寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第三讲 相似和四边形（教师版）

这是一份寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第三讲 相似和四边形（教师版），共37页。教案主要包含了规律方法等内容，欢迎下载使用。
 第三讲 相似和四边形
明确目标﹒定位考点
相似三角形与四边形的考查形式是一道选择题（3分），解答题通常会与一般四边形或者特殊的四边形相结合起来考查，往往分值范围在10-14分之间。

热点聚焦﹒考点突破
考点1 相似与平行四边形
【例1】如图6，在ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则ΔCEF的周长为（ ）
A.8 B.9.5 C.10 D.11.5


【规律方法】题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查．

【例2】已知，如图，F为平行四边形ABCD边DC延长线上一点，连结AF，交BC于G，交BD于E，试说明=EG·EF
A
B
C
F
G
E
D





【规律方法】通过证明三角形相似得到线段间的相似比，再通过中间的线段比搭桥过渡即可。
考点2 相似与矩形
【例3】已知矩形ABCD，长BC=12 cm，宽AB=8 cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1 cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2 cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？






【规律方法】当文字叙述的两个三角形相似时，往往要分类讨论。
【例4】（2014年广东华侨中学,24,14分）如图，在矩形中，点在边上，联结，，，联结．点为线段上的任意一点，过点作，与相交于点．
（1）如果，求边的长；
（2）如图，在（1）的条件下，如果点为线段的中点，联结．过点作，垂足为点，求线段的长；
（3）试判断这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．







【规律方法】本题结合矩形的性质考查了平行线分线段成比例、勾股定理的应用、直角三角形的解法．本题是利用图形间的角、边关系求解．（1）根据矩形的四个内角都是直角、对边相等的性质求得AB=CD，∠A=∠ADC=90°．然后在Rt△ABE中利用特殊角的三角函数值求得AB、AE、BE及DE的值；所以由AD=AE+DE求得AD的值即可；
（2）连接CM．在Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD=4，然后利用直角三角形的边角关系求得∠ADB=30°，由平行线MN∥BD的内错角相等知，∠AMN=∠ADB=30°；再由平行线MN∥BD分线段成比例求得MN的长度；最后在Rt△CDM中利用边角关系、勾股定理求解；
（3）过点E作EF⊥BD，垂足为点F（图1）．由已知条件BE=DE，EF⊥BD，求得BD=2DF；然后在Rt△DEF中，利用边角关系求得BD与BE的数量关系；再有平行线MN∥BD分线段成比例解得EN与MN的关系．


考点3 相似与菱形
【例5】如图，矩形纸片（）中，将它折叠，使点与重合，折痕交于，交于，交于，连结、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过作交于，求证：；
A
E
D
C
F
B
P
O
（3）若，的面积为，求的值．



（第5题图）







【规律方法】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质的综合运用．
考点4 相似与正方形
【例6】如图，正方形DEMF内接于△ABC，若，，求




【规律方法】首先利用正方形的面积求出其边长，过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P，利用可得AP及AQ的长，再由△ADE∽△ABC求出BC，从而求得。
【例7】如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，
四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？求此时x的值．










考点5 相似与梯形
【例8】 如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.

【规律方法】注意分类讨论。

归纳总结﹒思维升华
1.三角形相似的条件
（1）三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
(2)三边对应成比例，两三角形相似.
(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
(4)两角对应相等，两三角形相似.

2.如何寻找和发现相似三角形
两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：
相似型的基本图形回顾：
（1）A型

（2）8型（也叫X型）


（3）K型


（4）双垂直型：（也叫母子型）

由Rt△DAC∽Rt△DBA∽Rt△ABC，得
AB2＝BD·BC，
AC2=CD·BC，
AD2=BD·CD。
熟记这三个等式有时会给解题带来很大的方便，
尤其解几何综合题更明显，但须注意，在使用它们时，一定要证明这三个直角三角形相似．
只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.
3.相似三角形与相似多边形的性质
①相似三角形的三边对应成比例，三角对应相等.
②相似三角形的对应高之比，对应角平分线之比与对应中线之比都等于相似比.
③相似三角形周长之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方.

