专题十九 计数原理与概率及其分布-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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专题十九 计数原理与概率及其分布
一、单选题
1．（2021·吉林四平市·高三期末（文））从名男同学和名女同学中任选名同学参加志愿者服务，则选出的名同学中恰有名男同学和名女同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
这是一个古典概型，先计算从名男同学和名女同学中任选名同学的基本事件数，再计算选出的名同学中恰有名男同学和名女同学的基本事件数，代入公式求解.
【详解】
因为从名男同学和名女同学中任选名同学的基本事件有种,
选出的名同学中恰有名男同学和名女同学的基本事件有种,
所以选出的名同学中恰有名男同学和名女同学的概率为,
故选：C
2．（2021·四川资阳市·高二期末（理））在区间上任取一个实数，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先由求出，再根据几何概型概率的求法可得答案.
【详解】
由可得
所以在区间上任取一个实数，则的概率为
故选：C
3．（2021·湖南益阳市·高二期末）如图，在半径为2的圆中进行随机撒一粒黄豆的重复实验，在1000次实验中，黄豆有280次落到了阴影部分中，将频率视为概率，依此估计阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由几何概型概率公式估计阴影部分的面积.
【详解】
设阴影部分的面积为，则由几何概型概率公式可知
故选：D
4．（2021·湖南益阳市·高二期末）如图，是统计某样本数据得到的频率分布直方图，已知该样本容量为300，则样本数据落在内的频数为（ ）

