2021届新高考二轮复习 6.4.1　统计与统计案例 学案

6.4　统计与概率大题
6.4.1　统计与统计案例
必备知识精要梳理
1.变量间的相关关系
(1)如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近,那么我们说变量x和y具有线性相关关系.
(2)线性回归方程:若变量x与y具有线性相关关系,有n个样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),则回归方程为y^=b^x+a^,其中b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a^=y-b^x.
(3)相关系数:r=∑i=1nxiyi-nxy(∑i=1nxi2-nx2)(∑i=1nyi2-ny2),当r>0时,表示两个变量正相关;当r0,故2003年至2012年我国产业差值逐年增加,平均每年增加1.6万亿元.令1.6t+2=34,解得t=20.故预测在2022年我国产业差值为34万亿元.
(3)结合折线图,2007年产业差值为10.8万亿元,除去2007年(t=5时)产业差值外的9年的产业差值平均值为19×(10×10.8-10.8)=10.8.又因为∑i=110(yi-y)2=211.6,所以除去2007年(t=5时)产业差值外的9年的产业差值的方差为19×[211.6-(10.8-10.8)2]≈23.5.
对点训练2解(1)由0.9808>0.8457,可得y=b1x+a1更适宜作为x为解释变量y为预报变量的回归方程.
(2)x=1+2+3+4+5+6+77=4,
b^=2333.5-7×4×537.27140-112=2333.5-2148.828=184.728≈6.60,
a^=537.27-184.728×4=352.57≈50.36,所以以x为解释变量y为预报变量的回归方程为y^=6.60x+50.36.
(3)到2035年底对应的年份代号为23,由(2)的回归方程y^=6.60x+50.36得我国国内生产总值约为6.60×23+50.36=202.16(万亿元人民币),又202.1614.4≈14.04,所以到2035年底我国人均国民生产总值约为14.04万元人民币,由直方图,假设的2035年世界主要中等发达国家的人均国民生产总值平均数的估计值为7.5×0.3+12.5×0.35+17.5×0.2+22.5×0.1+27.5×0.05=13.75,又13.750.75,所以y与x具有较强的线性相关关系.
(2)由(1)得b^=620=0.3,a^=4-0.3×5=2.5,所以线性回归方程为y^=0.3x+2.5.当x=7时,y^=0.3×7+2.5=4.6,即当A指标为7时,B指标的估计值为4.6.
(3)由题得(x-3s,x+3s)=(-1,11),因为13>11,所以该城市的交通管理部门需要进行治理.
【例5】解(1)由频率分布直方图知,(0.0010+0.0030+0.0040+0.0050+0.0030+0.0018+a)×50=1,解得a=0.0022,
∴乙方案样本中不合格天数为0.0022×50×100=11(天);
(2)根据题中的频率分布直方图,得(0.0010+0.0030+0.0040)×50=0.4,又0.0050×50=0.25,∵0.4+0.25=0.65,∴中位数在(150,200]之间,设中位数为x,则0.4+(x-150)×0.0050=0.5,解得x=170,∴乙方案样本的中位数为170;
(3)由题意填写2×2列联表如下,

甲方案
乙方案
合计
合格天数
96
89
185
不合格天数
4
11
15
合计
100
100
200

由表中数据,计算K2的观测值k=200×(96×11-89×4)2100×100×185×15≈3.532,
∵3.532>2.706,∴有90%的把握认为该城市的空气质量指数值与两种方案的选择有关.
对点训练5解(1)根据抽查数据,该市100天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率的估计值为64100=0.64.
(2)根据抽查数据,可得2×2列联表:
　　　SO2
PM2.5　　　
[0,150]
(150,475]
[0,75]
64
16
(75,115]
10
10


(3)根据(2)的列联表得K2的观测值k=100×(64×10-16×10)280×20×74×26≈7.484.
由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关.