专题十九 计数原理与概率及其分布-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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专题十九 计数原理与概率及其分布
一、单选题
1．（2020·黄梅国际育才高级中学期中）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为、、、件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取件进行检验，则应从丁种型号的产品中抽取（ ）件.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设应从丁种型号的产品中抽取件，利用分层抽样的性质列方程求解．
【详解】
设应从丁种型号的产品中抽取件，由分层抽样的基本性质可得，解得.
故选：A.
【点睛】
本题考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2020·黄梅国际育才高级中学期中）某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）

A．得分在之间的共有40人
B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5
C．估计得分的众数为55
D．这100名参赛者得分的中位数为65
【答案】D
【解析】
【分析】
根据频率和为1，求得，根据得分在的频率是0.40，得到A正确；根据
得分在的频率为0.5，得到B正确；根据最高的小矩形对应的底边中点为，得到C正确，进而得到答案．
【详解】
根据频率和为1，计算，解得，
得分在的频率是0.40，估计得分在的有人，A正确；得分在的频率为0.5，可得这100名参赛者中随机选取一人，得分在的概率为0.5，B正确；根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为，即估计众数为55，C正确，故选D.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.
3．（2020·黄梅国际育才高级中学期中）如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为（ ）

A．4 B．3.15 C．4.5 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
因为线性回归方程=0.7x+0.35，过样本点的中心
，，故选D.
4．（2020·黄梅国际育才高级中学期中）若，则（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由二项式定理可得，代入到中求值即可．
【详解】
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】
本题考查了二项展开式定理的展开使用及灵活变形求值，属于二项式定理应用的中等难度题但也属常见题型．
5．（2020·黄梅国际育才高级中学期中）几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（ ）
A．23 B．24 C．32 D．33
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出，按顺序排在前四个位置中的三个位置，，，且一定排在后四个位置，然后分排在前四个位置中的一个位置与不排在前四个位置中的一个位置两种情况讨论，利用分类计数加法原理可得结果.
【详解】
不妨设代表树枝的高度，五根树枝从上至下共九个位置，
根据甲依次撞击到树枝；乙依次撞击到树枝；丙依次撞击到树枝；丁依次撞击到树枝；戊依次撞击到树枝可得，
在前四个位置，，，且一定排在后四个位置，
（1）若排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C,则第六个位置一定排D，后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D，则后四个位置共有4种排法，所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有种排法；
（2）若不排在前四个位置中的一个位置，则按顺序排在前四个位置，由于，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若不排在前四个位置中的一个位置共有5种排法，
由分类计数原理可得，这9根树枝从高到低不同的次序有种.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.
6．（2020·黄梅国际育才高级中学期中）已知数据，，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平均数、方差的性质直接求解．
【详解】
数据，，，的平均数为，方差为，
数据，，，的平均数是，
方差为．
故选：D．
【点睛】
本题考查一组数据的平均数、方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（2020·黄梅国际育才高级中学期中）在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，则摸出白球的个数多于黑球个数的概率为   
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同知本题是一个古典概型，试验的总事件是从8个球中取3个球有种取法，从中摸出3个球，摸出白球的个数多于黑球个数，包括摸到2个白球，或摸到3个白球有种不同的取法，根据古典概型公式得到结果．
【详解】
解：由题意知本题是一个古典概型，
在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．
试验的总事件是从8个球中取3个球有种取法，
摸出白球的个数多于黑球个数，包括摸到2个白球，或摸到3个白球有种不同的取法，
摸出白球的个数多于黑球个数的概率等于，
故选：．
【点睛】
本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.
8．（2020·辽宁喀喇沁左翼·蒙古族高级中学其他（理））随着南京2月14日颁布修订后的《积分落户实施办法》，3月18日石家庄市推出“零门槛”人户政策实施，2019二线城市抢人大战再升级！某二线城市于2019年初制定人才引进与落户新政（即放宽政策，以下简称新政）硕士研究生及以上学历毕业生可直接落户并享有当地政府依法给予的住房补贴，本科学历毕业生可以直接落户，专科学历毕业生在当地工作两年以上可以落户，高中及以下学历人员在当地工作十年可以落户.新政执行一年，2019年全年新增落户人口较2018年全年增加了一倍，为了深入了解新增落口结构及变化情况，相关部门统计了该市新政执行前一年（即2018年）与新政执行一年（即2019年）新户人口学历构成比例，得到如图所示的扇形图：