A．68 B．170 C．204 D．240
【答案】C
【分析】
先根据频率分布直方图计算样本数据落在内的频率，再计算频数即可.
【详解】
样本数据落在内的频率为，
所以样本数据落在内的频数为，
故选：C
5．（2020·湖北高三月考）党的十八大要求全面实施素质教育，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，劳动教育受到全社会广泛关注.某学校的某班级将5名同学分配到甲、乙、丙三个村参加劳动锻炼，每个村至少分配一位同学，则甲村恰好分配2位同学的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先求出5名同学分配到甲、乙、丙三个村共有个基本事件，甲村恰好分配2位同学共有个基本事件，再利用古典概型公式即可得到答案.
【详解】
5名同学分配到甲、乙、丙三个村共有，
甲村恰好分配2位同学共有，
所以甲村恰好分配2位同学的概率.
故选：B
6．（2021·北京房山区·高二期末）已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用二项分布概率计算公式即可解得
【详解】
由已知位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为，则不被治愈的概率为
所以位患者中恰有1为患者被治愈的概率为
故选：B
【点睛】
结论点睛：二项分布概率公式，n是试验次数，k是指定事件发生的次数，p是指定事件在一次试验中发生的概率，考查学生的逻辑能力与运算能力，属于基础题.
7．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（理））今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克难时，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.我市某医院派出18护士，2名医生支援湖北，将他们随机分成甲､乙两个医院，每个医院10人，其中2名医生恰好被分在不同医院的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先计算出基本事件的总数，再计算出2名医生恰好被分在不同医院的包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率公式计算即可求解.
【详解】
从18护士，2名医生中任取10人有种，
2名医生恰好被分在不同医院有种，
所以2名医生恰好被分在不同医院的概率为，
故选：A
8．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高二期末（理））在区间上随机取一个数，则的值介于到1的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，由余弦函数的图象和性质，求出的值介于到1的的取值范围，由几何概型的概率公式计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，区间，上，若，则有，
则的值介于到1的概率，
故选：．
9．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高二期末（理））从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（ ）
A．所取的3个球中至少有一个白球 B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球
C．所取的3个球都是黑球 D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球
【答案】B
【分析】
根据互斥事件的定义即可判断．
【详解】
将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑.
事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥事件的定义可知，
只有事件“所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件互斥．
故选：B．
10．（2021·北京房山区·高一期末）某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品．从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到一等品”的概率为，“抽到二等品”的概率为，则“抽到不合格品”的概率为（ ）
A．0.05 B．0.25 C．0.8 D．0.95
【答案】A
【分析】
利用互斥事件的概率加法公式即可求解.
【详解】
“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，
所以“抽到一等品或二等品”的概率为，
“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，
故其概率为.
故选：A．
11．（2021·湖北黄冈市·高二期末）学校举行秋季运动会，高一（1）班选出5名同学参加跳高、跳远、跳绳三个项目比赛，每个项目至少有一名同学参加，则甲不参加跳绳比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先计算基本事件总数，再计算满足甲不参加跳绳比赛的事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】
解：依题意5名同学参加跳高、跳远、跳绳三个项目比赛，每个项目至少有一名同学先分组再排列，
①5人分为：1,1,3，则有种；
②5人分为：1，2,2，则有种，
所以一共有种分法；
甲同学有2种参赛方法，其余四名同学，若只参加其余两个项目，则将四名同学分为两组，分组方案有种，再将其分到两个项目中去，分配方法有种；
若剩下的四名同学参加3个项目，则将其分成3组，再分到3个项目中去有种，所以一共有种，所以概率
故选：D
【点睛】
本题考查分组分配问题以及古典概型，对于部分平均分组需要除以组数的全排列；
12．（2021·江西高三其他模拟）为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】
某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾.
某班按此四类由位同学组成四个宣传小组，
其中可回收物宣传小组有位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有位同学.
现从这位同学中选派人到某小区进行宣传活动，基本事件总数，
每个宣传小组至少选派人包含的基本事件个数为，
则每个宣传小组至少选派人的概率为.
故选：D.
【点睛】
本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，采用“先分类，再分组”的思想即可.
13．（2020·全国高三零模）在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.
【详解】
设三位同学分别为，他们的学号分别为，
用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如表示同学拿到号，同学拿到号，同学拿到号.
三人可能拿到的卡片结果为：，共6种，
其中满足题意的结果有，共3种，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．
(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏．
(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
14．（2021·北京东城区·高三期末）十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（ ）
A．242种 B．220种 C．200种 D．110种
【答案】C
【分析】
根据甲的特殊性，先确定甲的选法有多少种，再根据乙丙中的一人选择羊，确定另一人的选法有多少种，最后根据分步计数原理，得出总共的选法有多少种.
【详解】
根据题意,甲没有选择马且乙丙中有一人选择羊，所以甲没有选择马和羊，而是在除了马和羊的十个中选择一个，即有种.
乙丙中恰有一人选羊，先在两个人中选一人让他选羊，即有种，再让剩下的一人在剩余的十个动物中选一个，即有种.
根据分步计数原理，综上所述：选法总共有种
故选：C.
15．（2021·北京丰台区·高三期末）某校实行选科走班制度(语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科)．根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科．语文、数学、英语只排在第二节．物理、政治排在同-天．化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分三步完成，先排语数外，再将排在同一天的“捆绑”，将捆绑后的三个元素排列，即可求出.
【详解】
先将语文、数学、英语排在第二节，有种排法，
将物理和政治，化学和地理，生物和历史分别“捆绑”，有种排法，
将捆绑后的三个元素排在三天，有种排法，
则不同的排课方案的种数为种.
故选：D.
16．（2021·上海高三专题练习）某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种．
A．5040 B．1260 C．210 D．630
【答案】D
【分析】
把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，即可求解.
【详解】
把7天分成一组2天，一组2天，一组3天，3个人各选1组值班，共有种．
故选：D.
17．（2021·吉林四平市·高三期末（理））从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先计算出从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务的种数，再计算出选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的种数可得答案.
【详解】
从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务有种，选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学共有种，则选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的概率为.
故选：C.
18．（2021·青铜峡市高级中学高二期末（理））容量为100的某个样本数据分成10组，并填写频率分布表，若前7组频率之和为0.79，则剩下3组的频率之和为（ ）
A．0.21% B．0.21 C．21 D．无法确定
【答案】B
【分析】
样本频率和为1
【详解】
样本频率和为1，则剩下3组的频率之和为0.21
故选：B
19．（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）某单位举行知识竞赛，给每位参赛选手设计了两道题目，已知某单位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据相互独立事件的概率计算公式，以及对立事件的概率计算公式，由题中条件，可直接得出结果.
【详解】
因为参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，
则该参赛者答完两道题目后至少答对一题的概率为.
故选：D.
20．（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回的从中一次随机摸出2个球.设事件A=“两个球颜色相同”，则事件A发生的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求基本事件总数，和事件A包含的基本事件数，再利用古典概率计算公式计算即得结果.
【详解】
袋子中有大小和质地完全相同的4个球，不放回的从中一次随机摸出2个球，基本事件总数是种，事件A包含的基本事件是 “两个球都是红球”，“ 两个球都是白球”，共2个，故事件A发生的概率.
故选：C.
21．（2021·北京高二期末）某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出对立事件：一次都未投中的概率，然后可得结论．
【详解】
由题意小明每次投篮不中的概率是，再次投篮都不中的概率是，
∴他再次投篮至少投中一次的概率为．
故选：D．
【点睛】
本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，在出现至少、至多等词语时，可先求其对立事件的概率，然后由对立事件概率公式得出结论．
22．（2021·湖南长沙市·长沙一中高三月考）在中国传统佳节元宵节中赏花灯是常见的活动.某单位拟举办庆祝元宵的活动，购买了A，B，C三种类型的花灯，其中A种花灯4个，B种花灯5个，C种花灯1个，现从中随机抽取4个花灯，则A，B，C三种花灯各至少被抽取一个的情况种数为（ ）
A．30 B．70 C．40 D．84
【答案】B
【分析】
由题可得三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种，列式计算即可.
【详解】
由题意可知，三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种：
种花灯选2个，种花灯选1个，种花灯选1个；
种花灯选1个，种花灯选2个，种花灯选1个.
故不同的抽取方法有(种).
故选：B.
23．（2020·全国高三专题练习）有张扑克牌，分别是红桃、红桃、黑桃、红桃、黑桃，从中随机抽取张，给甲、乙两人各一张，则甲所得扑克牌的数字比乙大的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出随机抽取张，给甲、乙两人各一张的方法数（任取2个的排列），用表格（列举法）写出甲所得扑克牌的数字比乙大的所有情况，计数后可计算出概率．
【详解】
从张扑克牌中随机抽两张给甲、乙两人各一张，共有种情况，
其中甲所得扑克牌的数字比乙大的情况有：
甲
红
黑
红
红
红
黑
黑
黑
乙
红
红
红
红
黑
红
红
黑
则甲所得扑克牌的数字比乙大的概率，
故选：C．

