线交抛物线C于M、N两点，且线段中点的纵坐标为2．（1）求抛物线C的方程；（2）是否存在正数m，对于过点，且与抛物线C有两个交点A，B，都有抛物线C的焦点F在以为直径的圆内？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．3．已知双曲线过点，焦距为，．（1）求双曲线C的方程；（2）是否存在过点的直线与双曲线C交于M，N两点，使△构成以为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，请说明理由．4．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，,求直线方程；（3）椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.5．设动点的坐标为（、），向量，，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线与曲线交于、两点，若（为坐标原点），是否存在直线，使得四边形为矩形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．6．已知椭圆的离心率，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点．是否存在直线使得以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．7．已知椭圆：的焦距为8，且椭圆经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于、两点，试问在直线上是否存在一点，使得为正三角形？若存在，求出相应的直线的方程；若不存在，说明理由．8．已知椭圆的右顶点为，右焦点为，上、下顶点分别为，，，直线交线段于点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线，使得交于，两点，且恰是△的垂心？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．9．已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上的一个动点，以为圆心过椭圆左焦点的圆与直线相切，的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）已知点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，以，为邻边作平行四边形，是否存在常数，使得点的轨迹在椭圆上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.10．已知椭圆：，，分别为椭圆长轴的左、右端点，为直线上异于点的任意一点，连接交椭圆于点.（1）求证：（其中为坐标原点）为定值；（2）是否存在轴上的定点，使得以为直径的圆恒通过与的交点．11．如图所示，A，B分别是椭圆的左右顶点，F为其右焦点，且.点P是椭圆C上异于A､B的任一动点，过点A作直线轴.以线段为直径的圆交直线于点A､M，连接交直线l于点Q.（1）求椭圆C的方程；（2）试问在x轴上是否存在一个定点N，使得直线必过该定点N？若存在，求出N点的坐标，着不存在，说明理由.12．已知椭圆的左右焦点分别为，长轴长为，A､B为椭圆上的两个动点，当A､B关于原点对称时，的最大值为.（1）求椭圆C的方程；（2）若存在实数使得，过点A作直线的垂线，垂足为N，直线是否恒过某点？若恒过某点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.13．已知椭圆，其离心率为．（1）若，点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．（2）是否存在过椭圆的右焦点的直线，使得其与椭圆交于，两点，线段的中点为，且满足坐标原点关于点的对称点在椭圆上．若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．14．已知椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）过点作直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.问：x轴上是否存在点Q，使得直线MQ与直线NQ关于x轴对称？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.15．已知椭圆：的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，线段与圆相切于该线段的中点，且的面积为2.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆上是否存在三个点A，，，使得直线过椭圆的左焦点，且四边形是平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.16．已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于不同的两点.（1）若直线的方程为，求线段的长；（2）若直线经过点，点关于轴的对称点为，求证：三点共线；（3）若直线经过点，抛物线上是否存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.17．从抛物线上各点向轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程，并说明曲线是什么曲线；（2）过点的直线交曲线于两点、，线段的垂直平分线交曲线于两点、，探究是否存在直线使、、、四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由．18．已知椭圆：的短轴长为2，离心率为，左顶点为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若不与轴平行的直线交椭圆于两点，试问：在轴上是否存在定点，当直线过点时，恒有，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．19．A，B为椭圆的左右顶点，，E为椭圆C上任意一点（异于左右顶点）， 设AE，BE的斜率分别为k1和k2，，（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.20．已知、分别为椭圆的左顶点和下顶点，为直线上的动点，的最小值为．（1）求的方程；（2）设与的另一交点为，与的另一交点为，问：是否存在点，使得四边形为梯形，若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由．
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