【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）9函数及图像1.学生版
展开
内容 | 基本要求 | 略高要求 | 较高要求 |
一次函数 | 理解正比例函数，能结合具体情境了解一次函数的意义;会画一次函数的图像，理解一次函数的性质 | 会根据已知条件确定一次函数解析式;会根据一次函数解析式求其图像与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数图像求二元一次方程组的近似解 | 能用一次函数解决实际问题
|
一、函数的相关概念
1．常量与变量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量．
如在圆的面积公式中，是常数，是一个常量，而随的变化而变化，所以、是变量．
2．自变量、因变量与函数
在某一变化过程中，有两个量，例如和，对于的每一个值，都有唯一的值与之对应，其中是自变量，是因变量，此时也称是的函数．
函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．
注意：
（1）对于每一个给定的值，有一个唯一确定的值与之对应，否则就不是的函数．例如就不是函数，因为当时，，即有两个值与对应．
（2）对于每一个给定的值，可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应．例如在函数中，时，；时，．
二、函数自变量的取值范围
函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．
在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：
（1）整式：自变量的取值范围是任意实数．
（2）分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数．
（3）根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．
（4）零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数．
注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．
在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类．
三、函数的表示方法
1．函数的三种表示方法：
（1）列表法：通过列表表示函数的方法．
（2）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：，．
（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．
2．对函数的关系式（即解析式）的理解：
（1）函数关系式是等式．例如就是一个函数关系式．
（2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．
通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：中是自变量，是的函数．
（3）函数关系式在书写时有顺序性．
例如：是表示是的函数，若写成就表示是的函数．求与的函数关系时，
必须是只用变量的代数式表示，得到的等式右边只含的代数式．
三、函数的图象
1．函数图象的概念：
对于一个函数，如果把自变量和函数的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象．
2．函数图象的画法
（1）列表； （2）描点； （3）连线．
3．函数解析式与函数图象的关系：
由函数图象的定义可知，图象上任意一点中的，都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．
判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．
一、函数的相关概念
【例1】 分别指出下列关系式中的变量与常量：
球的表面积与球半径的关系式是；
设圆柱的底面半径不变，圆柱的体积与圆柱的高的关系式是．
【巩固】通过阅读理解函数和变量的概念，判断下列变量是否是的函数：
（1）表示小猪，表示猪妈妈（亲生妈妈，不包括养母）；
（2）表示“喜羊羊”，表示“喜羊羊”的好朋友．
【例2】 判断下列式子中是否是的函数．
（1） （2） （3） （4）
【巩固】判断下列式子中是否是的函数．
（1） （2） （3） （4）
【例3】 下列图形中的曲线不表示是的函数的是（ ）．
【巩固】下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是（ ）
A B C D
二、实际问题中的函数及其图象
【例4】 你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为，瓶中水面的高度为，下面能大致表示上面故事情节的图象是（ ）
A B C D
【巩固】如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水，在这个乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那一刻起向后的时间为，瓶中水位的高度为，下列图象中最符合故事情景的是（ ）
【例5】 边长为和的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为（阴影部分），则与的大致图象为（ ）
A B C D
【巩固】如图，一只蚂蚁从点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为，蚂蚁到点的距离为，则关于的函数图象大致为（ ）
三、函数自变量的取值范围
【例6】 函数自变量的取值范围是 ．
【巩固】函数的自变量的取值范围是 ．
【例7】 函数自变量的取值范围是 ．
【巩固】在函数 中，自变量的取值范围是 ．
【巩固】函数的自变量的取值范围是 ．
【巩固】函数的自变量的取值范围是 ．
【例8】 函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固】函数的自变量的取值范围是 ．
【例9】 函数的自变量的取值范围是 ．
【巩固】函数的自变量的取值范围是 ．
【例10】 函数的自变量的取值范围是 ．
【巩固】函数的自变量的取值范围是 ．
【例11】 根据你的理解写出下列与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（我们称为定义域）．
（1） 某人骑车以是速度匀速运动的路程与时间，解析式： ，定义域： ；
（2）正方形的面积与边长，解析式： ，定义域： ；
【巩固】写出下列各问题中的关系式，指出其中的常量、自变量、因变量及自变量取值范围．
（1）直角三角形中一锐角的度数与另一锐角的度数之间的函数关系．
（2）如果水的流速量是（一个定量），那么每分钟的进水量（）与所选择的水管直径（）之间的函数关系．
（3）某种储蓄的月利率是，存入元本金后,则利息（元）与所存月数之间函数关系．
【例12】 等腰周长为，底边长为，腰长为．
（1）写出关于的函数关系式；
（2）求的取值范围；
（3）求的取值范围．
【巩固】等腰三角形的周长为，写出它的底边长与腰长之间的函数关系，并写出自变量的取值
范围？
【例13】 某礼堂共有排座，第一排有个座位，后面每排比前一排多个座位．求每排座位数与这排的排数的函数关系，并写出自变量的取值范围．
【巩固】小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有元，从现在起每个月节存元．请写出小张的存款与从现在开始的月份数之间的函数关系式及自变量的取值范围．
- 打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量（升）与时间（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ）
A B C D
- 函数的自变量的取值范围是 ．
- 函数的自变量的取值范围是 ．
- 函数的自变量的取值范围是 ．
- 函数的自变量的取值范围是 ．
- 写出等腰三角形中一底角的度数与顶角的度数之间的函数关系．
- 等腰三角形的周长为，写出它的底边长与腰长之间的函数关系，并写出自变量的取值范围．
- 如图，周长为的凸五边形被对角线分为等腰
及矩形，，设的长为，的长为，求与
之间的函数关系式，写出自变量的取值范围．
