【精品讲义】人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）8二元一次方程组的应用．教师版

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       内容基本要求略高要求较高要求二元一次方程（组）了解二元一次方程（组）的有关概念能根据实际问题列出二元一次方程组  二元一次方程组的解知道代入消元法和加减消元法的意义掌握代入消元法和加减消元法；能选用恰当的方法解二元一次方程组会运用二元一次方程组解决实际问题 ☞倍分问题【例1】    甲原有元，乙原有元，若乙给甲元，则甲所有钱为乙的倍，若甲给乙元，则甲所有钱为乙的倍多元，将，的关系式列成二元一次方程组【解析】略【答案】  【巩固】古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！~”那么驴子和骡子原来所驮货物的袋数分别是多少？【解析】略【解析】设驴子和骡子原来所驮货物的袋数分别是、，根据题意得，解得答：驴子驮袋，骡子驮袋  ☞年龄问题【例2】    父子的年龄差岁，五年后父亲的年龄正好是儿子的倍，问今年父亲和儿子各是多少岁？【解析】略【答案】设父亲岁，儿子岁，根据题意得，解得答：父亲岁，儿子岁☞数字问题【例3】    已知二位数，其十位数字的倍与个位数字的和是，它的各位与十位数字对调后，所得的新数比原数大，问原数是多少？【解析】略【答案】设原数的十位数字为，个位数字为，根据题意得，解得答：原数是  【巩固】有一个二位数，它的个位数字的倍比十位数字的倍多，若把它的各位数字与十位数字对调后，所得的新数比原数的倍多，试求原数【解析】略【答案】设原数的十位数字为，个位数字为，根据题意得，解得答：原数是  ☞分配问题【例4】    某校有两种类型的学生宿舍间，大的宿舍可住人，小的每间可住人，该校个住宿生恰好住满这间宿舍，大小宿舍个多少间【解析】略【答案】设大宿舍有间，小宿舍有间，根据题意得，解得答：学校的大宿舍有间，小宿舍有间  【巩固】凌凌为了减肥到康康健身中心做跑步运动，平常因跑步机人数少于人数，故须每人轮流使用，且每台跑步机每天只能使用公里，则平均每人使用公里；某一假日人数增加人，且恰巧跑步机坏了台不能使用，所以每人平均只能使用公里，求原来有多少人？跑步机有多少台？【解析】略【答案】设原来有人，跑步机有台，根据题意得，解得答：原来有人，跑步机有台  【巩固】明朝程大位所著算法统宗里有一道有趣的问题：“一百馒头，一百僧（100个和尚吃100个馒头），大僧三个便无争，小僧三人分一个”。问大小和尚各几人？请你算出答案【解析】略【答案】设大和尚人，小和尚人，根据题意得，解得答：大和尚人，小和尚人 ☞比赛问题【例5】    某中学足球赛共比赛10轮（即每队均需比赛场），其中胜一场得分，平一场分，负一场得分，香茗中学足球队在这次联赛中所负场数比踢平场数少场，结果共得分，香茗中学足球队在这次联赛中胜了多少场？【解析】略【答案】设胜了场，踢平场，根据题意得，解得答：香茗中学足球队在这次联赛中胜了场  【巩固】某市中学生举行足球联赛，共赛轮（即每队均需参赛场），记分办法是胜一场得分，平一场得分，负一场得分⑴在这次足球赛中，若小虎足球队踢平场数与所负场数相同，共积分分，试求该队胜几场⑵在这次足球赛中，若小虎足球队总积分仍为分，且踢平场数是所负场数的整数倍，试推算小虎足球队所负场数的情况有几种。【解析】略【答案】⑴设小虎队胜场，平场，负场，根据题意得，解得答：该队胜场⑵设小虎队胜场，平场，负场由题意得，是正整数，解得（为正整数）∵，且为整数，，，当时，，，当时，，，当时，，，答：共有两种情况  ☞路程问题【例6】    、两地相距千米，两人步行，甲从到，乙从到，两人同时出发，相向而行，小时后相遇；若行小时，此时甲剩下的路程是乙所余下的路程的倍，求两人速度【解析】略【答案】设甲的速度是千米/时，乙的速度是千米/时，根据题意得，解得答：甲的速度是千米/时，乙的速度是千米/时  【巩固】已知某铁路桥长，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用，整列火车完全在桥上的时间是，求火车的速度和长度．【解析】略【答案】设火车的速度为（），火车长为（），则，解得答：火车的速度为，长度为  ☞盈不足问题【例7】    某校初一学生外出春游，如果每辆汽车坐人，那么人没有座位；如果每辆车坐人，那么空出辆汽车，问共有多少学生？几辆汽车？【解析】略【答案】设有汽车辆，学会人，根据题意得，解得答：共有名学生，辆汽车  ☞等面积问题【例8】    一长方形花园，若长减米，宽加米，则形成与长方形同面积的正方形，试问长方形的长与宽各是多少米？