二、多选题
24．（2021·福建厦门市·高二期末）下列说法正确的是（ ）
A．在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率
B．掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是对立事件
C．连续20次掷一枚骰子，结果都是出现1点，有理由认为这枚骰子质地不均匀
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3次均正面向上，则第4次正面向上的概率小于
【答案】AC
【分析】
根据频率与概率之间的关系可判断A；由对立事件的概念可判断B；由“极大似然法”可判断C；根据概率的定义可判断D.
【详解】
对于A，在相同条件下，试验次数越多，频率就会稳定在概率附近，故A正确；
对于B，掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，故B不正确；
对于C，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以结果都是出现1点，有理由认为这枚骰子质地不均匀，故C正确；
对于D，由于概率是稳定的数值，抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率等于，故D不正确.
故选：AC
25．（2021·福建宁德市·高二期末）某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ ）
A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
【答案】ABC
【分析】
对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项.
【详解】
甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，
随机事件“若能得3分”中有基本事件，故“能得3分”的概率为，故A正确.
乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，
分别为：，
随机事件“能得5分”中有基本事件，故“能得5分”的概率为，故B正确.
丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），
由A、B中的分析可知共有基本事件种，分别为：
选择一项：；
选择两项：；
选择三项或全选：，，
随机事件“能得分”中有基本事件，
故“能得分”的概率为，故C正确.
丁同学随机至少选择两个选项，有C的分析可知：共有基本事件11个，
随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，
故D错.
故选：ABC.
【点睛】
方法点睛：古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.
26．（2021·湖北黄冈市·高二期末）为弘扬我国古代“六艺”文化，某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程，若甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程．则（ ）
A．甲乙丙三人选择课程方案有种方法
B．恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为
C．已知甲不选择课程“御”的条件下，乙丙也不选择“御”的概率为
D．设三名同学选择课程“礼”的人数为，则
【答案】BCD
【分析】
A选项考查了排列组合的内容；B选项利用排列组合分别算出基本事件总数与满足题意的基本事件个数，代入古典概型公式计算；C选项利用条件概率的公式代入求解；D选项利用二项分布的公式求解.
【详解】
甲乙丙三名同学各只能体验其中一门课程，则选择方法有种，故A错误；恰有三门课程没有被三名同学选中，表示三位同学每个人选择了不重复的一门课程，所以概率为，故B正确；已知甲不选择课程“御”的概率为，甲乙丙都不选择“御”的概率为，所以条件概率为，故C正确；三名同学选择课程“礼”的人数为，则服从二项分布，则，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】
方法点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素（或位置）的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）．
（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
27．（2021·江苏常州市·高三期末）年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年月至年月间，当月在售二手房均价(单位：万元/平方米)的散点图.(图中月份代码分别对应年月年月)

