1.2.4 质点的圆周运动

这是一份1.2.4 质点的圆周运动，共6页。

刚体平面平行运动与定轴转动


2．4．1、质点的圆周运动


x


y


O


P


θ


R














图2-4-1


(1)匀速圆周运动如图2-4-1所示，质点P在半径为R的圆周上运动时，它的位置可用角度θ表示（习惯上以逆时针转角正，顺时针转角为负），转动的快慢用角速度表示：





质点P的速度方向在圆的切线方向，大小为





ω（或v）为常量的圆周运动称为匀速圆周运动。这里的“匀速”是指匀角速度或匀速率，速度的方向时刻在变。因此，匀速圆周运动的质点具有加速度，其加速度沿半径指向圆心，称为向心加速度（法向加速度）。





向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。


(2)变速圆周运动 ω（或v）随时间变化的圆周运动，称为变速圆周运动，描述角速度变化快慢的物理量为角加速度





质点作变速圆周运动时，速度的大小和方向都在变化。将速度增量分解为与平行的分量和垂直的分量，如图2-4-2。相当于匀速圆周运动个的,的大小为


P


R








图2-4-2




















=


质点P的加速度为








其中就是切向加速度和法向加速度。








β为常量的圆周运动，称为匀变速圆周运动，类似于变速直线运动的规律，有














(3)圆周运动也可以分解为二个互相垂直方向上的分运动。参看图2-4-3一个质点A在t=0时刻从x正方向开始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动，在x方向上








O


A








R











图2-4-3











在y方向上：








从x和y方向上的位移、速度和加速度时间t表达的参数方程可以看出：匀速圆周运动可以分为两个互相垂直方向上的简谐运动，它们的相位相差


2．4．2、刚体的平面平行运动


刚体平面平行运动的特征是，刚体上的任意质点都作平行于一个固定平面的运动。如圆柱沿斜面的滚动，即为平面平行运动。可取刚体上任意平行于固定平面的截面作为研究对象。


刚体的平面平行运动，常有两种研究方法：一种是看成随基点（截面上任意一点都可作为基点）的平动和绕基点的转动的合运动；另一种是选取截面上的瞬时转动中心S（简称瞬心）为基点。瞬心即指某瞬间截面上速度为零的点。这样，刚体的平面平行运动看成仅作绕瞬心的转动。


A


B


S








A


S








（b）


图2-4-4


确定瞬心的方法有两种：如图2-4-4(a)所示，若已知截面上两点的速度，则与两速度方向垂直的直线的交点即为瞬心。或如图2-4-4(b)所示，已知截面转动的角速度及截面上某一点A的速度，则在与速度垂直的直线上，与A点距离为的点即为瞬心。


注意，瞬心的速度为零，加速度不一定为零。


2．4．3、刚体的定轴转动


刚体运动时，刚体上或其延展部分有一根不动直线，该直线称为定轴，刚体绕这一轴转动。刚体作定轴转动时，其上各点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，各点作圆周运动的半径不同，在某一时刻，刚体上所有各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的。而各点的线位移、线速度和线加速度则随各点离开转轴的垂直距离不同而不同。


2．4．4、一些求曲率半径的特殊方法


Φ


x


y


p


Q


如图2-4-5


先看椭圆曲线，要求其两顶点处的曲率半径。介绍以下两种方法：


(1)将椭圆看成是半径R=A（设A＞B）的圆在平面上的投影，圆平面和平面的夹角满足关系式（如图2-4-5）





设一个质点以速率v在圆上做匀速圆周运动，则向心加速度，从上图中可以看出，当顶点的投影在椭圆的长轴（x轴）上的P点时，其速率和加速度分别为：


，


当质点的投影在椭圆的短轴（y轴）上的Q点时，其速率和加速度分别为：


。


因此椭圆曲线在P、Q的曲率半径分别为：





Q


P


A


B


x


y


图2-4-6


(2)将椭圆看成是二个简谐运动的合成，可以把椭圆的参数方程（设A＞B）（如图2-4-6）


可改写为


即可进一步写出x，y二个方程的速度v和加速度a：





那么在长轴端点P处（）的曲率半径：





在短轴端点Q处（）的曲率半径


x


y























图2-4-7





再把抛物线y=Ax，要求其任意一点的曲率半径（如图2-4-7）因为抛物线可以写作参数方程





其中，这样就可以导出


对任意一个t值： v=


a=acs=a


所以这一点的曲率半径





将t=代入，可得


因为，所以抛物线y=Ax上任意一点的曲率半径