高中数学北师大版 (2019)必修第二册6.3 探究A对y=Asin（wx+φ）的图象的影响精品课件ppt

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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修第二册6.3 探究A对y=Asin（wx+φ）的图象的影响精品课件pptPPT课件主要包含了必备知识·自主学习，关键能力·合作学习，解析①列表，课堂检测·素养达标，课时素养评价等内容，欢迎下载使用。

函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质
【思考】当φ为何值时,正弦型函数为奇函数?当φ为何值时,正弦型函数是偶函数?提示:当φ=kπ,k∈Z时,正弦型函数是奇函数;当φ= +kπ,k∈Z时,正弦型函数是偶函数.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)y=Asin(ωx+φ)的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.(　　)(2)在y=Asin(ωx+φ)的图象中,相邻的两条对称轴的距离为1个周期.(　　)(3)函数y=sin 的图象对称轴为x= (k∈Z).(　　)(4)函数f(x)=sin 的图象的对称中心是 (k∈Z).(　　)
提示:(1)√.(2)×.相邻两条对称轴之间的距离为半个周期.(3)√.由2x+ =kπ+ 得x= ,k∈Z.(4)×.x+ =kπ得x=kπ- ,k∈Z.
2.函数y=2sin 的周期、振幅依次是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.4π,-2 B.4π,2C.π,2 D.π,-2【解析】选B.振幅为2,周期为 =4π.
3.(教材二次开发:例题改编)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值是3,最小正周期是 ,初相是 ,则这个函数的解析式是______________. 【解析】由函数的最大值是3,得A=3.由函数的最小正周期是得 = ,解得ω=7.由初相是得φ= .答案:y=3sin
类型一　“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象(直观想象、数学运算)【典例】用“五点法”作函数y=2sin +3的图象,并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程.【思路导引】先确定一个周期内的五个关键点,画出一个周期的图象,左、右扩展可得图象,然后根据图象求性质.
②描点连线作出一周期的函数图象.③把此图象左、右扩展即得y=2sin +3的图象.
由图象可知函数的定义域为R,值域为[1,5],周期为T= =2π,频率为f= ,初相为φ=- ,最大值为5,最小值为1.令2kπ- ≤x- ≤2kπ+ (k∈Z)得原函数的增区间为 (k∈Z).令2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ ,(k∈Z)得原函数的减区间为 (k∈Z).令x- =kπ+ (k∈Z)得原函数的对称轴方程为x=kπ+ π(k∈Z).
【解题策略】1.用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的图象,应先令ωx+φ分别为0, ,π, ,2π,然后解出自变量x的对应值,作出一周期内的图象.2.求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,首先把x的系数化为正值,然后利用整体代换,把ωx+φ代入相应不等式中,求出相应的变量x的范围.
【跟踪训练】作出函数y= sin 在x∈ 上的图象.【解析】令X=2x- ,列表如下:
描点连线得图象如图所示.
类型二　已知图象求y=Asin(ωx+φ) 的解析式 (直观想象、数学运算) 【典例】如图所示的是函数y=Asin(ωx+φ) 的图象,确定其函数解析式.
【思路导引】先根据图象求A,ω,最后再求φ.【解析】由题图知A=3,T=π,又图象过点 ,所以所求图象由y=3sin 2x的图象向左平移个单位得到,所以y=3sin 2 ,即y=3sin .
【解题策略】确定函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的解析式的策略(1)一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T= ,所以往往通过求周期T来确定ω.(3)可以从寻找“五点法”中的第一个“零点”ωx+φ=0作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ.也可以从相邻的最高点的ωx+φ= 或最低点的ωx+φ= 来求解φ.
【跟踪训练】已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的函数图象如图所示,求函数的一个解析式.
【解析】方法一:由图象可知函数的最大值为 ,最小值为- ,因为A>0,所以A= .由图象知 ,所以T=π= ,所以ω=2.又 ,所以图象上的最高点的坐标为 ,所以 = sin ,即sin =1,可取φ=- ,故函数的一个解析式为y= sin .