则下面结论中错误的是（ ）
A．新政实施后，新增落户人口中本科生已经超过半数
B．新政实施后，高中及以下学历人员新增落户人口减少
C．新政对硕士研究生及以上学历的新增落户人口数量暂时未产生影响
D．新政对专科生在该市落户起到了积极的影响
【答案】B
【解析】
【分析】
通过分析两个饼图中各个学历人数的变化情况，得出正确选项.
【详解】
设人数为，则年人数为，根据两个饼图可知：
年份
高中及以下
专科
本科
硕士及以上
2017




2018






由表格可知，新政实施后，新增落户人口中本科生已经超过半数；高中及以下学历人员新增落户人口增加了；新政对硕士研究生及以上学历的新增落户人口数量暂时未产生影响新政对专科生在该市落户起到了积极的影响；故B选项判断错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查统计图之饼图的读取与理解，并对所反应的数据进行分析和判断，属于基础题.
9．（2020·辽宁喀喇沁左翼·蒙古族高级中学其他（理））某次测量发现一组数据具有较强的相关性，并计算得，其中数据因书写不清楚，只记得是上的一个值，则该数据对应的残差（残差=真实值-预测值）的绝对位不大于0.5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求得估计值，用真实值减去估计值求得残差，根据已知残差的绝对位不大于列不等式，解不等式求得的取值范围，根据几何概型概率计算公式计算出所求概率.
【详解】
依题意可知，估计值为，残差为，依题意得，解得，根据几何概型概率计算公式可得所求概率为，故选C.
【点睛】
本小题主要考查残差的概念及计算，考查几何概型的计算，属于基础题.
10．（2020·湖南新邵·期末）盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.
【详解】
盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，
从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，
若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，
则此时取出黄色球的概率为：，
若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，
则此时取出黄色球的概率为：，
∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：，
故选：A.
【点睛】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.
11．（2020·湖南新邵·期末）某班组织文艺晚会, 准备从等个节目中选出个节目演出, 要求两个节目至少有一个被选中, 且同时被选中时, 它们的演出顺序不能相邻, 那么不同的演出顺序种数为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
只被选中一个时，有种；
都被选中时，有种；
一共有1140种
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
12．（2020·湖南新邵·期末）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下表的列联表：

男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110


0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828





算得，.见附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】C
【解析】
【分析】
根据列联表数据得到7.8，发现它大于6.635，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”，从而可得结论．
【详解】
解：∵7.8＞6.635，，
∴有0.01=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”.
故选：C．
【点睛】
本题考查独立性检验的应用，考查利用临界值，进行判断，属于基础题
13．（2020·湖南新邵·期末）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据丢失（如图），但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是（ ）