根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：






注：是样本数据中的平均数，是样本数据中的平均数，则下列说法正确的是（ ）
A．当月在售二手房均价与月份代码呈负相关关系
B．由预测年月在售二手房均价约为万元/平方米
C．曲线与都经过点
D．模型回归曲线的拟合效果比模型的好
【答案】BD
【分析】
根据散点图的分布可判断A选项的正误；将代入回归方程可判断B选项的正误；根据非线性回归曲线不一定经过 可判断C选项的正误；根据回归模型的拟合效果与的大小关系可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价y与月份代码x呈正相关关系，故A不正确；
对于B，令，由，
所以可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.05091.0509万元/平方米，故B正确；
对于C，非线性回归曲线不一定经过 ，故C错误；
对于D，越大，拟合效果越好，由，故D正确.
故选：BD

第II卷（非选择题）

三、解答题
28．（2021·四川资阳市·高二期末（理））已知曲线C：，集合，.
（1）若，求曲线C为半径的圆的概率；
（2）若，求曲线C为焦点在x轴上的椭圆的概率.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据，列出a，b所有的取值可能，找到曲线C为半径的圆，即的可能取值，代入概率公式，即可得答案；
（2）根据，列出a，b所有的取值可能，找到满足曲线C为椭圆且焦点在x轴上，即的可能取值，代入概率公式，即可得答案.
【详解】
（1）由得，a，b所有的取值可能为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9种.
满足曲线C轨迹为圆且半径，即的有(2，2)，(3，3)两种.
所以，概率.
（2）由，a，b所有取值可能有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共12种.
满足曲线C为椭圆且焦点在x轴上，即的有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共6种.
所以概率
29．（2021·福建宁德市·高二期末）某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，对视力情况绘制了如下频率分布直方图．如图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是．

（1）求x的值；
（2）估计该校学生视力的平均值；
（3）用频率估计概率，若从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，求抽出的学生中有两名视力不低于的概率．
【答案】（1）；（2）0.66；（3）.
【分析】
（1）从左至右五个小组的频率之比依次是，得出每组的频率，然后用第一组的频率比组距即可得到的值；
（2）在频率分布直方图中，用每个区间的中点值乘以该组的频率求和便可得到平均值；
（3）先计算出随机抽取六名学生时，第3组至第5组的学生人数，然后根据古典概型的计算方法求解抽出的学生中有两名视力不低于的概率.
【详解】
解：（1）因为从左至右五个小组的频率之比依次是，故直方图中从左到右各组频率依次为，， ，， ，而组距为
故
（2）设该校学生视力平均值为，则

（3）由第3组至第5组的频率比为得，从第3组抽取的人数为3人，记为；从第4组抽取的人数为2人，记为；从第5组抽取的人数为1人，记为， 则从这6人中随机抽取两名学生的情况有：

