2021届二轮复习 计数原理二项式定理 学案（全国通用）

第1讲　计数原理、二项式定理

两个计数原理
[核心提炼]
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．
[典型例题]
(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24　　　　B．18　　　　C．12　　　　D．9
(2)甲、乙两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情况(各人输赢局次的不同视为不同情况)共有(　　)
A．10种 B．15 C．20种 D．30种
【解析】　(1)由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B.
(2)首先分类计算假如甲赢，比分3∶0是1种情况；比分3∶1共有3种情况，分别是前3局中(因为第四局肯定要赢)，第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是3∶2共有6种情况，就是说前4局2∶2，最后一局获胜，前4局中，用排列方法，从4局中选2局获胜，有6种情况．甲一共有1＋3＋6＝10种情况获胜．所以加上乙获胜情况，共有10＋10＝20种情况．
【答案】　(1)B　(2)C

应用两个计数原理解题的方法
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．　
(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
[对点训练]
1．如图，某教师要从A地至B地参加北京朝阳期末教研活动：

路线：A到B有三条路线；
路线：A到C后再到B，其中A到C有1条路线，C到B有2条路线；
路线：从A到D，D到C，C到B，其中A到D，D到C，C到B各有2条路线，则该教师的选择路线种数共有(　　)
A．10　　　　　　　　　　 B．11
C．13 D．24
解析：选C.按路线，共有3种选择；按路线，分2步可以到达B，共有1×2＝2种选择；按路线，分3步，共有2×2×2＝8种，故共有3＋2＋8＝13种选择．
2．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a10，则x＝________时，取到最小值，该最小值为________．
解析：由规定：C＝＝－680，由＝＝.
因为x>0，x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立，
所以当x＝时，得最小值.
答案：－680