A．甲得分的极差是11
B．乙得分的中位数是18.5
C．甲运动员得分有一半在区间上
D．甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高
【答案】D
【解析】
【分析】
根据茎叶图和折线图依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 甲得分的极差是，错误；
B. 乙得分的中位数是，错误；
C. 甲运动员得分在区间上有3个，错误；
D. 甲运动员得分的平均值为：，
乙运动员得分的平均值为：，故正确.
故选：.
【点睛】
本题考查了茎叶图和折线图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
14．（2020·江苏徐州·期末）《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
基本事件总数，大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出大夫、不更恰好在同一组的概率．
【详解】
皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务， 基本事件总数，
大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数，
所以大夫、不更恰好在同一组的概率为．
故选：B．
【点睛】
本题考查了概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（2020·江苏徐州·期末）根据历年气象统计资料，某市七月份吹南风的概率为，下雨的概率为，既吹南风又下雨的概率为，则在吹南风的条件下下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件概率的求解公式即可求出吹南风的条件下下雨的概率.
【详解】
解：即事件“七月份吹南风”， “七月份下雨”，则，，
，所以,
故选:A.
【点睛】
本题考查了条件概率的求解，属于基础题.
16．（2020·江苏徐州·期末）今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的方法种数为（ ）
A．15 B．30 C．6 D．9
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分析“1药”和“1方”的取法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，某医生从“三药三方”中随机选出2种，恰好选出1药1方，
则1药的取法有3种，1方的取法也有3种，
则恰好选出1药1方的方法种数为；
故选：．
【点睛】
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
17．（2020·烟台市教育科学研究院高一期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，设事件“第二枚硬币正面向上”，则（ ）
A．事件与互为对立事件 B．件与为互斥事件
C．事件与事件相等 D．事件与相互独立
【答案】D
【解析】
【分析】
事件发生与否与事件无关，事件发生与否与事件无关，从而事件与事件相互独立．
【详解】
解：抛掷两枚质地均匀的硬币，
设事件 “第一枚硬币正面向上”，
设事件 “第二枚硬币正面向上”，
事件发生与否与事件无关，事件发生与否与事件无关，
事件与事件相互独立．
故选：．
【点睛】
本题考查两个事件的相互关系的判断，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（2020·烟台市教育科学研究院高一期末）人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作，隐性基因记作：成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是，或”）.人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的.分别用，表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现了显性基因，就一定是卷舌的.生物学上已经证明：控制不同性状的基因邀传时互不干扰.若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，不考虑基因突变，基本事件总数，利用列举法求出他们的孩子是单眼皮且卷舌包含的基本事件有3种情况，由此能求出他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率．
【详解】
解：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．有一对夫妻，
两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是，
不考虑基因突变，基本事件总数，
他们的孩子是单眼皮且卷舌包含的基本事件有3种情况，分别为：
，，，
他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为．
故选：．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
19．（2020·安徽池州·期末（理））2020年5月28日，《中华人民共和国民法典》（以下简称《民法典》）获十三届全国人大三次会议高票通过，其被誉为“社会生活的百科全书”，具有重要意义．某网站就“是否关注《民法典》”向网民展开问卷调查，回收100份有效问卷，得到如下列联表，经计算，则下列结论正确的是（ ）

关注《民法典》
不关注《民法典》
男
45
10
女
30
15


附：

0.10
0.050
0.010
0.001

2.706
3.814
6.635
10.828



A．有的把握认为网民关注《民法典》与性别无关
B．有的把握认为网民关注《民法典》与性别有关
C．在犯错误不超过的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关
D．在犯错误超过的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，直接判断选项.
【详解】
依据，故有的把握认为网民关注《民法典》与性别有关.
故选：B
【点睛】
本题考查独立性检验中的理解与意义，属于基础题型.