共15种，
其中视力不低于0.8的有共3种，
故从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，抽出的学生中有两名视力不低于0.8的概率为.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的运用及古典概型概率的计算，解答的思路如下：
（1）利用频率分布直方图估计样本的平均数时，只需利用每个区间的中点值乘以本组的频率一个求和即可；
（2）计算古典概型时，可采用列举法、列表法或树状图法，得出基本事件的总个数及某事件成立时所包含的基本事件个数是关键.
30．（2021·北京房山区·高二期末）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：
（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；
（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
（Ⅲ）第二次摸到红球的概率.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】
（Ⅰ）求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可得所求的概率．
（Ⅱ）第一次摸到红球后，还余下个红球和个白球，同（Ⅰ）可求概率．
（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）利用全概率公式可求第二次摸到红球的概率．
【详解】
设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，
则事件：第一次摸到白球.
（Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，
所以 .
（Ⅱ）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种.
所以.
（Ⅲ）.
所以第二次摸到红球的概率.
【点睛】
方法点睛：利用全概率公式计算随机事件的概率时，注意把随机事件分解为两个随机事件和，再利用条件概率公式计算两者的概率即可．
31．（2021·江苏省新海高级中学高三期末）为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取100只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：

（1）根据频率分布直方图，估计100只小白鼠该项医学指标平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）若认为小白鼠的该项医学指标值服从正态分布，且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的100只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有10只小白鼠又产生了抗体．这里近似为小白鼠医学指标平均值，近似为样本方差．经计算得，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率（精确到0.01）．
附：参考数据与公式
，若，则①；②；③．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用每一个小矩形的面积乘以对应的底边中点的横坐标之和即为；
（2）先计算第一次注射疫苗后产生抗体的概率，即可计算第一次注射疫苗后100只小白鼠中产生抗体的数量，加上第二次注射疫苗10只小白鼠又产生了抗体，可以得出两次注射疫苗产生抗体的总数，即可求概率.
【详解】
（1）

（2）
∴
记事件表示首先注射疫苗后产生抗体，则
，
因此100只小鼠首先注射疫苗后有只产生抗体，有只没有产生抗体．故注射疫苗后产生抗体的概率.
【点睛】
结论点睛：
频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算，
①直方图中各个小长方形的面积之和为；
②直方图中每组样本的频数为频率乘以总数；
③最高的小矩形底边中点横坐标即是众数；
④中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；
⑤平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
32．（2021·北京高一期末）某网上电子商城销售甲､乙两种品牌的固态硬盘，甲､乙两种品牌的固态硬盘保修期均为3年，现从该商城已售出的甲､乙两种品牌的固态硬盘中各随机抽取50个，统计这些固态硬盘首次出现故障发生在保修期内的数据如下：
型号
甲
乙
首次出现故障的时间x(年)






硬盘数(个)
2
1
2
1
2
3
假设甲､乙两种品牌的固态硬盘首次出现故障相互独立.
（1）从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，试估计首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）某人在该商城同时购买了甲､乙两种品牌的固态硬盘各一个，试估计恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年(即)的概率.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由频率表示概率即可求出；
（2）先分别求出从甲、乙两种品牌随机抽取一个，首次出现故障发生在保修期的第3年的概率，即可求出恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率.
【详解】
解：（1）在图表中，甲品牌的个样本中，
首次出现故障发生在保修期内的概率为：，
设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，
其首次出现故障发生在保修期内为事件，
利用频率估计概率，得，
即从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，
其首次出现故障发生在保修期内的概率为：；
（2）设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，
其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件，
从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个，
其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件，
利用频率估计概率，得：，
则



