初中数学19.3 课题学习 选择方案教学设计

19.3　课题学习　选择方案

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想．

2．能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法．

3．能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法．

【过程与方法】

经历函数模型解决实际问题的过程，体会利用函数思想解决问题的方法．

【情感态度与价值观】

在数学建模的过程中，发展创新实践能力，培养学生的数学应用意识．

二、重难点目标

【教学重点】

巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题．

【教学难点】

有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P102～P104的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．一次函数可以解决生产实践、日常生活中的很多实际问题：

应用一次函数和一元一次方程可以解决行程、面积等实际问题；

应用一次函数与一元一次不等式(组)可以解决实际问题中评估、方案选择、决策等问题．

应用一次函数与二元一次方程组可以解决生产安排、分工、运输等实际问题；

2．用一次函数选择最佳方案的步骤：

(1)从数学的角度分析实际问题，建立函数模型；

(2)列出不等式(组)，求出函数在取不同值时所对应的自变量的取值范围；

(3)结合实际需求，选择最佳方案．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】小刚和他父亲一起去灯具店买灯具，灯具店老板介绍说，一种节能灯的功率是10瓦(即0.01千瓦)的，售价60元；一种白炽灯的功率是60瓦(即0.06千瓦)的，售价为3元．两种灯的照明效果是一样的，使用寿命也相同(3000小时以上)．如果当地电费为0.5元/千瓦时，选择哪种灯更省钱？

【互动探索】(引发学生思考)根据“费用＝灯的售价＋电费”，分别列出节能灯的费用y1、白炽灯的费用y2与照明时间x的函数解析式，然后根据y1＝y2，y1＞y2，y2＞y1三种情况进行讨论即可求解．

【解答】设照明时间是x小时，节能灯的费用为y1元，白炽灯的费用为y2元．

由题意可知y1＝0.01×0.5x＋60＝0.005x＋60，y2＝0.06×0.5x＋3＝0.03x＋3.

当使用两灯费用相等时，y1＝y2，即0.005x＋60＝0.03x＋3，解得x＝2280.

当使用节能灯的费用大于白炽灯的费用时，y1＞y2，即0.005x＋60＞0.03x＋3，解得x＜2280.

当使用节能灯的费用小于白炽灯的费用时，y2＞y1，即0.03x＋3＞0.005x＋60，解得x＞2280.

所以当照明时间小于2280小时，应买白炽灯；当照明时间大于2280小时，应买节能灯；当照明时间等于2280小时，两种灯具费用一样．

本题中两种灯的照明效果是一样的，使用寿命也相同(3000小时以上)，所以买节能灯可以省钱．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解题的关键是要分析题意，根据实际意义求解．注意要把所有的情况都考虑进去，分情况讨论问题是解决实际问题的基本能力．

【例2】某灾情发生后，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据表中提供的信息，解答下列问题：

(1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x的函数关系式；

(2)如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；

(3)在(2)的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？并求出最少总运费．

【互动探索】(引发学生思考)(1)装运生活用品的车辆为(20－x－y)辆，根据三种救灾物资共100吨列出关系式；(2)根据题意求出x的取值范围并取整数值从而确定方案；(3)分别表示装运三种物资的费用，求出表示总运费的表达式，运用函数性质解答．

【解答】(1)装运食品的车辆为x辆，装运药品的车辆为y辆，那么装运生活用品的车辆为(20－x－y)辆，则有6x＋5y＋4(20－x－y)＝100，整理，得y＝－2x＋20.

(2)由(1)知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x,20－2x，x.

由题意得， 解得5≤x≤8.

因为x为整数，所以x的值为5,6,7,8.所以安排方案有4种：

方案一：装运食品5辆，药品10辆，生活用品5辆；

方案二：装运食品6辆，药品8辆，生活用品6辆；

方案三：装运食品7辆，药品6辆，生活用品7辆；

方案四：装运食品8辆，药品4辆，生活用品8辆．

(3)设总运费为W(元)，则W＝6x×120＋5(20－2x)×160＋4x×100＝16 000－480x.

因为k＝－480＜0，所以W的值随x的增大而减小．

要使总运费最少，需x最大，则x＝8.

故选方案四，W最小＝16 000－480×8＝12 160.

即选方案四，最少总运费为12 160元．

【互动总结】(学生总结，老师点评)解答此类问题往往通过解不等式(组)求出自变量的取值范围，然后求出自变量取值范围内的非负整数，进而得出每种方案，最后根据一次函数的性质求出最佳方案．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．某旅行团计划今年暑假组织老年团到台湾旅游，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆可供选择，其收费标准为每人每天120元，并且推出各自不同的优惠方案：甲宾馆是35人(含35人)以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙宾馆是45人(含45人)以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．

设老年团的人数为x.

(1)根据题意，用含x的式子填写下表：

(2)当x取何值时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同？

解：(1)108x＋420　108x＋420　96x＋1080

(2)当x≤35时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同；

当35＜x≤45时，选择甲宾馆便宜；

当x＞45时，甲宾馆的收费是y甲＝108x＋420，乙宾馆的收费是y乙＝96x＋1080，

令108x＋420＝96x＋1080，解得x＝55.

综上，当x≤35或x＝55时，旅行团在甲、乙两家宾馆的实际花费相同．

2．某学校为改进学校教室空气质量，决定引进一批空气净化器，已知有A，B两种型号可供选择，学校要求每台空气净化器必须多配备一套滤芯以便及时更换．已知每套滤芯的价格为200元，若购买20台A型和15台B型净化器共花费80 000元；购买10台A型净化器比购买5台B型净化器多花费10 000元．

(1)求两种净化器的价格；

(2)若学校购买两种空气净化器共40台，且A型净化器的数量不多于B型净化器数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．

解：(1)设每台A型净化器的价格为a元，每台B型净化器的价格为b元．

由题意，得

解得

即每台A型净化器的价格为2000元，每台B型净化器的价格为2200元．

(2)设购买台A型净化器x台，B型净化器为(40－x)台，总费用为y元．

由题意，得x≤3(40－x)，解得x≤30.

y＝(2000＋200)x＋(2200＋200)(40－x)＝－200x＋96 000.

∵－200＜0，

∴y随x的增大而减小，

当x＝30时，y取最小值，y＝－200×30＋96 000＝90 000，

40－x＝10，

即购买A型净化器30台，B型净化器10台，最少费用为90 000元．

3．现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：

(1)这两种货车各用多少辆？

(2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式(写出自变量的取值范围)；

(3)在(2)的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．

解：(1)设大货车用x辆，则小货车用(18－x)辆．

根据题意，得16x＋10(18－x)＝228.

解得x＝8，∴18－x＝18－8＝10.

即大货车用8辆，小货车用10辆．

(2)w＝720a＋800(8－a)＋500(9－a)＋650·[10－(9－a)]＝70a＋11 550(0≤a≤8且a为整数)．

(3)由16a＋10(9－a)≥120，解得a≥5.

又∵0≤a≤8，

∴5≤a≤8且a为整数．

∵w＝70a＋11 550，且70＞0，

∴w随a的增大而增大，

∴当a＝5时，w最小，最小值为w＝70×5＋11 550＝11 900.

故使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为11 900元．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

1．利用一次函数解决自变量是非负实数的方案选择问题；

2．利用一次函数解决自变量是非负整数的方案选择问题；

3．利用一次函数、统计等知识解决最省钱、更划算、更优惠的问题．

练习设计

请完成本课时对应训练！