专题训练﹒对接中考
1.如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9





2.如图3，菱形中，，点、分别为边、上的点，且,连接、交于点，则下列结论：①≌；②；③∽；④；其中结论正确的个数是（ * ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个







3.如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为 （　　）
A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4
A
D
B
C
E
F
M




4. 如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE， DE 和FG相交于点O．设AB=a，CG=b(a＞b)．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B.2个 C.3个 D.4个


二、填空题
1.下图中，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AE∶EC=1∶3，BE的延长线交CD的延长线于G，交AD于F，则BF∶FG=_________.

2.如图，在△ABC中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG∶DE＝1∶2，BC＝12 cm，AH＝8 cm，求矩形的长是 ，宽是 。


3.如图，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点、分别在和上．下列结论：① CE=CF；
A
B
C
D
E
F
第3题图
②∠AEB=75°；③BE＋DF=EF；④ =．
其中正确的序号是______________．（把你认为正确的都填上）




4.如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是_____cm.

三、解答题
1．如图9，现有一张边长为的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值；
（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．
图9













2 .在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上，D（0，8），将矩形OBCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处。
（1）如图①，已知折痕与边BC交于点A，若OD=2CP，求点P的坐标；
（2）若图①中的点P恰好是CD边的中点，求∠AOB的度数；
（3）如图②，在（1）的条件下，擦去折痕AO，线段AP，连接BP，动点M在线段OP上（点M不与P，O重合），动点N在线段OB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求出线段EF的长度.








第25题图① 第25题图②
















作业
一、选择题
1.如图，平行四边形ABCD中，、、为对角线BD上三点，且B＝＝＝D，连结A并延长交BC于点E，连结E并延长交AD于F，则AD:FD等于（ ）
A.19:2 B.9:1 C.8:1 D.7:1
第2题图

2．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则( )
A．3S1 = 2S2 B．2S1 = 3S2 C．2S1 =S2 D．S1 = 2S2
3. 如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，则下列结论中：错误的是( )
A．； B.； C.； D..


二、填空题
1. 如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，电视塔的高ED为_______米。
第2题图
2. 如图，正方形DEMF内接于△ABC，若=________

3.如图，在边长为1的正方形ABCD的一边BC上，任取一点E，作EF⊥AE交CD于点F，如果
BE＝x，CF＝y，那么用x的代数式表示y是_____________


4．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为________


三、解答题
1. 已知：如图，在矩形中，=4，=8，，分别是边，上的点．若，=2，求的长；











2.如图，在直角△ABC内，以A为一个顶点作正方形ADEF，使得点E落在BC边上.
(1) 用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点
(保留作图痕迹，不写作法和证明。另外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可)；
(2) 若AB = 6，AC = 2，求正方形ADEF的边长.



3. 已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.

A
B
C
D
E
F
O













4.如图，正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直。
（1） 证明：Rt△ABM～Rt△MCN
（2） 设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（3） 当M点运动到什么位置时Rt△ABM～Rt△AMN,求此时x的值。























参考答案：
热点聚焦﹒考点突破
【例1】 在平行四边形ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；△ADF是等腰三角形，AB=BE=6，所以CF=3；在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG= ，可得AG=2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE=2AG=4，所以△ABE的周长等于16，又由平行四边形ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8．故选A.
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意
【例2】 证明：∵AD∥BC，∴△ADE∽△GBE，
∴．
∵DF∥AB，
∴△DEF∽△BEA，
∴，∴．
∴AE2=EF·EG．
A
B
C
F
G
E
D

【例3】

解：设经 x秒后，△PBQ与△BCD相似，由于∠PBQ=∠BCD=90°
(1)当 1=2时，有即
(2)当 1=3时，有即
∴经过秒或2秒，△PBQ与△BCD相似.