方法二:由图象可知A= ,又图象过点 , 根据五点法作图原理,以上两点可判断为五点法作图中的“第一点”与“第三点”,则有解得故函数的一个解析式为y= sin .
类型三　函数y=Asin(ωx+φ)的性质的应用 (直观想象、数学运算)角度1　求最值【典例】函数y=-2sin +1的最大值为________,取得最大值时x=_____. 【思路导引】利用正弦函数的最大值及取得最大值时的x值代入求解.【解析】ymax=-2×(-1)+1=3,令2x- =- +2kπ,k∈Z,解得x=- +kπ,k∈Z.答案:3　- +kπ,k∈Z
【变式探究】本例中,试求函数的最小值及取得最小值时x的值.【解析】ymin=-2×1+1=-1,令2x- = +2kπ,k∈Z,解得x= +kπ,k∈Z.
角度2　求单调区间【典例】函数y= sin 的单调递减区间是________,在区间上的单调减区间是________. 【思路导引】先由诱导公式将x的系数变为正,再代入正弦函数单调区间解出x.
【解析】函数y= sin =- sin ,令- +2kπ≤3x- ≤ +2kπ,k∈Z,解得- ≤x≤ ,k∈Z.令k=0得, ;令k=1得 .所以在区间上的单调减区间为和 .答案: ,(k∈Z)
【解题策略】求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间的步骤(1)利用诱导公式将x的系数变正;(2)将ωx+φ看作整体,代入正弦函数相应的单调区间中,解出x的范围,并写成区间的形式;(3)写单调区间时不要漏掉k∈Z.
【题组训练】1.函数y=2-3sin 的最大值为________,确定最大值时x=________. 【解析】ymax=2+3=5,令2x- =- +2kπ,k∈Z,解得x=- +kπ,k∈Z.答案:5　- +kπ,k∈Z
2.函数y=2sin 的单调增区间是________. 【解析】函数y=2sin =-2sin2x,令 +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z,解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z.答案: ,k∈Z
3.已知函数f(x)=2sin ,求:(1)f(x)的最小正周期;(2)f(x)的单调递增区间;(3)f(x)取最大值时自变量x的集合.
【解析】由诱导公式得f(x)=2sin =2sin =2sin .(1)由T= =π,得f(x)的最小正周期为π.(2)由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得kπ- ≤x≤kπ- (k∈Z).因此f(x)的单调递增区间为 (k∈Z).
(3)由2x+ =2kπ+ (k∈Z),解得x=kπ- (k∈Z).故f(x)取最大值时自变量x的集合为 .
1.已知f(x)=sin ,x∈N,则f(x)的值域为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 【解析】选C.f(x)=sin 的周期为3,所以x=0时,f(0)= ,x=1时,f(1)= ,x=2时,f(2)=-1,所以f(x)的值域为 .
2.已知函数y=Asin(ωx+φ),x∈R(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示.则A,ω,φ的一个数值可以是(　　)A. B. C. D.
【解析】选A.根据正弦函数的图象性质即可知A= ,由 T=3-1,可得T=8,那么ω= = .因为图象过(1, ),代入可得 = sin ,即sin =1.因为0<φ<π,可得φ=
3.将函数y=sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数y=sin 的图象,则φ等于(　　)A. B. C. D. 【解析】选D.因为φ∈[0,2π),所以把y=sin x的图象向左平移φ个单位长度得到y=sin(x+φ)的图象,而sin =sin =sin .
4.(教材二次开发:练习改编)已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)的最大值为1,有最小值-12,则A=________. 【解析】由题意知A= = .答案:
十　探究A对y=A sin(ωx+φ)的图象的影响【基础通关—水平一】(15分钟　30分) 1.要得到函数y=sin 的图象,只需将函数y=sin2x的图象(　　)A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【解析】选D.因为y=sin =sin ,故要得到函数y=sin 的图象,只需将函数y=sin 2x 的图象向右平移个单位.
2.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)=2cs B.f(x)= cs C.f(x)=2sin D.f(x)=2sin
【解析】选A.由图象知A=2,排除B项.又 =π,知T=4π,所以 =4π.所以ω= ,排除D项.把x=0,y=1代入A,C项中检验,知C项错误.