,
某人在该商城同时购买了甲､乙两种品牌的固态硬盘各一个，恰有一个首次出现故障发生在保修期的第3年的概率为：.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用频率表示概率.
33．（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）一个口袋内装有形状､大小相同，编号为1，2，3的3个白球和编号为a的1个黑球.
（1）从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率；
（2）从中连续取两次，每次取一球后放回，甲､乙约定：若取出的两个球中至少有1个黑球，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.
【答案】（1）；（2）不公平，理由见详解.
【分析】
（1）用列举法列举出总的基本事件，以及满足摸出的2个球都是白球所包含的基本事件，基本事件的个数比，即为所求概率；
（2）用列举法列举出“从袋中连续取两次，每次取一球后放回”所包含的基本事件，以及“取出的两个球中至少有1个黑球”所包含的基本事件，基本事件个数比即为甲胜的概率，进而可得出结论.
【详解】
（1）从袋中一次性摸出2个球，所包含的基本事件有：，，，，，，共个基本事件；
摸出的2个球都是白球，所包含的基本事件有：，，，共个基本事件；
则从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率为；
（2）从袋中连续取两次，每次取一球后放回，则所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；
则取出的两个球中至少有1个黑球，所包含的基本事件有：，，，，，，，共个基本事件；
因此取出的两个球中至少有1个黑球的概率为，即甲胜的概率为，则乙胜的概率为，所以此游戏不公平.
【点睛】
方法点睛：
求古典概型的概率的常用方法：
（1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；
（2）古典概型所包含的基本事件个数较多时，可根据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，进而求出所求概率.
34．（2021·安徽淮北市·高三一模（理））甲､乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲､乙在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛相互独立，用X表示比赛结束时的比赛局数
（1）求比赛结束时甲只获胜一局的概率；
（2）求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）先分析出甲只获胜一局的所有情况，然后根据对应的情况去计算概率；
（2）先分析的可能取值，然后根据取值列出对应的比赛获胜情况，由此计算出对应的概率，可得的分布列，根据分布列可计算出数学期望.
【详解】
（1）因为比赛结束时甲只获胜一局，所以一共比赛了局，且甲在第局或第局赢了，
当甲在第局赢了，则乙在后面局都赢了，此事件的概率为：，
当甲在第局赢了，则乙在第局赢了，此事件的概率为：，
记“比赛结束时甲只获胜一局”为事件，则；
（2）根据条件可知：可取，
当时，包含甲或乙前局连胜，此时种情况：{甲，甲}，{乙，乙}；
当时，包含甲或乙前局赢了局，后局都没赢，此时种情况：{甲，乙，乙，乙}，
{乙，甲，乙，乙}，{乙，甲，甲，甲}，{甲，乙，甲，甲}（大括号中，按顺序为各局的获胜者）；
，
，
，
所以的分布列为：








所以.
【点睛】
思路点睛：求离散型随机变量的数学期望的一般步骤：
（1）先分析的可取值，根据可取值求解出对应的概率；
（2）根据（1）中概率值，得到的分布列；
（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出的数学期望.

