专题16.7二次根式的应用问题（重难点培优）-2020-2021学年八年级数学下册尖子生同步培优题典（解析版）【人教版】

2020-2021学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】

专题16.7二次根式的应用问题（重难点培优）

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

1．（2020秋•太原期中）海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式v计算，其中v表示海啸的速度（m/s），d为海水的深度（m），g表示重力加速度9.8m/s2．若在海洋深度980m处发生海啸，求其行进速度．

【分析】直接根据已知数据代入，化简得出答案．

【解析】由题意可得：g＝9.8m/s2，d＝980m，

则v98（m/s），

答：海啸的行进速度为98m/s．

2．（2020秋•普宁市期中）材料：海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：S（其中a，b，c为三角形的三边长，p，S为三角形的面积）．利用上述材料解决问题：当a，b＝3，c＝2时．

（1）直接写出p的化简结果为　　．

（2）写出计算S值的过程．

【分析】（1）把a、b、c的长代入求出p即可；

（2）把p的值代入S计算即可得解．

【解析】（1）∵a，b＝3，c＝2，

∴p

；

故答案为：；

（2）S

＝3．

3．（2020春•瑶海区期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．

　＞　2；6+3　＞　2；1　＞　2；7+7　＝　2．

（2）由（1）中各式猜想a+b与2（a≥0，b≥0）的大小，并说明理由．

（3）请利用上述结论解决下面问题：

某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？

【分析】（1）根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论；

（2）直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可；

（3）根据对角线互相垂直的四边形面积＝相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用（2）的结论得出答案即可．

【解析】（1）∵0，

∴0，

∴2，

同理得：6+3＞2；12；7+7＝2．

故答案为：＞，＞，＞，＝；

（2）猜想：a+b≥2（a≥0，b≥0），

理由是：∵a≥0，b≥0，

∴a+b﹣2（）2≥0，

∴a+b≥2；

（3）设AC＝a，BD＝b，

由题意得：1800，

∴ab＝3600，

∵a+b≥2，

∴a+b≥2，

∴a+b≥120，

∴用来做对角线的竹条至少要120厘米．

4．（2020秋•南安市期中）如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，记p，那么这个三角形的面积S，这个公式叫“海伦公式”．若a＝5，b＝6，c＝7，利用以上公式求三角形的面积S．

【分析】直接求出p的值，进而代入S，求出答案．

【解析】当a＝5，b＝6，c＝7时，p9，

．

5．（2020秋•榆林月考）有一块矩形木块，木工采用如图方式，求木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板，求剩余木料的面积．

【分析】根据两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，分别求得18和32的算术平方根，则可得两个正方形的边长，然后用小正方形的边长乘以两个正方形的边长之差即可得出答案．

【解析】∵两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，

∴这两个正方形的边长分别为：3（dm），4（dm），

∴剩余木料的面积为：（43）×336（dm2）．

6．（2020春•韩城市期末）如图，有一张边长为6cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．求：

（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；

（2）长方体盒子的体积．

【分析】（1）直接利用总面积减去周围正方形面积进而得出答案；

（2）直接利用长方体的体积公式得出答案．

【解析】（1）制作长方体盒子的纸板的面积为：（6）2﹣4×（）2

＝108﹣12

＝96（cm2）；

（2）长方体盒子的体积：（62）（62）

＝44

＝48（cm3）．

7．（2019秋•玉田县期末）已知长方形的长为a，宽为b，且a，b．

（1）求长方形的周长；

（2）当S长方形＝S正方形时，求正方形的周长．

【分析】（1）直接利用矩形周长求法结合二次根式的加减运算法则计算得出答案；

（2）直接利用正方形的性质化简得出边长求出答案．

【解析】（1）∵a，b2，

∴长方形的周长是：2（a+b）＝2（2）；

（2）设正方形的边长为x，则有x2＝ab，

∴x，

∴正方形的周长是4x＝12．

8．（2019秋•二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．

（1）求剩余木料的面积．

（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出　2　块这样的木条．

【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；

（2）求出3和范围，根据题意解答．

【解析】（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，

∴这两个正方形的边长分别为3dm和4dm，

∴剩余木料的面积为（43）×36（dm2）；

（2）4＜34.5，12，

∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，

故答案为：2．

9．（2020春•瑶海区期末）著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数称为数列），这个数列的第n个数为[（）n﹣（）n]（n为正整数），例如这个数列的第8个数可以表示为[（）8﹣（）8]．根据以上材料，写出并计算：

（1）这个数列的第1个数；

（2）这个数列的第2个数．

【分析】（1）把n＝1代入式子化简求得答案即可．

（2）把n＝2代入式子化简求得答案即可．

【解析】（1）第1个数，当n＝1时，

（ ）1；

（2）第2个数，当n＝2时，

[（ ）2﹣（ ）2]

（ ）（ ）

11．

10．（2020春•红旗区校级月考）在学习了“二次根式”后，李梅在练习册上遇到了下列这道题，请你帮李梅完成该题．

一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是边长为cm的正方形，现将塑料容器的一部分水倒入一个高为cm的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了cm（提示：圆柱的体积＝πr2h，其中，r为底面的半径，h为高，π取3）

