初中数学人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用精品课堂检测

28.2.1 解直角三角形

自主预习

1.解直角三角形的依据(∠C=90°)：

(1)三边之间的关系：                        (勾股定理)；

(2)两锐角之间的关系：                           ；

(3)边角之间关系：sinA=      ，sinB=       ；cosA=      ，cosB=     ；

tanA=      ，tanB=      .

2. 如图，已知∠C＝90°，∠A＝28°，AC＝6米，AB≈     米.(精确到0.1)

互动训练

知识点一： 已知两边解直角三角形

1.在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=4，欲求∠A的值，最适宜的做法是(   )

  A.计算tanA的值求出          B.计算sinA的值求出

  C.计算cosA的值求出          D.先根据sinB求出∠B，再利用90°-∠B求出

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则cosA的值是(    )

  A.           B.         C.         D.

3.在Rt△ABC中，AB=4，AC=2，∠C=90°，则∠A的度数为(    )

A.30°          B.40°         C.45°         D.60°

4.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C=90°，a=5，

c=5，则∠B=         ，b=          .

5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，已知BC=2,AC=6，解此直角三角形.

5题图

6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=4，a=4，解这个直角三角形.

知识点二：已知一边一锐角解直角三角形

7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB=，则BC的长为(    )

  A. 4              B. 2          C.            D.

                    7题图                8题图

8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是(    )

A.         B.4          C.8       D.4

9.已知三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(    )

A.3.5           B.4.2         C.5.8         D.6.5

10.如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm，那么这个三角形的面积为(   )

  A.4.5 cm2      B.9 cm2         C.18 cm2        D.36 cm2

11.在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为         .

12.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.求下列直角三角形中的未知量.

(1)∠B=60°，c=25；                        (2)∠A=30°，b=.

13.在Rt△ABC中，∠C=90°，c=8，∠A=60°，解这个直角三角形.

14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，AC=4，解此直角三角形.(结果保留小数点后一位)

14题图

知识点三：解直角三角形的综合应用

15.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且sinA=，cosB=，AC=40，则△ABC的面积是(    )

A.800     B.800           C.400           D.400

16.如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的高，BC=14，AD=12，sinB=，则线段DC的长为(    )

A.3           B.4              C.5                 D.6

16题图                            17题图

17.如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD，B(0，)，∠BA0=60°，那么点C的坐标为     ____.

18.在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=，∠A，∠B为锐角，求tanB的值.

19.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E. (注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)

（1）若∠A=60°，求BC的长；

（2）若sinA=，求AD的长. 

19题图

课时达标

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知∠A，b，解此直角三角形就是要求出(    )

  A.c                              B.a，c

  C.∠B，a，c                      D.∠B，a，c，△ABC的面积

2.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=1，BC=2，则下列结论中正确的是(    )

  A.sinB=        B.cosB=         C.tanB=2        D.cosB=

3.如图所示，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论正确的个数是（    ）

①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝cm．

     A．1个         B．2个         C．3个         D．4个

             3题图                          4题图

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC=       .

(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

5.根据下列条件解Rt△ABC(∠C=90°).

  (1)∠A=30°，b=；                             (2)c=4，b=2.

6.如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20.求∠A的度数.

6题图

7.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的长.

7题图

8.如图，C、D是半圆O上两点，，求cos∠CEB和tan∠CEB．

8题图

9.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°．

(1)试判断CD与⊙O的关系，并说明理由．

    (2)若⊙O的半径为3 cm，，AE＝5 cm．求∠ADE的正弦值．

   9题图

拓展探究

1.探究：已知如图1，在△ABC中，∠A=α(0°＜α＜90°)，AB=c，AC=b,试用含b，c，α的式子表示△ABC的面积；

应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，试用含b，c，α的式子表示平行四边形ABCD的面积.

28.2.1 解直角三角形答案

自主预习

1. (1) a2+b2=c2    (2) ∠A+∠B=90°    (3)         

2. 6.8

互动训练

1. C.   2. A.

3.C.解析：在Rt△ABC中，∵AB=4，AC=2，∠C=90°，

∴cosA===，∴∠A=45°.故选C.

4.45°，5. 解析：∵sinA===，∴∠A=45°，∴∠B=90°－∠A=45°，∴∠B=∠A，∴b=a=5.

5.解：∵tanA===，  ∴∠A=30°.

     ∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，AB=2BC=4.

6.解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，b=4，a=4，∴tanA===，∴∠A=60°，∴∠B=90°－∠A=30°，∴c=2b=8.

