初中数学人教版八年级下册19.3 课题学习 选择方案教学设计

19.3 课题学习 选择方案（教案）

【教学目标】

1、能够正确列出方案问题中相关的一次函数的表达式，写出自变量的取值范围.

2、理解方案选择问题的一般解题方法和步骤

【教学重点】

建立数学模型，利用代数法和图像法解决选择方案的实际问题。

【教学难点】

从实际问题中抽象出分段函数模型，并用方程、不等式知识或借助函数图像的性质进行综合分析问题，从而解决实际生活中方案选择问题。

【课时安排】

1课时

【教学过程】

一、导入新课

【过渡】在日常生活中，我们通常会遇到这样的问题，该选择哪个旅行团更划算，该选择哪个银行收益更好，等等。之前的学习中，我们学习过用数学知识去解决实际问题，那么我们能否用我们这章中学习的函数知识去解决上述提出的问题呢？我们先来看几个问题，看大家对之前的知识熟悉不熟悉，看谁回答的快。

如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．判断下列说法正误：

①售2件时甲、乙两家售价一样；

②买1件时买甲家的合算；

③买3件时买乙家的合算；

【过渡】这个问题是简单的函数问题，反映了我们可以借助函数解决实际问题，如果问题稍微复杂一点，又该如何解决呢？今天我们就来学习一下，如何正确的选择方案。

二、新知详解

1．怎样选取上网收费方式

【过渡】我们一起来思考一下课本的问题1。在这几种选择方案中，我们该如何选择呢？

【过渡】结合实际，我们知道，选择的依据一般都是划算，也就是说便宜的更应该选择，这就把问题转化为求三种方案下，哪一个更便宜。

【过渡】我们先对问题进行分析，这三种方案中哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？

（学生回答）

【过渡】从表中，我们知道，A、B方案会变化，C不变。而在这其中，影响超时费的变量是什么？

（学生回答）

【过渡】变量是上网时间，如果上网时间不定，哪种方案更优惠能确定吗？

（学生回答）

【过渡】这时候我们就需要从三个方面考虑问题，当上网时间变化时，何时能够满足A方案等于、大于、小于B方案，关于这个问题，结合一次函数，我们就能够写出两种方案的解析式，利用方程、不等式或函数图象进行比较。

【过渡】通过对题意的分析，对于这个问题的等量关系，大家应该比较清楚。

费用=月使用费+超时费

超时费=超时使用的价格×超时时间。

【过渡】根据这个等量关系，大家能写出这几个方案的解析式吗？

分别写出A方案与B方案的解析式。

（学生回答）

【过渡】对于方案A来说，这个解析式的含义：当上网时间不超过25h时，上网费=30元；当上网时间超过25h时，上网费=30+超时费，即上网费=30+0.05×60×（上网时间-25）。

【过渡】对于方案B来说，大家能说出它的意义吗？

（学生回答）

【过渡】当上网时间不超过50h时，上网费=50元；当上网时间超过50h时，上网费=50+超时费，即上网费=50+0.05×60×（上网时间-50）。

【过渡】对于方案C来说，无论上网时间为多少h，上网费都为120元，与上网时间无关。

【过渡】我们知道，函数的图象能够直观的表示出函数的关系，因此，我们将三个函数解析式的图象画出，如图所示，大家能够将课本P103的问题写上答案吗？

课件展示问题及答案。

2、怎样租车

【过渡】从刚刚的问题中，我们了解了函数解决实际问题的优势，现在，我们来看另外一种情况。

问题2.

【过渡】根据问题，我们来填一下空吧。

【过渡】题意中要求每辆车都至少要有一名教师，结合表格中的内容，我们分析最少需要多少辆车。

如果租5辆车，那么平均下来每辆车需坐48个人，而两种车均不能满足这个要求，因此，汽车综述不能小于6，但同时，每辆车上都至少有1名老师，这样的话，又不能大于6辆车，因此综合起来，汽车总数为定值6。

【过渡】从表中，我们可以看出，租车的费用与种类有关，两辆车总共有6辆，我们设租x辆甲车，那么乙车的辆数则为（6-x）辆。

列出解析式。

同时我们还要考虑最红的费用在2300以内，由此，我们可以解得x的值。

【过渡】通过对限定条件的分析，我们最终得到了x的取值范围，并得出了两种方案，结合一次函数的性质，我们能够确定最终的方案选择。

【归纳】解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量。然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型。

【要点强化】

1、某汽车经销商根据市场需求，计划购进某品牌A、B两种型号的汽车，如果分别购进A、B两种型号的汽车3辆、5辆，那么共需要111万元；如果分别购进A、B两种型号的汽车6辆、8辆，那么共需要192万元．

（1）A、B两种型号的汽车每辆多少万元？

（2）如果该经销商计划购进A、B两种型号的汽车共50辆，所用资金不超过650万元，且A种型号的汽车不多于36辆，那么有几种购买方案？

（3）在（2）的情况下，如果A型号的汽车加价15%，B型号的汽车加价16%出售，且所购汽车均全部售出，那么该经销商使用哪种方案可获得最大利润？最大利润是多少？

解：（1）设A种型号的汽车每辆x万元，B种型号的汽车每辆y万元

       3x+5y＝111

       6x+8y＝192，解得x=12，y=15。

即A种型号的汽车每辆12万元，B种型号的汽车每辆15万元；

（2）设该经销商购进A种型号的汽车x辆，B种型号的汽车（50-x）辆

       12x+15(50−x)≤650

       0＜x≤3，                          

解得 ≤x≤36，

因此，有三种购买方案：

第一种方案：购买A型号的汽车34辆，B型号的汽车16辆；

第二种方案：购买A型号的汽车35辆，B型号的汽车15辆；

第三种方案：购买A型号的汽车36辆，B型号的汽车14辆；

（3）当选择方案一时，获得的利润是：34×12×15%+16×15×16%=99.6万元；

当选择方案二时，获得的利润是：35×12×15%+15×15×16%=99万元；

当选择方案一时，获得的利润是：36×12×15%+14×15×16%=98.4万元；

故经销商使用方案一可获得最大利润，最大利润是99.6万元．

2、某校准备在甲、乙两家公司中选择一家为毕业班学生制作一批纪念册，甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1500元，乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费．

