初二数学.春.直升班.教师版.第7讲 四点共圆（二）

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四点共圆（二）
模块一 四点共圆的判定（二）
模块二 四点共圆的应用
模块三 四点共圆的构造
模块一：四点共圆的判定（二）
两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆．
模块二：四点共圆的应用
模块三：四点共圆的构造
模块一 四点共圆的判定（二）
0
（1）如图1-1，若过相交两圆的公共弦上一点P作一个圆的弦CD，另一圆的弦EF．求证：C、D、E、F四点共圆．
（2）如图1-2，AD为中BC边上的高线，于点E，于点F．求证：B、C、F、E四点共圆．

图1-1 图1-2
（1）在圆O中，．
在圆中，，所以，故C、D、E、F四点共圆．
（2）∵，，，∴，，
∴，∴B、E、F、C四点共圆．
【教师备课提示】这道题主要考查利用圆幂定理证明四点共圆．
如图，P是外一点，PA和PB是的切线，A、B为切点，PO与AB交于点M，过M任作的弦CD．求证：C、O、D、P四点共圆．

连接OC、OD，∵PA、PB是切线，
∴，，，
∴，∵，
∴，∴C、O、D、P四点共圆．
【教师备课提示】这道题主要让孩子们进行练习，主要是例题1的拔高练习．
模块二 四点共圆的应用
0
（1）如图3-1，四边形ABCD是正方形，M是BC上一点，交的外角平分线于E，求证：．
（2）如图3-2，正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内一点，且，，求PB的长．

图3-1 图3-2
（1）连接AC、AE，
∵四边形ABCD是正方形，∴，
∵CE是外角平分线，∴，∴，
∵，∴A、M、C、E四点共圆，
∴，∴，∴．
（2）连接OA、OB，∵ABCD是正方形，
∴，，
∵，∴A、B、O、P四点共圆，
∴．
在中，，∴，
设，，则，
解得，∴，∴．
（1）如图4-1，在五边形ABCDE中，，．求证：．
（2）如图4-2，锐角，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，于G，于F．求证：FG//BC．

图4-1 图4-2
（1）设相交于，连接
∵，∴A、O、D、E四点共圆，
∴，，
∵，∴，
∴A、O、C、B四点共圆，∴，
∵，∴．
（2）连接DE，∵BD、CE是高线，
∴，
∴B、C、D、E四点共圆，
∴，
∵，，
∴，
∴D、E、F、G四点共圆，
∴，∴，
∴FG//BC．
【教师备课提示】例3和例4主要考查四点共圆的应用．
如图，已知中，AH是高，AT是角平分线，且，．求证：（1）；（2）．
（1）∵，，
∴，
∴A、D、T、E四点共圆，且AT是直径，
∵，∴，
∴H也在圆上，即A、D、T、H、E五点共圆．
∵AT是角平分线，∴，
∴，∴．
（2）由（1）可知，，，
∴，．
∵AT是角平分线，∴，∴．
【教师备课提示】这道题主要考查四点共圆的应用练习，主要是例3和例4的拔高练习．
模块三 四点共圆的构造
0
（1）如图6-1，在四边形ABCD中，，，，，则______________．
（2）如图6-2，在的边AB、AC上分别取点Q、P，使得．求证：．

图6-1 图6-2
（1）28°；
（2）∵，
∴
．
作点P关于BC的对称点M，连接BM、CM，
则，，∴B、M、C、Q四点共圆，
∵，∴，∴．
【教师备课提示】这道题主要考查四点共圆的构造和应用，有互补的角可以构造．
在四边形ABCD中，，，，，求．

延长到使得，连接AE、CE．
∵，，
∴，
∵，∴，
∴A、B、C、E四点共圆，
∴，
∵，∴，
∴，
∴D是圆心，，
∴．
【教师备课提示】这道题主要考查四点共圆求角度．
如图，ABCD是圆内接四边形，AB、DC的延长线交于E，AD、BC的延长线交于F，EP、FQ切圆于P、Q两点，求证：．

设的外接圆交EF于G，连接CG．
∵PE、QF是的切线，∴，，
∵ABCD是圆内接四边形，∴，
∵B、C、D、E四点共圆，∴，，
∴，∴C、D、F、G四点共圆，∴，
∴．
【教师备课提示】这道题主要是考查四点共圆的构造．
复习巩固
模块一 四点共圆的判定（二）
0
如图，圆、相交于点A、B，P是BA延长线上一点，割线PCD交圆于C、D，割线PEF交圆于E、F．求证：C、D、F、E四点共圆．
由题意知A、B、D、C四点共圆，
则有．
又A、B、F、E四点共圆，
则有．
所以，
所以C、D、F、E四点共圆．
如图，P是外一点，PA切于点A，PBC是的割线，于D．求证：B、C、O、D四点共圆．

连接OA，OB，
∵PA是切线，∴，
∵，∴，
又，∴，
∴B、C、O、D四点共圆．
模块二 四点共圆的应用
0
（1）如图3-1，，AC平分，，，当时，则__________．
（2）如图3-2，正方形ABCD的中心为O，面积为2009，P为正方形内的一点，且，，则__________．

图3-1 图3-2
（1）；（2）35．
（2013年成都中考）如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，，，．若，，点P为线段AB上的动点，连接DP，作，交直线BE与点Q，当点P与A，B两点不重合时，求的值．

由题意得，，∴D、P、B、Q四点共圆．
∴，∴．
如图，已知在五边形ABCDE中，，，且．求证：．

连接BD、CE，∵，，∴，
∴，∴，∴A、B、C、D、E四点共圆．
同理A、B、C、E四点共圆，∴A、B、C、D、E五点共圆，
∵，∴．
模块三 四点共圆的构造
0
如图所示，在梯形ABCD中，AD//BC，，，，且，求CD的长．
如图，作点D关于BC的对称点D，连接AE、BE、CE．
设AE与BC交于点F．
由AD//BC，知点A、E到BC的距离相等．则．
设，．
由，得．故A、B、E、C四点共圆．
由，得．故．
又．
故．
由角平分线的性质得．
又因为，所以，，
．
于是，由，解得．故．四边形ABCD的对角线AC、BD交于H，
若，则四点共圆.
四边形ABCD的对边BA、CD的延长线交于P，
若，则四点共圆.