2021年中考数学专题复习 专题16 相交线与平行线（教师版含解析）

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专题16 相交线与平行线一、相交线1．邻补角(1)定义：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。(2)性质：邻补角的性质：邻补角互补。2．对顶角(1)定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。(2)性质：对顶角的性质：对顶角相等。3．垂线(1)定义：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。(2)垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。4．同位角、内错角、同旁内角(1)同位角定义：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。(2)内错角定义：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。(3)同旁内角定义：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。二、平行线1.平行线概念：在同一平面内，两条不想交的直线叫做平行线。记做a∥b如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。2.两条直线的位置关系：平行和相交。3.平行线公理及其推论：(1)公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行.4.平行线的判定：判定方法1：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行；判定方法2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两直线平行；判定方法3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，两直线平行.补充平行线的判定方法：(1)平行于同一条直线的两直线平行。(2)垂直于同一条直线的两直线平行。5.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。性质2：两直线平行，内错角相等。性质3：两直线平行，同旁内角互补。6．证明的一般步骤(1)根据题意，画出图形。(2)根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。【例题1】(2020•北京)如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是(　　)A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5【答案】A【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．【解析】A．∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，故A正确；B．∵∠2＝∠A+∠3，∴∠2＞∠3，故B错误；C．∵∠1＝∠4+∠5，故③错误；D．∵∠2＝∠4+∠5，∴∠2＞∠5；故D错误.【对点练习】(2019•河北省)下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是(　　)A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 C．▲代表∠EFC D．※代表AB【答案】C．【解析】证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C(三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和)．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．故AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．【点拨】以角度之间的关系为前提，得出两条直线平行，是平行线判定定理的运用。【例题2】(2020•衡阳)一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为　   　．【答案】105°．【分析】利用平行线的性质得到∠2＝∠D＝45°，然后结合三角形外角定理来求∠1的度数．【解析】如图，∵AB∥CD，∠D＝45°，∴∠2＝∠D＝45°．∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°，∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°．【对点练习】(2019江苏镇江)如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝_______．【答案】40°【解析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理，先求出∠ACD的度数是解题的关键．∵△BCD是等边三角形，∴∠B＝∠BCD＝60°．∵∠A＝20°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝100°．∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝40°．∵a∥b，∴∠1＝∠ACD＝40°．【点拨】已知两条直线平行的情况下，求解或者证明其他问题的过程，是利用平行线性质解决问题。【例题3】(2020•武汉)如图直线EF分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，且EM∥FN．求证：AB∥CD．【答案】见解析。【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠FEB＝∠EFC，进而得出AB∥CD．【解答】证明：∵EM∥FN，∴∠FEM＝∠EFN，∠BEF＝∠CFE，又∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，∴∠FEB＝∠EFC，∴AB∥CD．【对点练习】如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC．   ①∠DAB+∠B=多少度？②AD与BC平行吗？AB与CD平行吗？试说明理由．【答案】见解析。【解析】(1)由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°(2)根据同旁内角互补两直线平行可得AD∥BC，∠ACD不能确定从而不能确定AB与CD平行．①∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，又∠1=30°，∴∠BAD=120°，∵∠B=60°，∴∠DAB+∠B=180°．