【例4】 解：（1）由矩形，得:，．
在中，∵，，
∴，．
又∵，∴ ．
于是，由，得．
（2）联结．
在中，．
∴，即得:．
∵，∴．
又∵，点为线段的中点，
∴，．
∴．
在中，．
∴，即得，．
由勾股定理，得．
于是，由，，
得:．
（3）． 证明如下：过点作，垂足为点．
∵，，∴．
在中，由，
得 ，即得．
∵，
∴ ,，即得 ，．
∴．
于是，由，得:．

【例5】
25．（本题满分14分）
解：（1）当顶点与重合时，折痕垂直平分，
∴ …………………………………………1分
在矩形中，，
∴…………………………………………………………………2分
∴≌
∴ …………………………………………………………………3分
∴四边形是菱形． ………………………………………………………4分
（2）证明：∵∴，
∵，
∴ ……………………………………………………………5分
∵
∴∽…………………………………………………………………7分
∴
∴…………………………………………………………………9分
（3）四边形是菱形 ∴……………………………10分
在中， …………………………………………11分
∴
∴ ①……………………………………12分
∵的面积为 ∴
∴ ②……………………………………………………13分
由①、②得：
A
E
D
C
F
B
P
O
∵ ∴ ……………………





【例6】如图，正方形DEMF内接于△ABC，若，，求

解：∵正方形的面积为4，∴DE＝MF＝2。过A点作AQ⊥BC于Q，交DE于P
∵，∴AP＝1
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即
∴BC＝6，故＝9

【例7】

解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠AMB+∠BAM=90°，又∴AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，
∴∠BAM=∠NMC，∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）解：∵正方形ABCD边长为4，BM=1，
∴CM=4-1=3，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴，即，
∴CN=，
∴S梯形ABCN=（AB+CN）BC=×（4+）×4=；
∴正方形ABCD边长为4，BM=x，∴CM=4﹣x，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN，∴，即，∴CN=，
∴y=S梯形ABCN=（AB+CN）BC=×（4+）×4=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，
∵当x=2时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为10；
（3）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有，即，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴，∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，此时BM=2
．


考点5 相似与梯形
【例8】解：存在．
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=90°，
当△PAD∽△PBC时，=
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴AP=；
当△ADP∽△BPC时，=
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴PA=1或PA=6；
由①②可知，P点距离A点有三个位置：PA=；PA=1或PA=6．


专题训练﹒对接中考
一．选择题：
1.B； 2 .D； 3.C 4.B
2.分析：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B=∠EAC=60°，
在△ABF和△CAE中，

BF=AE
∠B=∠EAC
BC＝AC


∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正确；
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠AEH=∠B+∠BCE，
∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；
故②正确；
③由①得∠EAH=∠ACE ,∠AEC=AFB
∴△AEH∽△CEA
④由③得△AEH∽△CEA
∴△AEH∽△ABF
∴
∵AB=AD
∴
∴AE.AD=AF.AH
二、填空题
1.1:2 2. cm， cm 3.①②④ 4.12
三、解答题
1．（2015年越秀区一模）25．（本小题满分14分）
（1）解：如图1，∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．………………1分
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．………………2分
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．………………3分

（2）证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APB=∠BPH，
又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP．………………4分
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．………………5分
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH．
∴CH=QH．………………6分
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．
∴的周长是定值………………7分
（3）解：如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．
又∵EF为折痕，
∴EF⊥BP．
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，
∴∠EFM=∠ABP．
又∵∠A=∠EMF=90°，
∴△EFM≌△BPA． ………………8分
∴EM=AP．………………9分
设AP=x
在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2．
解得，．………………11分
∴．………………12分
∴．………………13分
当时，取最小值
∴………………14分


【2】25．（本小题满分14分）
解：（1）∵D（0，8），∴OD=BC=8
∵OD=2CP，∴CP=4
设DP=x
∵矩形OBCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处
∴△OAB≌△OAP
∴OB=OP=DC=x+4 ………1分
在Rt△ODP中，

