【精品练习卷】人教版 九年级下册数学 专题二　动态开放型问题 练习卷

（时间：40分钟，满分48分）

班级：___________姓名：___________得分：___________

一、选择题（每题3分）

1.如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是(  )

 【解析】当小三角形完全在大三角形里面(即0≤x≤1)时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，     y＝为定值；当小三角形开始穿出大三角形(即1＜x≤2)时，重叠三角形的边长为2－x，高为，y＝×(2－x)×＝(x－2)2，为开口向上的抛物线的一部分．故选B．

【答案】B

2．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（    ）

A．    B．π    C．    D．2

【答案】B.

【解析】

试题分析：如图，取AB的中点E，取CE的中点F，连接PE，CE，MF，则FM＝PE＝1，故M的轨迹为以F为圆心，1为半径的半圆弧，轨迹长为.故答案选B.

3．如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（  ）

A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣，0） D．（﹣，0）

【答案】C.

【解析】

试题分析：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．

直线y=x+4与x轴、y轴的交点坐标为A（﹣6，0）和点B（0，4），因点C、D分别为线段AB、OB的中点，可得点C（﹣3，2），点D（0，2）．再由点D′和点D关于x轴对称，可知点D′的坐标为（0，﹣2）．设直线CD′的解析式为y=kx+b，直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），所以，解得：，即可得直线CD′的解析式为y=﹣x﹣2．令y=﹣x﹣2中y=0，则0=﹣x﹣2，解得：x=﹣，所以点P的坐标为（﹣，0）．故答案选C．

4．任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（  ）

A．△EGH为等腰三角形  B．△EGF为等边三角形

C．四边形EGFH为菱形   D．△EHF为等腰三角形

【答案】B．

【解析】

试题分析：根据线段垂直平分线的性质可得EG=EH=FH=GF，由此可得选项A正确，选项B错误，选项C、正确，选项D正确．故答案选B．

二、填空题（每题3分）

5. 如图1，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2 cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P，Q同时停止移动．设点P出发x s时，△PAQ的面积为y cm2，y与x的函数图象如图2所示，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为      ．

【解析】由图2可知，△PAQ的最大面积为9，此时点Q在AB上，设正方形的边长为a cm，当点P从D点运动到AD的中点过程中，S△PAQ＝AP·AQ＝ (a－x)·2x＝－（x-）2＋，∴当x＝时，△PAQ的面积最大为，即＝9，解得a＝6(a＝－6<0不符合题意，舍去)．

∴当点P从AD的中点开始向A运动的同时，Q点从点B向C运动，此时，y＝ (6－x)×6＝18－3x，即

y＝－3x＋18，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为y＝－3x＋18(3≤x≤6)．

【答案】y＝－3x＋18

6. 如图，反比例函数y＝的图象经过点(－1，－2)，点A是该图象第一象限分支上的动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连接BP. (1)k的值为     ；

(2)在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是    ．

【解析】(1)把点(－1，－2)代入反比例函数y＝，得k＝－1×(－2)＝2.(2)如图，连接OC，作AM⊥x轴于点M，CN⊥x轴于点N，则AM∥CN，∠AMO＝∠ONC＝90°，∴∠AOM＋∠OAM＝90°.根据题意，得点A和点B关于原点对称，∴OA＝OB．∵△ABC是等腰直角三角形，AB为斜边，∴OC⊥AB(三线合一)，OC＝AB＝OA，AC＝BC，AB＝BC．∴∠AOC＝90°，即∠AOM＋∠CON＝90°，∴∠OAM＝∠CON.∴△OAM≌△CON(AAS)，∴OM＝CN，AM＝ON，∵BP平分∠ABC，∴.∵AM∥CN，∴.设CN＝OM＝x，则AM＝ON＝x.∵点A在反比例函数上，∴OM·AM＝2，即x·x＝2，解得x＝(x＝－舍去)，∴CN＝，ON＝2，

∴点C的坐标为(2，－)．

7. 如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是________．

解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=OA=2，
∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB= ABCD+ ABCE= AB（CD+CE）= AB?DE= ×2 ×4=4 ．
故答案为：4 ．

8. 存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过点(1，1)；②当x＞0时，y随x的增大而减小．这个函数的解析式是______              _____．

三、解答题（每题12分）

9. 如图2－8，点A(m，6)，B(n，1)在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5.

(1)求m，n的值并写出反比例函数的解析式．

(2)连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使得△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

图2－8

10．(2016·苏州)如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝8 cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4 cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3 m/s，以O为圆心，0.8 cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t(单位：s) .

(1)如图1，连接DQ，当DQ平分∠BDC时，t的值为      ；(2)如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；(3)请你继续进行探究，并解答下列问题：

①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；

②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．

解：（1）如图1，

（2）如图2中，作MT⊥BC于点T.

（3）

②解：如图3，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E.