（1）求从塑料容器中倒出的水的体积；

（2）求圆柱形玻璃容器的底面的半径．

【分析】（1）直接利用长方体体积公式得出答案；

（2）直接利用圆柱体体积公式求出圆柱形玻璃容器的底面的半径．

【解析】（1）由题意可得：

448（cm3）．

答：从塑料容器中倒出的水的体积为448cm3；

（2）设圆柱形玻璃容器的底面的半径为r，根据题意可得：

π×r2448，

解得：r．

答：圆柱形玻璃容器的底面的半径为cm．

11．（2020秋•金牛区校级月考）设一个三角形的三边长分别为a、b、c，P（a+b+c），则有下列面积公式：

S（海伦公式）；

S（秦九韶公式）．

（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式分别求这个三角形的面积；

（2）一个三角形边长依次为、、，利用两个公式分别求这个三角形的面积．

【分析】（1）把a、b、c的长代入求出P，进一步代入求得S即可得解；

（2）把a、b、c的长代入求出P，进一步代入求得S即可得解．

【解析】（1）P（5+6+7）＝9，

S6；

S6；

（2）P﹣a（）（），

同理P﹣b（），

P﹣c（），

所以，S2（）（）[（）][（）]

（8+2）（﹣8+2）

（168﹣64），

．

S．

S

12．（2020秋•石鼓区校级月考）已知a、b、c满足|a﹣2|（c﹣3）2＝0

（1）求a、b、c的值．

（2）试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由．

【分析】（1）根据非负数的性质来求a、b、c的值；

（2）三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．

【解析】（1）∵|a﹣2|（c﹣3）2＝0，

∴a﹣20，0，c﹣30，

解得 a＝2，b＝5，c＝3；

（2）以a、b、c为三边长能构成三角形．理由如下：

由（1）知，a＝2，b＝5，c＝3．

∵5＜235，即b＜a+c，

∴以a、b、c为三边长能构成三角形．周长＝5+5．

13．（2019春•磐石市期中）如图，一根细线上端固定，下端系一个小球，让这个小球来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系．当细线的长度为0.4m时，小球来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位）

【分析】直接把l的值代入化简二次根式，即可得出答案．

【解析】由题意可得：t＝2π2×3.14×0.2

≈1.3，

答：小球来回摆动一次所用的时间是1.3秒．

14．（2019春•椒江区校级期中）已知长方形的长a，宽b．

（1）求该长方形的周长；

（2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长．

【分析】（1）利用长方形的周长公式列出代数式并求值；

（2）利用等量关系另一个正方形的面积＝该长方形的面积列出等式并计算．

【解析】∵a2，b，

（1）长方形的周长＝2×（）＝2×（2）＝6；

（2）长方形的面积＝26，

根据面积相等，则正方形的边长，

所以，正方形的周长＝4．

15．（2019春•颍泉区校级期中）阅读材料：

如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p，那么这个三角形的面积S．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦﹣﹣﹣九韶公式”完成下列问题：

如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．

（1）求△ABC的面积；

（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．

【分析】（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；

（2）按照三角形的面积等于 底×高分别计算出h1和h2的值，再求和即可．

【解析】解．（1）根据题意知p9

所以S6

∴△ABC的面积为6；

（2）∵Sch1bh2＝6

∴6h15h2＝6

∴h1＝2，h2

∴h1+h2．

16．（2019春•武昌区校级月考）已知一个三角形的三边长分别为、6、2x．

（1）求它的周长（要求结果化简）；

（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．

【分析】（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

（2）该题答案不唯一，只要使它的周长为整数即可．

【解析】（1）周长62x2327．

（2）当x＝4时，周长＝714．（答案不唯一）．

17．（2019春•临渭区校级月考）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．

（1）长方形ABCD的周长是多少？

（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）

【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；

（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，

【解析】（1）长方形ABCD的周长＝2（）＝2（98）＝1816（m），

答：长方形ABCD的周长是1816（m），

（2）购买地砖需要花费＝5[]

＝5[72（14﹣1）]

＝5（7213）

＝36065（元）；

答：购买地砖需要花费（36065）元；

18．（2019春•沂水县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t（不考虑风速的影响）

（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；

（2）t2是t1的多少倍？

（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？

【分析】（1）将h＝50代入t1进行计算即可；将h＝100代入t2进行计算即可；

（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；

（3）将t＝1.5代入公式t进行计算即可．

【解析】（1）当h＝50时，t1（秒）；

当h＝100时，t22（秒）；

（2）∵，

∴t2是t1的倍．

（3）当t＝1.5时，1.5，

解得h＝11.25，

∴下落的高度是11.25米．

19．（2019秋•新蔡县期中）如图，面积为48cm2的正方形，四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积．

【分析】根据大正方形的面积求出边长，根据剪掉的小正方形的面积求出边长，然后得到盒子的底面边长与高，再根据正方体的体积公式列式进行计算即可得解．

【解析】∵大正方形面积为48cm2，

∴边长为4cm，

∵小正方形面积为3cm2，

∴边长为cm，

∴长方体盒子的体积＝（42）2•12cm3．

20．（2018秋•尧都区校级月考）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．

任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．

【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．

【解析】第1个数，当n＝1时，，

第2个数，当n＝2时，．