初中数学浙教版八年级下册第二章 一元二次方程综合与测试精品练习题

这是一份初中数学浙教版八年级下册第二章 一元二次方程综合与测试精品练习题，共12页。试卷主要包含了方程，已知关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。

（试卷满分：100分）


姓名：___________班级：___________考号：___________


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）


A．2x2﹣x﹣y2＝0B．x（x﹣2）＝0C．ax2+bx+c＝0D．x﹣＝8


2．用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0时，配方结果正确的是（ ）


A．（x﹣3）2＝4B．（x﹣6）2＝41C．（x+3）2＝14D．（x﹣3）2＝14


3．方程（x+2）（3x﹣1）＝6化为一般形式后，常数项为（ ）


A．6B．﹣8C．2D．﹣4


4．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，则m的值是（ ）


A．﹣4B．4C．0D．0或4


5．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（ ）


A．x＝1﹣B．x＝C．x＝﹣1+D．x＝


6．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）


A．k＜2B．k＜2且k≠1C．k＞2D．k≥2


7．若m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（ ）


A．0B．2C．﹣1D．3


8．自从国家实行“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走上了致富道路，据统计某地区2018年6月份有贫困人口2.85万人，通过社会各界的努力，2020年6月份统计贫困人口减少至0.73万人，若设2018年6月份到2020年6月份该地区贫困人口的年平均下降率为x，则根据题意可列方程为（ ）


A．2.85（1﹣2x）＝0.73B．0.73（1+x）2＝2.85


C．0.73（1+2x）＝2.85D．2.85（1﹣x）2＝0.73


9．某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（ ）元．


A．10B．15C．20D．25


10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个．


①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；


②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；


③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；


④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．


A．1B．2C．3D．4


二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）


11．关于x的方程（m+2）x|m|+2mx+2＝0是一元二次方程，则m的值为 ．


12．方程（1﹣x）2＝9的根是 ．


13．关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，其中k为非正整数，则满足条件的k的代数和为 ．


14．代数式﹣x2+2x﹣4有最 值，最值是 ．


15．如果一个直角三角形的两边长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，那么这个直角三角形的斜边长为 ．


16．2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡1190张，设全班有x名同学，则可列方程为 ．


17．由于新能源汽车越来越多，为了解决充电难的问题，现对一面积为12000m2的矩形停车场进行改造，将该矩形停车场的长减少20m，减少的这部分区域用于修建电动汽车充电桩，原停车场的剩余部分就变成了正方形，则原停车场的长是 m．


18．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论：


①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根；


②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根；


③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1；


④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．


以上4个结论中，正确的个数为 ．


三．解答题（共6小题，满分46分）


19．（6分）按要求解下列方程：


（1）3x2+6x﹣4＝0（配方法）；








（2）（2x﹣1）2＝x2+6x+9（因式分解法）．








20．（6分）如图，长方形绿地长32m、宽20m，要在这块绿地上修建宽度相同且与长方形各边垂直的三条道路，使六块绿地面积共570m2，问道路宽应为多少？











21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．


（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；


（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m 的值．








22．（8分）若a2+b2＝c2，则我们把形如ax2+cx+b＝0（a≠0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．