3.已知函数f(x)= sin 是奇函数,当φ∈ 时φ的值为(　　)A.- π B.- C. D. 【解析】选B.由已知得 +φ=kπ(k∈Z),所以φ=- +kπ(k∈Z).又因为φ∈ ,所以当k=0时,φ=- 符合条件.
4.某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+φ)(其中0【解析】在平面直角坐标系中描出这五个点,如图所示. 根据函数图象的大致走势,可知点(1,0)不符合题意;又因为0因为函数图象过(0,1),所以2sin φ=1,又因为- <φ< ,所以φ= ,由(0,1),(2,1)关于直线x=1对称,知x=1时函数取得最大值2,因此函数的最小正周期为6.所以ω= .答案:y=2sin
5.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位后得到函数y=g(x)的图象,若函数y=g(x)为偶函数,则函数y=f(x)在上的值域为______.
【解析】f(x)向左平移个单位得g(x)=2sin =2sin ,因为g(x)为偶函数,所以 +φ= +kπ,k∈Z,所以φ= +kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ= ,所以f(x)=2sin .当x∈ 时,2x+ ∈ ,所以sin ∈ ,所以f(x)的值域为[-1,2].答案:[-1,2]
6.已知函数f(x)=2sin ,x∈R.(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解析】(1)由2x- =kπ+ ,k∈Z,解得f(x)的对称轴方程是x= + π,k∈Z;由2x- =kπ,k∈Z,解得对称中心是 ,k∈Z;由2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,解得单调递增区间是 ,k∈Z;由2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ π,k∈Z,解得单调递减区间是 ,k∈Z.
(2)因为0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ π.所以当2x- =- ,即x=0时,f(x)取最小值为-1;当2x- = ,即x= 时,f(x)取最大值为2.
【能力进阶—水平二】(30分钟　60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意的x都有f =f ,则f 等于(　　)A.3或0 B.-3或0 C.0 D.-3或3【解析】选D.因为f =f ,所以f(x)关于直线x= 对称.所以f 应取得最大值或最小值.
2.函数f(x)=sin(ωx+φ) 的最小正周期为π,若将其图象向左平移个单位后,得到函数g(x)的图象,且g(x)为奇函数,则函数f(x)的图象(　　)A.关于点对称　 B.关于点对称C.关于直线x= 对称 D.关于直线x= 对称
【解析】选C.由已知得T= =π,则ω=2, 所以f(x)=sin(2x+φ),所以g(x)=sin =sin ,又g(x)为奇函数,则 +φ=kπ(k∈Z),则φ=- ,即f(x)=sin .把x= 代入得sin =1,所以直线x= 为f(x)图象的对称轴.
3.函数f(x)=3sin(ωx+φ) 的最小正周期是π,若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于点对称,则函数f(x)的解析式为(　　)A.f(x)= 3sin B.f(x)= 3sin C.f(x)= 3sin D.f(x)= 3sin
【解析】选D.因为f(x)=3sin(ωx+φ)的最小正周期是π,所以 =π,解得ω=2,所以f(x)= 3sin (2x+φ), 将该函数的图象向右平移个单位后,所得图象对应的函数解析式为y=3sin =3sin .由题意得0=sin ,所以φ= .因此所求函数解析式为f(x)= 3sin .
【补偿训练】设函数f(x)=2sin ,将f(x)图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g(x),则g(x)图象的一条对称轴方程为(　　)A.x= 　　　 B.x= C.x= D.x=
【解析】选D.函数f(x)=2sin ,将f(x)图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g(x)=2sin ,令4x+ =kπ+ ,k∈Z,可解得函数对称轴方程为x= kπ+ ,k∈Z,当k=0时,x= 是函数的一条对称轴.