（1）若制作纪念册的册数为x，请分别写出甲公司的收费y1、乙公司的收费y2与x之间的函数关系式；

（2）如果说学校派你去甲、乙两家公司订做纪念册，你会选择哪家公司？

解：（1）甲公司的收费：y1=5x+1500

乙公司的收费：y2=8x

（2）当y1=y2，即5x+1500=8x时，x=500

当y1＞y2，即5x+1500＞8x时，x＜500

当y1＜y2，即5x+1500＜8x时，x＞500

所以当制作纪念册的册数为500册时，两家公司任选一家即可

当制作纪念册的册数少于500册时，应选择乙公司。

当制作纪念册的册数多于500册时，应选择甲公司。

【典题突破】

1小林购买一部手机想入网，中国联通130网收费标准是月租费30元，每月来电显示6元，本地电话费每分钟0.4元；中国电信“神州行”储值卡收费标准是本地电话费每分钟0.6元，月租费、来电显示费全免，小林的亲戚朋友都在本地，他想拥有来电显示服务，且估计他每月通话时间都在3h以上，则小林应选择（　A　）更省钱．

A. 中国联通   B. “神州行”储值卡

C. 一样          D. 无法确定

2、某矿泉水厂生产一种矿泉水，经侧算，用一吨水生产的矿泉水所获利润y（元）与1吨水的价格x（元）的关系如图所示．

（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）为节约用水，特规定：该厂日用水量不超过20吨时，水价为每吨4元；日用水量超过20吨时，超过部分按每吨40元收费，已知该厂日用水量不少于20吨，设该厂日用水量为t吨，当日所获利润为w元，求w与r的函数关系式；若该厂加强管理，积极节水，使日用水量不超过25吨，但仍不少于20吨，求该厂的日利润的取值范围。

解：（1）设y与x的函数关系式是：y=kx+b，

∵点（0，180），（180，0）在此函数的图象上，

∴     b＝180

       180k+b＝0

解得，k=-1，b=180

即y与x的函数关系式是：y=-x+180（0≤x≤180）；

（2）由题意可得，

w=20×4+（t-20）×40=40t-720（t≥20）

即w与t的函数关系式为：w=40t-720（t≥20）；

将t=20代入w=40t-720得，w=80（元），

将t=25代入w=40t-720得，w=280（元），

即该厂的日利润的取值范围是80≤w≤280。

3、某市出租车起步价是8元（起步价是指不超过3km行程的出租车价格）．超过3km行程后，其中除3千米的行程按起步价计费外，超过部分按每千米1.6元计费（不足一千米按一千米计算），如果仅去程乘出租车而回程时不坐此车，那么顾客还要付回程的空驶费，按每千米0.8元计算（即实际按每千米2.4元计算），如果往返都乘同一辆出租车并且中间等候时间不超过3分钟，则不收取空驶费而加收1.6元的等候费．现设小文等4人从市中心A处到相距x（km）（x＜12）的B处办事，在B处停留的时间在3分钟以内，然后返回A处，现在有两种往返方案：

方案一：去时4人同乘一辆出租车，返回乘公交车（公交每人2元）；

方案二：4人乘同一辆出租车往返；

请解决下列问题：在这两种方案中，哪种更经济？请问选择哪种计费方式更省钱？

解：方案一的费用：

8+（x-3）×1.6+0.8x+4×2

=8+1.6x-4.8+8

=11.2+1.6x

方案二的费用：

8+（x-3）×1.6+1.6x+1.6

=8+1.6x-4.8+1.6x+1.6

=4.8+3.2x

①费用相同时x的值

11.2+1.6x=4.8+3.2x，解得x=4

所以当x=4km时费用相同；

②方案一费用高时x的值

11.2+1.6x＞4.8+3.2x，且x-3＞0，解得3＜x＜4

所以当3km＜x＜4km方案一费用高；

③方案二费用高时x的值

11.2+1.6x＜4.8+3.2x，解得x＞4

所以当x＞4km方案二费用高。

【板书设计】

1、分析变量之间的关系

选择合适的自变量

写出函数解析式

解决问题。

【教学反思】

“选择最佳方案”是现实中经常面临的问题，学生对于这样的内容会比较感兴趣。但是因为内容用到的知识较多，例如要利用实际问题中所包含的变量关系建立一次函数模型，并要应用到解方程和不等式，对学生的综合运用能力是一个考验。在教学过程中，要特别关注引导学生独立思考与分析，小组讨论与交流，调动学生学习的积极性和自主性。能给学生充分的思考讨论的时间，使每一个知识应用与方法的生成都自然的水到渠成。使学生通过研究问题由具体到抽象地认识函数，逐步感受如何建立数学模型，如何利用合适的数学思想方法研究解决问题，切实提高了综合应用数学知识的能力。