故c=8，∠A=60°，∠B=30°.

7. A.

8. D. 解析：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，AB=8，

∴BC=ABcosB=8×=4.故选D.

9.D. 解析：根据垂线段最短，可知AP的长不可能小于3.在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=6，∴AP的长不可能大于6.故选D.

10. B.    11. 6.

12.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，

∴∠A=30°，∴sinA==， ∵c=25，∴a=.

∵cosA==，c=25，∴b=.

综上a=， b=，∠A=30°.

(2) ∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°.

在Rt△ABC中，cosA==，∵b=，∴c=2，∴a=c=1.

综上，a=l，c=2，∠B=60°.

13.解：∵∠A=60°，  ∴∠B=90°-∠A=30°.

  ∵sinA=,   ∴a=c·sinA=8×sin60°=8×=12，

  ∴b===4.

14.解：∠A=90°-∠B=90°-55°=35°.

  ∵tanB=，∴BC==≈2.8.

  ∵sinB=，∴AB==≈4.9.

15. D. 解析：∴sinA=，cosB=，∴∠A=∠B=30°，∴BC=AC.

如图，过点C作CD⊥AB于点D，则CD=AC=20，AD=20，

∴AB=2AD=40，∴S△ABC=AB·CD=400.  故选D.

15题图

16. C. 解析：∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC.

在Rt△BDA中，∠BDA=90°，AD=12，sinB==，

∴AB=15，∴BD===9，

DC=BC－BD=14－9=5. 故选C.

17. (－， ＋1). 解析：过点C作CE⊥y轴于点E，

则Rt△CEB≌Rt△BOA，∴CE=BO=，BE=AO==l，

∴OE=OB＋BE=＋1，∴点C的坐标为(－，＋1) .

18.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则sinA==，∴CD=AC=4.

在Rt△BCD，BC=5，CD=4，∴BD=3，∴tanB==.

19.解：(1)∵∠A=60o，∠ABE=90°，∴∠E=30°.

在Rt△ABE中，∵AB=6，tanA=，∴BE=AB·tanA=6×tan60°=6.

∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，

∴CE===8，BC=BE－CE=6－8.

(2)∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x，AE=5x，则AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得DE=，

∴AD=AE－DE=10－=.

19题图

课时达标

1. C.   2. A.  

3. C. 解析：由菱形的周长为20 cm知菱形边长是5 cm．

在Rt△ADE中，∵ AD＝5 cm，sin A＝，∴ DE＝AD·sinA＝(cm)．

∴ (cm)．∴  BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)．

菱形的面积为AB·DE＝5×3＝15(cm2)．

在Rt△DEB中，(cm)．

综上所述①②③正确．故选C．

4. 24.

5.(1)∠B=90°-∠A=90°-30°=60°. ∵tanA=，∴a=b·tanA=×=1. ∴c=2a=2.

  (2)由勾股定理得：a===2.

∵b=2，a=2，∠C=90°， ∴∠A=∠B=45°.

6.在Rt△BDC中，∵sin∠BDC=，

∴BC=BD×sin∠BDC=10×sin45°=10.

在Rt△ABC中，∵sin∠A===，∴∠A=30°.

7.过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°.

∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD.

∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=.

由勾股定理得：AD==3.  ∴AB=AD+BD=3+.

8. 解：如图，连结BC，则∠ACB=90°，△ECD∽△EBA，

∴，cos∠CEB=   tan∠CEB=

8题图

9. 解： (1)CD与⊙O相切．

  理由：如图所示，连接OD，则∠AOD＝2∠AED＝2×45°＝90°．

∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥DC，

∴ ∠CDO＝∠AOD＝90°，∴ OD⊥CD，∴CD与⊙O相切．

(2)如图所示，连接BE，则∠ADE＝∠ABE．

∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，AB＝2×3＝6(cm)．

在Rt△ABE中，．

∴sin∠ADE＝sin∠ABE．

    9题图 

拓展探究

1.探究：过点B作BD⊥AC,垂足为D.

∵AB=c，∠A=α，∴BD=c·sinα. ∴S△ABC=AC·BD=bcsinα.

  应用：过点C作CE⊥DO于点E. ∴sinα=.

∵在□ABCD中，AC=a，BD=b，∴CO=a，DO=b.

∴S△COD=CO·DO·sinα=18absinα.

∴S△BCD=CE×BD=×asinα×b=absinα，

∴S□ABCD=2S△BCD=absinα.