二、多选题
20．（2020·江苏徐州·期末）给出下列四个命题，其中是真命题的有（ ）
A．若复数，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变
C．已知随机变量X服从二项分布，若，，则
D．若函数在某区间上有定义且连续，则“函数的导数”是“函数在此区间上为增函数”的充分不必要条件
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对于，因为，即可知错误；对于，根据方差公式可知，正确；
对于，根据期望和方差公式即可判断；对于，根据函数的单调性和导数的关系即可判断．
【详解】
解：对于，因为，即可知错误；
对于，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，每个数据与平均数的差的平方没变，
根据方差公式可知，正确；
对于，根据期望和方差公式可知，，．解得，正确；
对于，根据函数的单调性和导数的关系可知，若函数的导数，则函数在此区间上为增函数，
当函数在此区间上为增函数时，函数的导数，所以正确．
故选：．
【点睛】
本题主要考查复数的概念的理解，函数的单调性和导数的关系的应用，以及二项分布的期望公式和方差公式的应用，属于中档题．
21．（2020·江苏徐州·期末）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
A．取出的最大号码X服从超几何分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
【答案】BD
【解析】
【分析】
超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，取出的黑球个数服从超几何分布；取出2个白球的概率为；对于，取出四个黑球的总得分最大，由此求出总得分最大的概率为．
【详解】
解：一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，
对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，
也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，
由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误；
对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，
由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故正确；
对于，取出2个白球的概率为，故错误；
对于，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，
则取出四个黑球的总得分最大，
总得分最大的概率为，故正确．
故选：．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查超几何分布、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（2020·江苏徐州·期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A．X服从二项分布 B．
C．X的期望 D．X的方差
【答案】ABC
【解析】
【分析】
推导出，由此利用二项分布的性质能求出结果．
【详解】
解：由于二进制数的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，
且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：
①后4个数出现0，，记其概率为；
②后4个数位只出现1个1，，记其概率为；
③后4位数位出现2个1，，记其概率为，
④后4个数为上出现3个1，记其概率为，
⑤后4个数为都出现1，，记其概率为，
故，故正确；
又，故正确；
，，故正确；
，的方差，故错误．
故选：．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
23．（2020·烟台市教育科学研究院高一期末）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ）
A．事件发生的概率为
B．事件发生的概率为
C．事件发生的概率为
D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据题意，分别列举出事件和事件所包含的基本事件，再逐项判断，即可得出结果.
【详解】
由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；
“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个基本事件；
“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件；
即事件是事件的子事件；
因此事件发生的概率为，故A错；
事件包含的基本事件个数为个，所以事件发生的概率为；故B正确；
事件包含的基本事件个数为个，所以事件发生的概率为，故C正确；
从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的基本事件为：，，，，共个基本事件，故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，即D错误.
故选：BC.
【点睛】
本题主要考查求古典概型的概率，考查求并事件和交事件的概率，属于基础题型.

第II卷（非选择题）
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三、解答题
24．（2020·黄梅国际育才高级中学期中）将四个编号为1,2,3,4的相同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，
（1）若每个盒子放一个小球，求有多少种放法;
（2）若每个盒子放一球，求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数；
（3）求恰有一个空盒子的放法种数．
【答案】（1）24；（2）8；（3）144；
【解析】
试题分析：（1）直接利用排列数公式即可；（2）先从四个球中选出一个与盒子号码相同，再把剩余的三个分别放入号码不同的盒子中；（3）先从四个盒子中选出一个空盒子，再把球分成2、1、1三组放入三个盒子中，属于不平均分组问题．
试题解析：（1）种；（2）先从四个球中选出一个与盒子号码相同由种方法，再把剩余的三个分别放入号码不同的盒子中有2种方法，所以有种；（3）先从四个盒子中选出一个空盒子有种方法，再把球分成2、1、1三组放入三个盒子中有种，所以有种
考点：1．排列的定义；2．特殊元素优先排；3．不平均分组的排列组合；
25．（2020·黄梅国际育才高级中学期中）某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如表：
推销员编号
1
2
3
4
5
工作年限年
3
5
6
7
9
推销金额万元
2
3
3
4
5