四、填空题
35．（2021·四川资阳市·高二期末（理））把一枚质地均匀的骰子投掷两次，第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，设事件A为方程组有唯一解，则事件A发生的概率为_________.
【答案】
【分析】
方程组有唯一解则直线与圆相切，此时即，满足条件的的情况只有2种，由古典概型概率计算公式求解.
【详解】
方程组有唯一解则直线与圆相切，
圆心距直线的距离即，，
，
当或时，
投掷两次骰子的所有情况共有种，
方程组只有唯一解的概率为.
故答案为：
36．（2021·湖南益阳市·高二期末）现有编号为A、B、C、D的四本书，将这四本书平均分给甲、乙两位同学，则A，B两本书被同一位同学分到的概率为________．
【答案】
【分析】
先求出从四本书中任取两本基本事件的总数，再求出A，B两本书被同一位同学分到包含的基本事件的个数，再利用古典概率公式计算概率即可.
【详解】
将编号为A、B、C、D的四本书，平均分给甲、乙两位同学，
有，
A，B两本书被同一位同学分到包含的基本事件的个数
种，
所以A，B两本书被同一位同学分到的概率为，
故答案为：
【点睛】
方法点睛：古典概型概率问题
（1）针对具体问题认真分析事件特点，准确判断事件类型，古典概型中事件特点是结果有限且等可能性；
（2）求出基本事件的总数，和事件中包含的基本事件的个数 ；
（3）利用即可求概率.
37．（2021·北京房山区·高一期末）暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是__________.
【答案】
【分析】
设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件，则其对立事件为“暑假期间两人都未外出旅游”，先求得，再求解即可.
【详解】
设“暑假期间两人中至少有一人外出旅游”为事件，则其对立事件
为“暑假期间两人都未外出旅游”，则，
所以.
故答案为：.
38．（2021·贵州贵阳市·高二期末（理））袋中有形状、大小都相同的只球，其中只白球，只红球，只黄球，从中一次随机摸出只球，则这只球颜色不同的概率为___________．
【答案】
【分析】
先计算随机摸出的只球颜色相同的概率，再利用对立事件公式计算即可求概率.
【详解】
从只球中随机摸出只球有种，
摸出只球颜色相同的概率为，
所以这只球颜色不同的概率为，
故答案为：.
39．（2021·上海高三专题练习）已知方程表示的曲线为，任取、，则曲线表示焦距等于的椭圆的概率等于________.
【答案】
【分析】
计算出基本事件的总数，并列举出事件“曲线表示焦距等于的椭圆”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
所有可能的的组数为：，
又因为焦距，所以，所以，
则满足条件的有：、、、、、、、，共组，
所以概率为：.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：计算古典概型概率的方法如下：
（1）列举法；
（2）数状图法；
（3）列表法；
（4）排列、组合数的应用.
40．（2021·上海高三专题练习）某工厂生产、两种型号的不同产品，产品数量之比为.用分层抽样的方法抽出一个样本容量为的样本，则其中种型号的产品有件.现从样本中抽出两件产品，此时含有型号产品的概率为__________.
【答案】
【分析】
先由分层抽样抽样比求种型号抽取件数，以及，再根据古典概型公式求概率.
【详解】
设种型号抽取件，所以，解得：，，
从样本中抽取2件，含有型号产品的概率.
故答案为：
41．（2021·陕西宝鸡市·高三一模（理））某“2020年宝鸡市防震减灾科普示范学校”组织4名男生6名女生志愿者到社区进行防震减灾图片宣讲，若这些选派学生只考虑性别，则派往甲社区宣讲的3人中至少有2个男生概率为__________.
【答案】
【分析】
根据题意用组合数表示10人中选3人的可能数，再用组合数表示3人中至少有2个男生的可能数，根据古典概型相除即可得出答案.
【详解】
解：派往甲社区宣讲的3人中至少有2个男生概率为,
故答案为：.
【点睛】
组合问题常有以下两类题型变化：
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
42．（2020·江苏省镇江第一中学高二期末）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片"鲲鹏920”､清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”､“特斯拉全自动驾驶芯片”､寒武纪云端AI芯片“思元270”､赛灵思“Versal自适应计算加速平台”：现有1名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选3项进行了解，在其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为___．
【答案】
【分析】
由题可知，15项“世界互联网领先科技成果”中，其中5项为芯片领域，10片为非芯片领域，设选出的3项中，其中1项“鲲鹏920”为事件，根据组合的运算，即可求出，设在已选出1项为“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域为事件，得出，最后根据条件概率的计算，即可求出所求概率.
【详解】
解：根据题意，15项“世界互联网领先科技成果”中，
其中5项为芯片领域，10片为非芯片领域，其中“鲲鹏920”也属于芯片领域，
设选出的3项中，其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”为事件，
则共有种情况，即，
设在已选出1项为“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域为事件，
则共有种情况，即，
所以在已选出1项为“鲲鹏920”的条件下，选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为：
.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查条件概率的求法和组合数的运用和计算，理解条件概率的定义和计算公式是解题的关键，考查学生解题分析能力和计算能力.

五、双空题
43．（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6.现采用随机模拟的方法估计其射击4次，4次全击中和至少击中3次的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定1，2，3，4，5，6表示击中目标，0，7，8，9表示未击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数：

据此估计，其4次射击中全都击中目标的概率约为______，4次射击中至少3次击中目标的概率约为_____.
【答案】0.1 0.45
【分析】
由题意知随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示射击4次，4次全击中和至少击中3次的各有多少组，可以通过列举得到共多少组，根据概率公式，得到结果．
【详解】
由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，
在20组随机数中表示射击4次全都击中目标的有：4322 3346共2组随机数，
∴所求概率为；
至少击中3次的有：4322 3346 3023 6430 2640 5735 6586 6031 6754共9组随机数，∴所求概率为.
故答案为：0.1，0.45.
【点睛】
思路点睛：先列举出符合题意的个数，再由概率公式计算.