【解析】略【答案】设长方形的长为米，宽为米，根据题意得，解得答：长米，宽米  ☞配套问题【例9】    现有张铁皮，每张铁皮可做个盒身或个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，那么用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【解析】略【答案】设张铁皮制盒身，张铁皮制盒底，根据题意得，解得答：张制盒身，张制盒底，可以正好制成一批完整的盒子  【巩固】某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等(如图(2))，再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒(如图(1)).现将张长方形硬纸片和张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？(注：图(1)中向上的一面无盖)【解析】略【答案】设可以做成甲、乙两种小盒各、个，根据题意可列方程组：，解得【巩固】某电视台在黄金时段的分钟广告时间内，计划插播长度为秒和秒的两种广告，秒广告每播一次收费万元，秒广告每播一次收费万元，若要求每种广告播放不少于次⑴两种广告的播放次数有几种安排方式⑵电视台选择哪种播放方式收益较大【解析】略【答案】⑴设秒广告播放次，秒广告播放次。根据题意得，∴，∵、均不小于的整数，∴或答：有两种播放方式，即秒广告播放次，秒广告播放次；或秒广告播放次，秒广告播放次⑵若，则收益为万元，若，则收益为万元∴电视台选择秒广告次，秒广告播放次得方式收益较大  【巩固】某电脑公司有A、B、C三种型号的电脑，价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元。东坡中学计划将100500元钱全部用于从该公司购进电脑，总共要其中两种不同型号的电脑36台。请你设计几种购买方案供该校选择，并说明理由。【解析】设该校从这家电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，C型电脑z台。⑴只购进A型电脑和B型电脑。列方程组解得不合题意，舍去。⑵只购进A型电脑和C型电脑。列方程组解得⑶只购进B型电脑和C型电脑。列方程组 解得因此有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台。【答案】见解析  ☞利率问题【例10】 某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共万元，甲种存款的年利率为，乙种存款的年利率为,该公司一年共得利息元，求甲、乙两种存款各多少万元？【解析】略【答案】设甲种存款为万元，乙种存款为万元，根据题意得，解得答：甲种存款为万元，乙种存款为万元  【巩固】某工厂向银行贷款甲、乙两种，共计万元，每年付利息万元，甲种贷款年利率为，乙种贷款年利率为，求两种贷款各多少万元？【解析】略【答案】设向银行贷款甲、乙两种分别为万元，万元，依题意得，解得答：甲、乙两种贷款分别为万元，万元。  ☞增长率问题【例11】 某省预计今年粮食产量比去年增加万千克，该省去年人口是万人，如果今年人口比去年增长，预计今年人均拥有的粮食比去年减少千克，该省去年粮食是多少万千克？预计今年粮食产量是多少万千克？【解析】略【答案】设去年粮食产量是万千克，预计今年粮食产量是万千克，根据题意得，解方程组得答：该省去年粮食产量是万千克，预计今年粮食产量是万千克  【巩固】某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共台，改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器要比第一季度增产10%，乙种机器产量要比第一季度增产20%，该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？【解析】略【答案】设该厂第一季度生产甲种机器台，乙种机器台，依题意，得，解得答：该厂第一季度生产甲、乙两种机器分别为220台和260台．  ☞销售问题【例12】 某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据图1和图2提供的信息，请计算一盒福娃玩具和一枚徽章的价格各是多少元。【解析】略【答案】设一盒福娃玩具的价格为元，一枚徽章的价格为元。根据题意得  解得答：一盒福娃玩具的价格为元，一枚徽章的价格为元  【巩固】阿豪和阿贤帮同学到合作社买早餐，阿豪买了杯豆浆和个肉包共元，阿贤买了杯豆浆和个肉包共元，则合作社每杯豆浆和每个肉包的售价各是多少元？