（1）求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（3）若第6名推销员的工作年限是11年，试估计他的年推销金额.
参考公式：线性回归方程中，，其中为样本平均数，）
【答案】（1）；（2）正相关；（3）5.9万元.
【解析】
【分析】
（1）首先求出，的平均数，利用最小二乘法做出的值，再利用样本中心点满足线性回归方程和前面做出的横标和纵标的平均值，求出的值，写出线性回归方程．
（2）根据，即可得出结论；
（3）第6名推销员的工作年限为11年，即当时，把自变量的值代入线性回归方程，得到的预报值，即估计出第6名推销员的年推销金额为5.9万元．
【详解】
（1）由题意知：，
于是：，，
故：所求回归方程为；
（2）由于变量的值随着的值增加而增加，故变量与之间是正相关
（3）将带入回归方程可以估计他的年推销金额为万元．
【点睛】
本题考查回归分析的初步应用，考查利用最小二乘法求线性回归方程，是一个综合题目．
26．（2020·黄梅国际育才高级中学期中）从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其物理成绩分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100）后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）补充完整频率分布直方图估计出本次考试的平均分数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）
（3）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，若从[40，60）分数段抽取2人，则恰有一人来自[50，60）的概率是多少？
【答案】（1）频率为0.3，频率分布直方图见解析；（2）平均数是71分，中位数为73.3分；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由频率颁布直方图中所有小矩形的概率之和为1可计算出缺失部分的概率，并补全图形；
（2）每个小矩形取中间的数据作为这组数据的平均值进行计算，如第一个小矩形，计算为，相加即得平均分；由（1）知中位数在区间[70，80），设为，列方程，解出，即可得中位数；
（3）由分层抽样的要求，在分数段抽取2人，在分数段抽取3人，利用古典概型概率计算公式可得结论．
【详解】
（1）分数在内的频率为
，
又，补出的图形如图所示．

（2）平均分为：，所以估计这次考试的平均分是71分；
由（1）知中位数在区间[70，80），设为，列方程，解出，所以中位数为73.3分；
（3）由题意，在分数段抽取2人，在分数段抽取3人，
所以从[40，60）分数段抽取2人，则恰有一人来自[50，60）的概率.
【点睛】
本题考查频率分布直方图，平均数与中位数的计算，考查古典概率的计算，考查学生的数据分析与运算求解能力.
27．（2020·江苏南通·其他）设的值分别独立地从集合中随机选取，记由组成的数集的元素个数为X.
（1）当时，求的概率；
（2）求X的数学期望.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）（法一）当时，将的27种不同的情况一一列举出来,其中有2个不同数字的有18个，故.
（法二）共有27个，利用排除法,只有一个数的有3个，三个都不相同的有，故恰有2个数的有.故.
（2）根据题意可得，.
对于每个，它不是的概率为，故.再利用加法运算得
.
【详解】
解:（1）（法一）当时，共有以下27种不同的情况
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，.
其中有2个不同数字的有18个，故.
（法二）共有27个，只有一个数的有3个，三个都不相同的有3！，故恰有2个数的有.故.
（2）对于任意R，定义随机变量
，.
则即为在中出现的概率.
对于每个，它不是的概率为，故.
所以.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的期望与方差,考查学生的计算能力和转化思想,属于中档题.
28．（2020·湖北黄州·黄冈中学其他（理））某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，分别用甲、乙两种方法培育该品种花苗.为比较两种培育方法的效果，选取了40棵花苗，随机分成两组，每组20棵.第一组花苗用甲方法培育，第二组用乙方法培育.培育完成后，对每棵花苗进行综合评分，绘制了如图所示的茎叶图：

（1）分别求两种方法培育的花苗综合评分的中位数.你认为哪一种方法培育的花苗综合评分更高？并说明理由.
（2）综合评分超过80的花苗称为优质花苗，填写下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为优质花苗与培育方法有关？

优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法



乙培育法



合计





附：.

0.010
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828



【答案】（1），73.5，甲种方法培育的花苗综合评分更高，理由见解析；（2）列联表见解析，有把握.
【解析】
【分析】
（1）根据茎叶图，其第20和21两个数的平均数为中位数，由中位数大小估计评分的高低即可；
（2）由茎叶图中数据可填写列联表，计算后可得结论．
【详解】
（1）第一组花苗综合评分的中位数为；
第二组花苗综合评分的中位数为，
（从中位数、平均数、分布等某一角度说明即可），甲种中位数大，甲种方法培育的花苗综合评分更高.
（2）列联表如表所示.