解得：x=6
∴P(6，8). ………2分
(2) ∵点P恰好是CD边的中点，
∴设DP=PC=y，则DC=OB=OP=2y， ………3分
在Rt△ODP中，
即
解得：， ………4分
∵矩形OBCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处
∴△OAB≌△OAP
∵∠OPA=∠B=90°，
∴∠DPO+∠CPA=90°
∵∠DPO+∠POD=90°, ∴∠CPA=∠POD
∵∠D=∠C=90°,∴△ODP∽△PCA， ………5分
∴，即
∴， ………6分
∵，∴
∴∠AOB=30° ………7分
（3）猜想：线段EF的长度不发生变化 ………8分
过点M作MQ∥OB交PB于点Q，
∵OP=OB，MQ∥ON
∴∠OPB=∠OBP=∠MQP
∴MP=MQ ………9分
∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴ ………10分
∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF
∵BN=PM，∴BN=QM ………11分
在△MFQ和△NFB中，

∴△MFQ≌△NFB
∴ ………12分
∴ ………13分
由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴
∴
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，EF的长度为…14分

作业:
一、 选择题
1.B 2.A 3.C

二、 填空题
1.11.2 2.9 3. y= 4.
三、 解答题
1.解：∵矩形ABCD，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAP+∠BPA=90°
∵AP⊥PQ，∴∠APQ=90°，∴∠BPA+∠CPQ=90°，∴∠BAP=∠CPQ
∴△ABP～△PCQ，∴CQ=3

2. (1)提示：作∠A的平分线交BC于点E。
（2）∵四边形ADEF为正方形，
∴设AF=EF=x，
∴△CFE～△CAB
∴
3. 分析：（1）由四边形ABCD是矩形与折叠的性质，易证得△AOE≌△COF，即可得AE=CF，则可证得四边形AFCE是平行四边形，又由AC⊥EF，则可证得四边形AFCE是菱形；
由已知可得：S△ABF=AB•BF=24cm2，则可得AB2+BF2=（AB+BF）2-2AB•BF=（AB+BF）2-2×48=AF2=100（cm2），则可求得AB+BF的值，继而求得△ABF的周长．
过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，首先证明四边形AFCE是菱形，然后根据题干条件证明△AOE∽△AEP，列出关系式．
试题解析：
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，
由折叠的性质可得：OA=OC，AC⊥EF，
在△AOE和△COF中，
∵ ，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=AE=10cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴S△ABF=AB•BF=24cm2，
∴AB•BF=48（cm2），
∴AB2+BF2=（AB+BF）2-2AB•BF=（AB+BF）2-2×48=AF2=100（cm2），
∴AB+BF=14（cm）
∴△ABF的周长为：AB+BF+AF=14+10=24（cm）．
（3）证明：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．
当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF
∴四边形AFCE是菱形．
∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
由作法得∠AEP=90°，
∴△AOE∽△AEP，
∴，则AE2=A0•AP，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AO＝AC，
∴AE2=AC•AP，
∴2AE2=AC•AP．
4. 解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠AMB+∠BAM=90°，又∴AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，
∴∠BAM=∠NMC，∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）AM=PM．证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，∴AH=MC，
∵BH=BM，
∴∠BMH=∠BHM=45°，
∠AHM=135°，∵AM⊥MN，∴∠2+∠3+∠BMH=90°，
∵∠2+∠3=45°，∴∠1+∠2=∠BHM=45°，∴∠1=∠3，
∵CP是正方形外角平分线，∴∠PCN=45°，
∴∠PCM=90°+45°=135°，
∴∠AHM=∠MCP，在△AHM和△MCP中，
∵，
∴△AHM∽△MCP（ASA），
∴AM=PM；
（3）解：∵正方形ABCD边长为4，BM=1，
∴CM=4-1=3，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴，即，
∴CN=，
∴S梯形ABCN=（AB+CN）BC=×（4+）×4=；
∴正方形ABCD边长为4，BM=x，∴CM=4﹣x，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN，∴，即，∴CN=，
∴y=S梯形ABCN=（AB+CN）BC=×（4+）×4=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，
∵当x=2时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为10；
（4）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须有，即，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴，∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，此时BM=2
．