【解析】略【答案】设每杯豆浆的价钱为元，每个肉包的售价为元，根据题意，得，解得答：每杯豆浆元，每个肉包元  ☞绳长问题【例13】 有甲、乙两条绳子，其中甲绳长与乙绳长的叠合后，全长厘米，求甲、乙两绳长各是多少厘米？【解析】略【答案】设甲绳长是厘米，乙绳长是厘米，根据题意得，解得答：甲绳长厘米，乙绳长厘米  ☞浓度问题【例14】 把浓度分别是和的甲、乙两种酒精溶液，配制成浓度是的消毒酒精溶液克，求甲、乙两种酒精溶液各取多少克？【解析】略【答案】设甲种酒精溶液取克，乙种酒精溶液取克，则由题意得，解得答：甲、乙两种酒精溶液各取克  【巩固】有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是，乙种酒精溶液酒精与水的比是，今要得到酒精与水的比的酒精溶液，求甲、乙两种溶液各取多少?【解析】略【答案】设甲、乙两种酒精溶液分别取、.则∴答：甲、乙两种酒精溶液分别取和.  ☞方案设计【例15】     项王故里的门票价格规定如下表：购票人数～～人以上每人门票(元)元元元某校初一甲、乙两班共人(其中甲班人数多于乙班去游项王故里的人数，如果两班都以班为单位分别购票，一共需付元．)⑴如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元钱?⑵两班各有多少名学生?【解析】略【答案】⑴(元)，(元)⑵(元)，介于元与元之间，且甲班人数多于乙班人数，所以甲班人数在人以上，乙班人数在人以下.设甲、乙两旅行团分别有人、人，则，解得：  【巩固】团体购买公园门票票价如下：(注意和例题表述的不同)购票人数～～人以上每人门票(元)元元元今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于人，乙团人数不超过人.若分别购票，两团共计应付门票费元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费元．⑴请你判断乙团的人数是否也少于人．⑵求甲、乙两旅行团各有多少人？【解析】略【答案】⑴若乙团人数也少于人，则两团共计应付门票费单价应为元，但不是整数，若两团总人数为超过人，则门票单价为，不是整数∴乙团的人数不少于人，不超过人，且甲、乙两旅行团总人数超过人.⑵设甲、乙两旅行团分别有人、人，则，解得：  【例16】     某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元.⑴若商场同时购进两种不同型号的电视机台，共付万元，请探究一下商场的进货方案；⑵若商场销售一台甲种电视机可获利元，销售一乙种电视机可获利元，销售一台丙种视机可获利元．在同时购进两种不同电视机的方案中，哪种能使获利最大?⑶若商场准备用万元同时购进三种不同型号的电视机台，请你设计进货方案．【解析】略【答案】⑴应分三种情形讨论：①设购进甲种电视机台，乙种电视机台，列方程组，解得；②同理求得若同时购进甲、丙电视机分别为台和台；③不可能同时购进乙、丙两种电视机(方程组无正整数解)． ⑵通过直接计算，上述两种方案的利润分别为元和元，应选第二种方案．也可进行估算，在三种机型中，乙的利润率最低，甲、丙相同，易选择方案二.⑶设购进甲、乙、丙三种电视机分别为台、台和台，可列方程组，分别解出和得，根据题意，分别得到符合题意的整数解为：，，，  ☞其他【例17】 夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电kW·h；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的倍，而这时甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电kW·h。求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电的度数。【解析】略【答案】设只将温度调高后，甲种空调每天节电度，乙种空调每天节电度，依题意得，解得答：只将温度调高后，甲种空调每天节电度，乙种空调每天节电度  【例18】 某中学新建了一栋层的教学大楼，每层楼有间教室，进出这栋大楼共有道门，其中两道正门大小相同，两道侧门也大小相同，分钟内可以通过名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，分钟内可以通过名学生。⑴求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？⑵检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低，安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在分钟内通过这道门安全撤离。