优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法
15
5
20
乙培育法
5
15
20
合计
20
20
40


由于，
所以有99.5%的把握认为优质花苗与培育方法有关.
【点睛】
本题考查茎叶图，，考查列联表，独立性检验，根据公式计算出即可得出结论．本题考查了学生的数据处理能力，运算求解能力．属于中档题．
29．（2020·辽宁喀喇沁左翼·蒙古族高级中学其他（理））伴随着科技的迅速发展，国民对“5G”一词越来越熟悉，“5G”全称是第五代移动电话行动通信标准，也称第五代移动通信技术．2017年12月10日，工信部正式对外公布，已向中国电倌、中国移动、中国联通发放了5G系统中低频率使用许可．2019年2月18日上海虹桥火车站正式启动5G网络建设．为了了解某市市民对“5G”的关注情况，通过问卷调查等方式研究市民对该市300万人口进行统计分析，数据分析结果显示：约60%的市民“掌握一定5G知识（即问卷调查分数在80分以上）”将这部分市民称为“5G爱好者”．某机构在“5G爱好者”中随机抽取了年龄在15-45岁之间的100人按照年龄分布(如图所示)，其分组区间为：，，，，，.

(1)求频率直方图中的a的值；
(2)估计全市居民中35岁以上的“5G爱好者”的人数；
(3)若该市政府制定政策：按照年龄从小到大，选拔45%的“5G爱好者”进行5G的专业知识深度培养，将当选者称成按照上述政策及频率分布直方图，估计该市“5G达人”的年龄上限.
【答案】（1）（2）(万人)（3）估计该市“5G达人”的年龄上限为28岁
【解析】
【分析】
（1）根据频率之和为列方程，解方程求得的值.（2）先求得全市“5G爱好者”的人数，通过频率分布直方图频率分布直方图计算出岁以上“5G爱好者”的频率，用人数乘以频率得到所求.（3）前两组频率和为，前三组频率和为，故年龄上限在，利用小长方形的面积和为列方程，解方程求得这个年龄上限.
【详解】
(1)依题意：
所以，
(2)根据题意全市“5G爱好者” (万人)
由样本频率直方图分布可知，35岁以上“5G爱好者”的频率为,
据此可估计全市35岁以上“5G爱好者”的人数 (万人)
(3)样本频率分布直方图中前两组的频率之和为
前3组频率之和为
所以，年龄在25-30之间，不妨设年龄上限为,
由,
得.
所以，估计该市“5G达人”的年龄上限为28岁.
【点睛】
本小题主要考查频率分布直方图得知识，考查频率分布直方图某组高的计算，考查频率的计算，属于基础题.
30．（2020·湖南新邵·期末）高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：.其中a，b，c成等差数列且.物理成绩统计如表.（说明：数学满分150分，物理满分100分）

分组





频数
6
9
20
10
5

（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；
（2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；
（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值.
【答案】（1）（分）；（2）75分；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据频率之和等于，a，b，c成等差数列，，解出的值，利用频率分布直方图，求出平均分；（2）根据物理成绩统计表，得到中位数所在的成绩区间，得到答案；（3）根据数学成绩“优”和物理成绩“优”，得到两科均为“优”的人数，计算出每种情况的概率，写出分布列，得到期望值.
【详解】
（1）根据频率分布直方图得，
又因，
解得，
故数学成绩的平均分

（分），
（2）总人数50分，由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间，
所以物理成绩的中位数为75分.
（3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”有5人，
因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学，
故两科均为“优”的人数为3人，
故X的取值为0、1、2、3.



