初二数学.春.直升班.教师版.第13讲 特殊四边形的存在性问题

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特殊四边形的
存在性问题
模块一 平行四边形的存在性问题
模块二 菱形的存在性问题
模块三 矩形的存在性问题
模块一：坐标系下平行四边形的存在性问题
1．已知三点求第四点构成平行四边形：
如图所示，已知，，，在平面内找一点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形．
2．解决方法，分两步走：
（1）找点：连接BC、CD、BD得到，以三角形中任意一条边作为平行四边形的对角线，另外两条边作为平行四边形的一组邻边，依次做两邻边的平行线，分别相交于A、、三点．
（2）求点定点：分类讨论，以哪条线为对角线分类讨论．
①几何中心法（适用解答大题）：
在平行四边形ABCD中，连接其对角线AC、BD相交于点，
则E是BD的中点，∴E点坐标可表示为，
同理E也是AC的中点，∴E点坐标也可表示为，
∴，，由此即可求出A点坐标．
同理可以求得，、的坐标．
②公式法（填空选择题）：
直接利用对角的点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等，即，．
模块二：菱形的存在性问题
1．题型描述：已知两个定点A、B，在定直线l上有一点C，在平面内有一点D使得以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形．
2．解决方法，分两步走：
（1）转化：转化为等腰三角形的存在性问题．
（2）等腰三角形存在性问题：
①找点：两圆一线；
②求点：以谁为顶点分类讨论．
模块三：矩形的存在性问题
1．题型描述：已知两个定点A、B，在定直线l上有一点C，在平面内有一点D使得以A、B、C、D为顶点的四边形为矩形．
2．解决方法，分两步走：
（1）转化：转化为直角三角形的存在性问题．
（2）直角三角形存在性问题：
①找点：两线一圆；
②求点：以谁为直角分类讨论．
模块一 平行四边形的存在性问题
0
（1）在平面直角坐标系内A，B，C三点的坐标分别是，，，以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点坐标为_________________．
（2）（嘉祥）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数的图象，直线PB是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点．若四边形PQOB的面积是5.5，且，若存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为__________．
（1），，；
（2）、、．
【教师备课提示】这道题主要考查已知三点，求另外一点的坐标．
如图，已知一次函数的图像分别交x轴，y轴于A，B两点，点，点N在x轴上，直线AB上是否存在点M，使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
由题意得，，，
设，，
= 1 \* GB3 ①当BD为对角线时，
由题意得，，解得，
∴；
②当BM为对角线时，
由题意得，，解得，∴，
③当DM为对角线时，
由题意得，，解得，∴，
综上所述，或或．
【教师备课提示】这道题主要考查已知两点，另外有一点在特殊的直线上．
如图3-1，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的顶点A的坐标为，直线经过顶点B，与y轴交于顶点C，AB//OC．
（1）求顶点B的坐标；
（2）如图3-2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点为点O关于直线l的对称点，连接，并延长交直线AB于第一象限的点D，当时，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OD上运动，以P、Q、B、C为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．

图3-1 图3-2
（1）∵，AB//OC，设点B的坐标为，
把代入中，得，
∴；
（2）过C点作于N，
∵AB//OC，∴，
由题意，
∴
∴，
∵，当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
设l解析式把，代入得
，解得，
∴l的解析式；
（3）∵，BC为一边，
∴，
∴OD的解析式为，
过P作y轴垂线交直线AD于点U，过点Q作x轴平行线与y轴交于点V，
设点，
∵,，且，
∴，则，
∴，代入中，得，
∴，
如图，同理，
当为对角线时，设，，
即，
解得，
∴．
【教师备课提示】这道题主要考查已知两点，另外两点均在一般的直线上．
模块二 菱形的存在性问题
0
（1）已知如图，直线与坐标轴交于A、B两点，若点P是直线AB上的一个动点，试在坐标平面内找一点Q，使以O、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，则Q的坐标是__________．
（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB//OC，，，点C的坐标为．
①求点B的坐标；
②若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）或或或．
（2） = 1 \* GB3 ①过点B作轴于F，
在中，∵，，∴，
∵C的坐标为，∴，
∴点B的坐标为．
= 2 \* GB3 ②结论：存在．将菱形的问题转化成等腰三角形的问题．
1）当OP为对角线，即，
则有，
∴；
∴，∴；
，∴；
2）当EP为对角线，即，
∴，∴；
3）当OE为对角线，即，
∴，∴．
综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；
点Q的坐标为：，，，．
【教师备课提示】这道题主要考查菱形存在性问题转化为等腰三角形的问题，当然直线都是倾斜角度比较特殊的直线．
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，，、，若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，求F点的坐标，若不存在，请说明理由．
；；；．
【教师备课提示】这道题主要考查菱形存在性问题转化为等腰三角形的问题，直线是一般的直线．
模块三 矩形的存在性问题
0
如图，平面直角坐标系xOy中，直线l的函数解析式为，点P在直线l上，已知、，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、B为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
存在，将矩形的问题转化成直角三角形的问题．
由题意得，、，
∴直线AB为：．
= 1 \* GB3 ①当时，则，点P在过点A且垂直于AB的直线上，
此时直线AP的解析式为：，
由题意得，，解得，
∴，，
②当，则，点P在过点B且垂直于AB的直线上，
此时直线BP的解析式为：，
由题意得，，解得，∴，，
③当，则，设点，
由题意得，，即，
解得，，∴或，
∴或，
综上所述，，，，，
对应的点Q为，，，．
【教师备课提示】这道题主要考查矩形的问题转化为直角三角形的问题．
复习巩固
模块一 平行四边形的存在性问题
0
如图，已知直线与x轴，y轴交于M，N两点，直线与直线l交于点P．
（1）若点P在第一象限，试求出m的取值范围．
（2）当直线经过线段OM的中点B，求出两直线交点P的坐标．
（3）若点M关于原点的对称点为C，过C作x轴的垂线，点A在x轴上，与原点O关于直线对称，设点Q在直线上，点E在直线上，若以A，O，E，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标．
（1）∵直线和直线相交点P，
∴可得：，解得，∴点P的坐标为，
∵点P在第一象限，可得，解得，
解得，∴m的取值范围为．
（2）∵直线与x轴交于M点，
把分别代入解析式中，可得：点，
∵B为OM的中点，∴点B的坐标为，∵在上，
∴得：，解得：，
∴直线的解析式为：，∴．
（3）∵，∴，∴可得直线的解析式为：，
且可得，又，设，
= 1 \* GB3 ①当OA为对角线时，由题意得，，解得，∴，
②当OE为对角线时，由题意得，，解得，∴（舍去）
③当AE为对角线时，由题意得，，解得，∴，
综上所述，或．
模块二 菱形的存在性问题
0
如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长是方程的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）由题意得，，解得，，
∴，，∴，，∴．
（2）作轴于点F，轴于点E，
则，∴，
可得，．∴．
设直线AD的解析式为．
∴，解得，∴．
∴直线AD的解析式为．
（3）存在．如图：分为P在x轴上方和P在x轴下方两种情况，
；；；．
模块三 矩形的存在性问题
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如图，在平面直角坐标系中，已知的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足，的平分线交x轴于点C过，点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求线段AB的长；
（2）求直线CE的解析式；
（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）；
（2）；
（3）或．