假设这栋教学大楼每间教室最多有名学生，问：建造的这道门是否符合安全规定？请说明理由【解析】略【答案】⑴设平均每分钟一道正门可通过名学生，一道侧门可通过名学生。根据题意得，解得答：一道正门可通过名学生，一道侧门可通过名学生⑵这栋楼最多有学生（名），拥挤时分钟道门通过（名）∵  ∴符合安全规定  【例19】 为了解决农民工子女入学难的问题，某市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”，据统计，2005年秋季有名农民工子女进入城区中小学学习，预测年秋季进入城区中小学学习的农民工子女将比上一年有所增加，其中小学增加，中学增加，这样，年将新增加名农民工子女在城区中小学就读⑴如果按小学每生每年收“借读费”元，中学每生每年收“借读费”元计算，求年新增的名中小学共免收多少“借读费”⑵如果按小学每名学生配备名教师，中学每名学生配备名教师计算，年秋季该市教育行政部门应新配备多少中小学教师？【解析】略【答案】⑴设年小学生名，中学生名，根据题意得，解得∴小学生名，中学生名，（元）⑵名答：该市教育行政部门应新配备多中小学教师  1．     学校书法兴趣小组准备到文具店购买、两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买型毛笔不超过支时，按零售价销售；超过支时，超过部分每支比零售价低元，其余部分仍按零售价销售。一次性购买型毛笔不超过支时，按零售价销售；超过支时，超过部分每支比零售价低元，其余部分仍按零售价销售⑴如果全组共有名同学，若每人各买支型毛笔和支型毛笔，共支付元；若每人各买支型笔和支型毛笔，共支付元，这家文具店的、两种类型毛笔的零售价是多少？⑵为了促销，该文具店对型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即⑴中所求得的型毛笔的零售价）的出售。现要购买型毛笔支（），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由。【解析】略【答案】⑴设、两种类型毛笔的零售价分别是、，根据题意得，解得答：这家文具店的、两种类型毛笔的零售价分别是元和元⑵如果按原来销售方式购买支型毛笔共需元，则于是∵，∴，即，∴答：用原来方式花钱少  2．     某牛奶加工厂现有鲜奶吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润元；制成酸奶销售，每吨可获取利润元；制成奶片销售，每吨可获取利润元该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工吨；制成奶片每天可加工吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行；受气温条件限制，这批牛奶必须在天内全部销售或加工完毕，为此，该厂设计了两种可行方案：方案一：尽可多地制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？【解析】略【答案】选择方案二获利多若选择方案一：总利润若选择方案二：设天内加工酸奶吨，加工奶片吨，根据题意得，解得∴方案二的总利润元答：选择第二种方案获利多  1．     “中国竹乡”安吉县有丰富的毛竹资源，某企业已收购毛竹吨，根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利100元；如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利1000元；如果进行精加工，每天可加吨，每吨可获利5000元．由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30天）内将这批毛竹全部销售，为此研究了二种方案方案一：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利        元．方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利        元．问：是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由．【解析】按方案一可获利元；按方案二可获利元．设天内精加工毛竹天，粗加工毛竹天．根据题意得：，解得故利润为存在第三种方案：精加工毛竹天，粗加工毛竹天；销售后所获利润元．【答案】按方案一可获利元；按方案二可获利元，存在第三种方案：精加工毛竹天，粗加工毛竹天；销售后所获利润元．