华师大版九年级下册27.2 与圆有关的位置关系综合与测试优质教案

这是一份华师大版九年级下册27.2 与圆有关的位置关系综合与测试优质教案，共4页。教案主要包含了情景导入，探究新知，讲解例题，巩固新知，巩固练习，课堂小结，课外作业等内容，欢迎下载使用。

第八课时 三角形的内切圆


＆.教学目标：


1、使学生会用尺规作三角形的内切圆。


2、使学生了解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念。


3、能用三角形的内心的性质解决问题。


＆.教学重点、难点：


重点：三角形的内切圆的画法及内心的性质。


难点：三角形的内心及其半径的确定。


＆.教学过程：


一、情景导入


1、回顾：圆的切线如何判定？圆的切线具有什么性质？


2、问题：如果你从一块三角形的材料上裁下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能大呢？


二、探究新知


§.探究三角形内切圆的画法及相关概念：


A


C


图 1


B


OA


A


C


图 2


B


M


N


D


OA


A


C


图 3


B


问题：如图所示的三角形纸片，请在它上面截一个面积最大的圆形纸片？

















提示：画圆必须确定其位置和大小，即确定圆的圆心和半径，而要截出的圆的面积最大，这个圆必须与三角形的三边都相切。


如图，在中，如果有一圆与、、相切，那么该圆的圆心到这三角形的三边的距离都相等，如何找到这个圆的圆心和半径呢？


教学方法：学生思考之后再阐述如何确定圆心和半径。


解析：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。因此，圆心就是的角平分线的交点，而半径是这个交点到边的距离。


例如：已知，求作：和各边都相切的圆。


作法：


1、作、的平分线和，交点为；


2、过点作，垂足为；


3、以为圆心，为半径作⊙；


故⊙是所求作的圆。


＆.三角形内切圆的作法：


以三角形角平分线的交点为圆心，以交点到边的距离为半径所作的圆就是三角形的内切圆。


＆.三角形内切圆的概念：


与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的内切三角形.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。


注意：


（1）三角形的内心是三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等.


（2）三角形的内心到三角形三边的距离相等；


（3）若出现三角形的内心，往往连结内心和三角形的顶点，从而得到角平分线。


＆.多边形内切圆的概念：


与多边形各边都相切的圆叫做多边形内切圆，这个多边形叫做圆的内切多边形。


§.探究三角形内心的位置：


问题：请同学们分别作出一个直角三角形、锐角三角形、钝角三角形并画出它的内切圆，观察内心的位置，你能得到什么结论吗？


结论：无论是在锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，它们的内心都在三角形内部.三角形的内切圆有且只有一个，圆的外切三角形有无数个。


三、讲解例题，巩固新知


§.例1、如图，在中，，，点是内心，求的度数。


解析：要求的度数，需求出、的度数，因为是的内心，故、是的角平分线，即可求出、的度数。


OA


A


C


图 4


B


解：∵点是的内心


∴


同理：


∴


∴等于


变式例题：


（1）如图，在中，，点是内心，求的度数。


（2）如图，在中，，点是内心，求的度数。


（3）如图，在中，，点是外心，求的度数。


（4）如图，在中，，点是垂心，求的度数。


§.例2、如图，的内切圆的半径为，，，，求的面积.


解析：内心可以将三角形分成三个高相等的三角形，分别以三边为底，以内切圆的半径为高，这样可以找到面积、周长、内切圆半径三者之间的关系。


解：连结、、


∴


OA


A


C


图 5


B











同步练习：


（1）如图，⊙是的内切圆，，，，，求的内切圆的半径。


（2）如图，的内切圆的半径为，的周长为，求的面积。


§.例3、如图，在中，，的面积为，求内切圆的半径。


解：过点作于点.


∵


∴，


E


D


OA


A


C


图 6


B


∵是的内心


∴在的平分线上


∴、、三点共线


设，，则





解这个方程组得：


，，，


∵、均为线段长


∴，或，


过点作于，设的内切圆的半径为


∴为切点，为内切圆半径


∵∽


当，时


∴，解得：


当，时


∴，解得：


答：内切圆的半径为或.


变式练习：如图，在等边中，，求内切圆的半径。


§.例4、如图，点是的内心，的延长线交边于点，交外接圆于点.


（1）求证：；


（2）若，，求的长。


解析：解决本题的关键是把握的内心是三角形三个内角的平分线的交点，欲证，只需证；欲求的长，只需证明.即证∽.


证明：（1）连结


∵点是的内心


1


D


E


IA


A


C


图 7


B


6


2


4


5


3


∴、分别是、的平分线


∵，


∴





∴


∴


（2）∵∽


∴


∴，即


∴


四、巩固练习


教材 练习


五、课堂小结


通过本节课的学习，要求同学们


1、掌握三角形的内切圆及圆的外切三角形及多边形的内切圆的概念，理解三角形的内切圆有且只有一个，圆的外切三角形有无数个。


2、能应用内心的性质解决问题，掌握连结内心和三角形的顶点，构造角平分线。


六、课外作业


1、教材 习题27.2