.
所以分布列为：
X
0
1
2
3
P





期望值为：
.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的特点，根据频率分布直方图求平均值，根据统计表求中位数，求随机变量的分布列和数学期望，属于简单题.
31．（2020·江苏徐州·期末）2020年初，新型冠状病毒（2019-nCoV）肆虐，全民开启防疫防控．新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是40岁以上人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.1，方差为．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
年龄/人数
长期潜伏
非长期潜伏
40岁以上
30
110
40岁及40岁以下
20
40


（1）是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
（2）假设潜伏期X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
（ⅰ）现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；
（ⅱ）以题目中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当k为何值时，取得最大值．
附：

0.1
0.05
0.010

2.706
3.841
6.635


若则．，．
【答案】(1) 没有;(2)(i) 答案见解析；(ii)
【解析】
【分析】
(1)由已知数据求出，即可得到结论.
(2) (i)由正态分布性质求出，即可得到结论.
(ii)由题意求出，结合，从而求出的数据增减情况，从而可求出取得最大值时的值.
【详解】
（1），
由于，故没有95%的把握认为“长潜伏期”与年龄有关；
（2）（ⅰ）若潜伏期，由，
得知潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的；
（ⅱ）由于200个病例中有50个属于长潜伏期，
若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，
于是.则
.当时，；
当时，；
∴，.
故当时，取得最大值.
【点睛】
本题考查了独立性检验，考查了正态分布，考查了事件概率的求解，属于中档题.
32．（2020·江苏徐州·期末）已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立．现有甲、乙、丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙、丙三名考生材料初审合格的概率分别是，，；面试合格的概率分别是，，．
（1）求甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率；
（2）求三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率；
（3）记随机变量X为甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数，求X的概率分布与数学期望．
【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）设事件表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，事件表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，求出，，甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为，由此能求出结果．
（2）设事件表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，则（C），三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，由此能求出三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率．
（3）的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的概率分布和数学期望．
【详解】
解：（1）设事件表示“甲获得该高校综合评价录取资格”，
事件表示“乙获得该高校综合评价录取资格”，
则，，
甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为：
．
（2）设事件表示“丙获得该高校综合评价录取资格”，
则，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的对立事件是三人都没有获得该高校综合评价录取资格，
三人中至少有一人获得该高校综合评价录取资格的概率为：
．
（3）记随机变量为甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数，
则的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的概率分布为：

0
1
2
3






数学期望．
【点睛】
本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
33．（2020·江苏宿迁·期中）一天的课表有7节课，其中上午4节，下午3节，要排语文，数学，外语，微机，体育，地理，物理7节课.
（1）语文课排第1节课，共有多少种不同的排课方法？（用数字作答）
（2）数学课不排第7节课，共有多少种不同的排课方法？（用数字作答）
（3）体育课不排第1节课，微机课不排第7节课，共有多少种不同的排课方法？（用数字作答）
【答案】（1）720；（2）4320；（3）3720.
【解析】
【分析】
（1）语文课排第一节，相当于其余六节课全排列即可得结果；
（2）数学课不排第7节课，先从前六节课中选一节给数学，有6种选法，其余6节课全排，利用分步计数原理求得结果；
（3）当体育课排在第7节课时有种排法，当体育课排在中间5节课时，有5种排法，微机课也有5种排法，其余五节课全排列，有种排法，之后应用分类加法计数原理求得结果.
【详解】
（1）语文课排第一节，相当于其余六节课全排列，即有种；
（2）数学课不排第7节课，先从前六节课中选一节给数学，有6种选法，
其余6节课全排，利用分步计数原理得种；
（3）当体育课排在第7节课时有种排法，
当体育课排在中间5节课时，有5种排法，微机课也有5种排法，
其余五节课全排列，有种排法，
之后应用分类加法计数原理，有种.
【点睛】
该题考查的是有关排列的综合题，涉及到的知识点有具有特殊元素的排列数的求解，分步计数原理，分类计数原理，属于简单题目.
34．（2020·烟台市教育科学研究院高一期末）为了解某市家庭用电辑的情况，该市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将得到数据按如下方式分为9组：，，…，，绘制得到如下的频率分布直方图：