（1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系一元二次方程”；


（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根．








23．（9分）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．


（1）求A社区居民人口至少有多少万人？


（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．








24．（9分）阅读下列材料：


（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，


（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．


根据以上材料，解答下列问题：


（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝ ，＝ ，＝ ；


（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．














参考答案


一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）


1．解：A、方程2x2﹣x﹣y2＝0含有2个未知数，所以A选项不符合题意；


B、方程整理为x2﹣2x＝0，它为一元二次方程，所以B选项符合题意；


C、当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，所以C选项不符合题意；


D、方程x﹣＝8含有分式，它不是一元二次方程，所以D选项不符合题意．


故选：B．


2．解：∵x2﹣6x﹣5＝0，


∴x2﹣6x＝5，


则x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，


故选：D．


3．解：一元二次方程（x+2）（3x﹣1）＝6化为一般形式后3x2﹣5x﹣8＝0，其常数项为﹣8，


故选：B．


4．解：因为x＝2是一元二次方程x2+mx+4＝0的一个解，


所以22+2m+4＝0，


解得m＝﹣4．


故选：A．


5．解：∵△＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0，


∴方程有两个不相等的两个实数根，


即x＝．


故选：D．


6．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0没有实数根，


∴△＜0且k﹣1≠0，即△＝4﹣4（k﹣1）＜0且k≠1，


∴k＞2，


故选：C．


7．解：∵m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，


∴m+n＝﹣1，m2+m＝1，


∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1﹣1＝0．


故选：A．


8．解：依题意得：2.85（1﹣x）2＝0.73．


故选：D．


9．解：设每件衬衫应降价x元．


根据题意，得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，


整理，得x2﹣35x+250＝0，


解得x1＝10，x2＝25．


∵“增加盈利，减少库存”，


∴x1＝10应舍去，


∴x＝25．


答：每件衬衫应降价25元．


故选：D．


10．解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，


∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；


故①不正确；


②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，


因此x2＝1或x2＝4，


当x2＝1时，m+n＝0，


当x2＝4时，4m+n＝0，


∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，


故②正确；


③∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，


∴，x2＝﹣q，


∴，


因此是倍根方程，


故③正确；


④方程ax2+bx+c＝0的根为：，，


若x1＝2x2，则，


即，


∴，


∴，


∴，


∴9（b2﹣4ac）＝b2，


∴2b2＝9ac．


若2x1＝x2时，则，


则，


∴，


∴，


∴，


∴b2＝9（b2﹣4ac），


∴2b2＝9ac．


故④正确，


∴正确的有：②③④共3个．


故选：C．


二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）


11．解：∵关于x的方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是一元二次方程，


∴|m|＝2且m+2≠0，


解得m＝2．


故答案是：2．


12．解：∵（1﹣x）2＝9，


∴1﹣x＝3或1﹣x＝﹣3，


解得x1＝﹣2，x2＝4，


故答案为：x1＝﹣2，x2＝4．


13．解：①当k＝0时，原方程化为：﹣2x﹣1＝0，


解得：x＝﹣，故k＝0符合题意；


②当k≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，


∵有实数根，


∴△＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）＝4+4k≥0，


解得：k≥﹣1，


∵k为非正整数，k≠0，


∴k＝﹣1．


∴满足条件的k的代数和为﹣1．


故答案为：﹣1．


14．解：﹣﹣x2+2x﹣4＝﹣（x2﹣2x）﹣4＝﹣（x2﹣2x+1）+1﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3＝﹣3﹣（x﹣1）2，


∵（x﹣1）2≥0，


∴﹣（x﹣1）2≤0，


∴﹣3﹣（x﹣1）2≤﹣3，


∴x＝1时，代数式有最大值﹣3．


故答案为：﹣3．


15．解：∴x2﹣7x+12＝0，


（x﹣3）（x﹣4）＝0，


解得x1＝3，x2＝4，


当4是直角边的长时，则斜边长为＝5，


当4是斜边的长时，则斜边长为4，


故答案为：4或5．


16．解：由题意可得，


x（x﹣1）＝1190，


故答案为：x（x﹣1）＝1190．


17．解：设原矩形的长为x米，则宽为（x﹣20）米，根据题意得：


x（x﹣20）＝12000，


解得：x＝120或x＝﹣100（舍去），


故答案为：120．


18．解：∵x2﹣2x﹣a＝0，


∴△＝4+4a，


∴①当a＞﹣1时，△＞0，方程有两个不相等的实根，故①正确，


②当a＞0时，两根之积＜0，方程的两根异号，故②错误，


③方程的根为x＝＝1±，


∵a＞﹣1，


∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，


④当a＞3时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，


故答案为3．


三．解答题（共6小题，满分46分）


19．解：（1）∵3x2+6x﹣4＝0．


∴x2+2x＝，


配方得：x2+2x+1＝+1，


即（x+1）2＝，


开方得：x+1＝±，


∴原方程的解是：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．


（2）∵（2x﹣1）2＝x2+6x+9．


∴（2x﹣1）2﹣（x+3）2＝0，


因式分解得（3x+2）（x﹣4）＝0，


∴3x+4＝0或x﹣4＝0，


∴x1＝﹣，x2＝4．


20．解：设道路宽为xm，则六块绿地可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的长方形，


依题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，


整理得：x2﹣36x+35＝0，


解得：x1＝1，x2＝35（不符合题意，舍去）．


答：道路宽为1m．


21．解：（1）∵方程有实数根，


∴△＝25﹣4m≥0，


解得，m≤；


（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1•x2＝m，


∵3x1﹣2x2＝5，


∴3x1+3x2﹣5x2＝5，


∴﹣5x2＝﹣10，


解得，x2＝2，


把x＝2代入原方程得，m＝6．


22．（1）解：当a＝3，b＝4时，c＝±5，相应的勾系一元二次方程为3x2±5x+4＝0；


（2）证明：根据题意，得△＝（c）2﹣4ab


＝2（a2+b2）﹣4ab


＝2（a﹣b）2≥0即△≥0


∴勾系一元二次方程ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根．


23．解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，


依题意得：7.5﹣x≤2x，


解得x≥2.5．


即A社区居民人口至少有2.5万人；


（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%


设m%＝a，方程可化为：


1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7


化简得：32a2+54a﹣35＝0


解得a＝0.5或a＝﹣（舍）


∴m＝50


答：m的值为50．


24．解；（1）∵x2﹣4x+1＝0，


∴x+＝4，


∴（x+）2＝16，


∴x2+2+＝16，


∴x2+＝14，


∴（x2+）2＝196，


∴x4++2＝196，


∴x4+＝194．


故答案为4，14，194．


（2）∵2x2﹣7x+2＝0，


∴x+＝，x2+＝，


∴＝（x+）（x2﹣1+）＝×（﹣1）＝．





题号
一
二
三
总分
得分