②答：AD∥BC，AB与CD不一定平行．理由是：∵∠DAB+∠B=180°∴AD∥BC∵∠ACD不能确定∴AB与CD不一定平行．一、选择题1．(2020•长沙)如图：一块直角三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD、GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH于点E，则∠ECB的大小为(　　)A．60° B．45° C．30° D．25°【答案】C【分析】依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠ACE的度数，进而得出∠ECB的度数．【解析】∵AB平分∠CAD，∴∠CAD＝2∠BAC＝120°，又∵DF∥HG，∴∠ACE＝180°﹣∠DAC＝180°﹣120°＝60°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°2．(2020•滨州)如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为(　　)A．60° B．70° C．80° D．100°【答案】B【分析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．【解析】∵AB∥CD，∴∠1＝∠CPF＝55°，∵PF是∠EPC的平分线，∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°3．(2020•自贡)如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为(　　)A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】B【分析】由平行线的性质和对顶角相等即可得出答案．【解析】如图所示：∵a∥b，∴∠3＝∠1＝50°，∴∠2＝∠3＝50°4．(2020•金华)如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b．理由是(　　)A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【答案】B【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．【解析】由题意a⊥AB，b⊥AB，∴a∥b(垂直于同一条直线的两条直线平行)5.(2019•海南省)如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为(　　)A．20° B．35° C．40° D．70°【答案】C 【解析】根据平行线的性质解答即可．∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，∴AC＝AB，∴∠CBA＝∠BCA＝70°，∵l1∥l2，∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°6.(2019•湖北省鄂州市)如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数为(　　)A．45° B．55° C．65° D．75°【答案】B 【解析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可．如图，作EF∥AB∥CD，∴∠2＝∠AEF＝35°，∠1＝∠FEC，∵∠AEC＝90°，∴∠1＝90°﹣35°＝55°7.(2020•广元)如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3＝(　　)A．180° B．360° C．270° D．540°【答案】B【分析】首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．【解析】过点P作PA∥a，∵a∥b，PA∥a，∴a∥b∥PA，∴∠1+∠MPA＝180°，∠3+∠APN＝180°，∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN＝180°+180°＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°．二、填空题8．(2020•南充)如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝　　度．【答案】38．【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．【解析】∵两直线交于点O，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠2＝76°，∴∠1＝38°．9．(2020•杭州)如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝　   　．【答案】20°．【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．【解析】∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝130°，∴∠ABF＝50°，∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°，∴∠A＝20°．10.(2019广西省贵港市)如图，直线，直线与，均相交，若，则　　．【答案】．【解析】知识点是平行线的性质如图，，，，．11.(2019江苏镇江)如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝______．【答案】40°【解析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理，先求出∠ACD的度数是解题的关键．∵△BCD是等边三角形，∴∠B＝∠BCD＝60°．∵∠A＝20°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝100°．∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝40°．∵a∥b，∴∠1＝∠ACD＝40°．【点拨】已知两条直线平行的情况下，求解或者证明其他问题的过程，是利用平行线性质解决问题。 12.(2019湖南益阳)如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝　　  度．【答案】52．【解析】根据平行线的性质解答即可．∵AB∥CD，∴∠OCD＝∠2，∵OA⊥OB，∴∠O＝90°，∵∠1＝∠OCD+∠O＝142°，∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°13．(2019•威海)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝　　   ．【答案】3【解析】延长BC、AD相交于点F，可证△EBC≌△EFC，可得BC＝CF，则CD为△ABF的中位线，故CD＝可求出．如图，延长BC、AD相交于点F，∵CE⊥BC，∴∠BCE＝∠FCE＝90°，∵∠BEC＝∠DEC，CE＝CE，∴△EBC≌△EFC(ASA)，∴BC＝CF，∵AB∥DC，∴AD＝DF，∴DC＝．三、解答题14.如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．(1)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明)．【答案】(1)如图所示：(2)DE∥AC【解析】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．(1)根据角平分线基本作图的作法作图即可；(2)根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDE，再根据同位角相等两直线平行可得结论．14．如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC．   ①∠DAB+∠B=多少度？②AD与BC平行吗？AB与CD平行吗？试说明理由．【答案】见解析。【解析】(1)由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°(2)根据同旁内角互补两直线平行可得AD∥BC，∠ACD不能确定从而不能确定AB与CD平行．①∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，又∠1=30°，∴∠BAD=120°，∵∠B=60°，∴∠DAB+∠B=180°．
②答：AD∥BC，AB与CD不一定平行．理由是：∵∠DAB+∠B=180°∴AD∥BC∵∠ACD不能确定∴AB与CD不一定平行．