4.已知函数f(x)=sin ,其中k>0,若当自变量x在任何两个整数间(包含整数本身)变化时,至少含有2个周期,则最小的正整数k为(　　)A.50　　　B.51　　　C.12　　　D.13【解析】选B.由题意知最小正周期T≤ ,即 ≤ ,得k≥16π,所以k的最小正整数为51.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.同时具有性质:①最小正周期是π;②图象关于直线x= 对称;③在上是增函数,这样的一个函数不可能为(　　)A.y=sin B.y=cs C.y=sin D.y=cs
【解析】选ABD.周期是π的只有B,C,y=cs =cs =-sin ,当x∈ 时,2x- ∈ ,因此C是增函数,B是减函数,故选ABD.
6.函数y=xcs x-sin x的部分图象不可能为(　　) 【解析】选ABD.函数y=f(x)=xcs x-sin x满足f(-x)=-f(x),即该函数为奇函数,图象关于原点对称,故B不可能;当x=π时,y=f(π)=πcs π-sin π=-π<0,故A不可能;当x= 时,y=f = cs -sin =-1<0,故D不可能.
三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知将函数f(x)=sin(ωx+φ) 的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,f(x)和g(x)的图象都关于x= 对称,则ω·φ=_______.【解析】由题意知g(x)=f =sin .因为f(x)和g(x)的图象都关于x= 对称,所以解得ω=3(k-k′),k′,k∈Z.
因为0<ω<6,所以ω=3,所以φ=- +kπ,k∈Z,又- <φ< ,所以φ=- ,所以ω·φ=- .答案:-
8.函数f(x)=3sin 的图象为C,有以下结论:①图象C关于直线x= 对称;②图象C关于点对称;③函数f(x)在区间内是增函数;④由y=3sin 2x的图象向右平移个单位可以得到图象C.其中正确的结论是__________.(写出所有正确结论的序号)
【解析】因为f =3sin =-3,所以图象C关于直线x= 对称,即①正确;因为f =3sin =0,所以图象C关于点对称,即②正确;当- 四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的一段图象如图. (1)求f(x)的解析式.(2)至少把f(x)的图象向左平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?
【解析】(1)由题图知A=3, = =5π,所以ω= .因为f(x)=3sin 过点 ,所以sin =0.又因为|φ|< ,所以φ=- ,所以f(x)=3sin .
(2)由f(x+m)=3sin =3sin 为偶函数(m>0),知 - =kπ+ ,k∈Z,即m= kπ+ .因为m>0,所以mmin= .故至少把f(x)的图象向左平移个单位,才能使得到的图象对应的函数是偶函数.
10.已知函数y=Asin(ωx+φ) 的图象如图所示. (1)求这个函数的解析式,并指出它的振幅和初相;(2)求函数在区间上的最大值和最小值,并指出取得最值时的x的值.
【解析】(1)由题中图象知,函数的最大值为2,最小值为-2,所以A=2,又因为 ,所以T=π, =π,所以ω=2.所以函数的解析式为y=2sin(2x+φ).因为函数的图象经过点 ,所以2sin =2,所以sin =1,又因为0<φ< ,所以φ= .故函数的解析式为y=2sin ,其振幅是2,初相是 .
(2)因为x∈ ,所以2x+ ∈ .于是,当2x+ =0,即x=- 时,函数取得最大值0;当2x+ =- ,即x=- 时,函数取得最小值-2.
【创新迁移】1.设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰三角形, ∠KML=90°,KL=1,则f 的值为(　　) A.- B.- C.- D.
【解析】选D.因为f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,0<φ<π)的部分图象如题图所示,△KLM为等腰三角形,∠KML=90°,KL=1,所以A= ,T=2, 因为T= ,所以ω=π,因为函数是偶函数,0<φ<π,所以φ= ,所以函数的解析式为f(x)= sin ,所以f = sin = .
2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式;(2)设0【解析】(1)由题设图象,易得A=2, T= - = ,所以T=π,所以ω= =2.所以f(x)=2sin(2x+φ).因为函数f(x)的图象经过点 .所以2sin =2,即sin =1.又因为- <φ< ,所以- < +φ< .所以 +φ= ,所以φ= .故所求函数f(x)的解析式为f(x)=2sin .
(2)由题意,知方程f(x)=m有两个不同的实数根等价于函数f(x)=2sin 的图象与g(x)=m的图象有两个不同的交点.因为0依据图象可知:当-2②当1