（1）试估计抽查样本中用电量在的用户数量；
（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使的居民缴费在第一档，的居民缴费在第二档，其余的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数：范围用左开右闭区间表示）
（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为和的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图，求出对应的频率，进而可得用户数量；
（2）根据题意，分别求出和对应的用电量，进而可得出结果；
（3）先由题意，得到样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在的用户有2户，设编号分别为，，根据列举法得出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率.
【详解】
（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23，落在，，，的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01.
因此，样本落在的频率为

样本中用电量在的用户数为.
（2）因为，，
为了使的居民缴费在第一档，只需对应的用电量位于内，
于是，
又，
所以对应的用电量为280.
所以第二档的范围可确定为.
（3）由题可知，样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在的用户有2户，设编号分别为，，则从6户中任取2户的样本空间为：
，共有15个样本点.
设事件“走访对象来自不同分组”，
则，
所以，从而.
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图的简单应用，考查求古典概型的概率，属于常考题型.
35．（2020·烟台市教育科学研究院高一期末）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
【答案】（1）派甲参赛获胜的概率更大；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率，由此得解．
（2）设表示“甲赢得比赛”， 表示“乙赢得比赛”， 表示“两人中至少有一个赢得比赛”， ，由此能求出两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【详解】
解：（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则
“甲赢得比赛”，.
“乙赢得比赛”，.
因为，所以派甲参赛获胜的概率更大.
（2）由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，
则；
.
于是“两人中至少有一人赢得比赛”
.
【点睛】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
36．（2020·甘肃城关·兰州一中期末）某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期
4月1日
4月7日
4月15日
4月21日
4月30日
温差
10
11
13
12
8
发芽数颗
23
25
30
26
16


（1）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出关于的线性回归方程；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
【答案】（1）；（2）线性回归方程是可靠的.
【解析】
【分析】
（1）根据最小二乘法公式，分别将数据代入计算，即可得答案；
（2）选取的是4月1日与4月30日的两组数据，即和代入判断即可；
【详解】
解：（1）由数据得，，，；
又，；，；
所以关于的线性回归方程为：.
（2）当时，，；
当时，，，
所得到的线性回归方程是可靠的.
【点睛】
本题考查最小二乘法求回归直线方程及利用回归方程进行判断拟合效果，考查数据处理能力，求解时注意回归直线必过样本点中心的应用.
37．（2020·安徽池州·期末（理））某县教研室联合本县，两所招生生源大体相当的学校举行一次高一数学联考，满分150分，规定120分及其以上为优秀，教研室为了研究数学成绩与学校是否有关，用简单随机抽样的方法调查了100名联考学生的成绩，得到下面列联表：

优秀
非优秀
合计
学校
48
12
60
学校
16
24
40
合计
64
36
100

（1）估计校学生数学成绩为优秀的概率；
（2）能否有的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关？
附

0.050
0.025
0.010
0.001

3.841
5.024
6.635
10.828


【答案】（1）；（2）有的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关.
【解析】
【分析】
（1）校数学成绩优秀学生的人数为48，代入概率公式即可得到答案；
（2）计算，由于，从而得出结论.
【详解】
（1）由抽取数据，校数学成绩优秀学生的人数为48，
所以估计校学生数学成绩为优秀的概率估计值为
（2），由于，
故有的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关.
【点睛】
本题考查的是独立性检验的知识点，考查计算能力，属于简单题型.

四、填空题
38．（2020·烟台市教育科学研究院高一期末）某工厂有，，三个车间，车间有600人，车间有500人.若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中车间10人，则样本中车间的人数为________
【答案】8
【解析】
【分析】
根据题意，先确定分层抽样的抽样比，求出样本中车间的人数，进而可求出车间的人数.
【详解】
因为车间有500人，样本中车间10人，所以抽样比为，
因此车间抽取的人数为，
所以样本中车间的人数为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查分层抽样，属于基础题型.