2020届二轮（理科数学） 等比数列 专题卷（全国通用）
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1在等比数列{an}中,已知a9=-2,则此数列的前17项之积等于( )
A.216 B.-216 C.217 D.-217
解析∵a1a17=a2a16=…=,∴a1a2…a17=(a9)17=(-2)17=-215.
答案D
2已知在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,a1+a2+a3=21,则a3+a4+a5等于( )
A.33 B.72 C.84 D.189
解析设公比为q,由题意知
解得q=2或q=-3<0(舍去).
∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=82.
答案C
3设a1,a2,a3,a4成等比数列,公比q=2,则等于 ( )
A. B. C. D.1
解析根据等比数列的定义,得.
答案A
4已知数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,则数列{bn}的公比为( )
A. B.4 C.2 D.
答案C
5在等比数列{an}中,已知a1=1,a10=3,则a2a3a4a5a6a7a8a9等于( )
A.81 B.27 C. D.243
解析因为数列{an}是等比数列,且a1=1,a10=3,所以a2a3a4a5a6a7a8a9=(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)=(a1a10)4=34=81.
答案A
6若在之间插入五个正数,使这七个数成等比数列,则插入的五个正数的乘积为 .
解析设插入的五个正数为,a,aq,aq2,aq3,aq是的等比中项,且a,q均为正数,∴(aq)2==34.
∴aq=4.∴(aq)5=7774.故插入的五个正数的乘积为7774.
答案7 776
7设{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3…a30=230,那么a3a6a9…a30= .
解析因为数列{an}中,公比q=2,设a2a5a8…a29=x,
而a1a4a7…a28,a2a5a8…a29,a3a6a9…a30成等比数列,且公比为q10=210,
又a1a2a3…a30=230,即x3=230,解得x=210,
所以a3a6a9…a30=(a2a5a8…a29)·210=220.
答案220
8已知数列{an}为等比数列.若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5= .
解析由a2a4+2a3a5+a4a6=25,
得+2a3a5+=25,
即(a3+a5)2=23.又an>0,故a3+a5=3.
答案5
9已知数列x,2x+2,3x+3,…为等比数列,求这个数列的通项公式.
解由已知,得(2x+2)2=x(3x+3),解这个方程得x=-1或x=-2.
当x=-1时,a1=-1,a2=0,a3=0,不能构成等比数列.
当x=-4时,a1=-4,a2=-6,a3=-9,
∴q=.
∴an=-4·(n∈N+).
综上,数列的通项公式为an=-4·(n∈N+).
★10有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项的和为21,中间两项的和为18,求这四个数.
解方法一:设所求的四个数为,x-d,x,x+d,
根据题意,得
解得
∴所求四个数为3,6,10,18或.
方法二:设前三个数为,x,xq,则第四个数为2xq-x,
由题意,得
解得
故所求的四个数为3,6,10,18或.
方法三:设欲求的四个数为x,y,18-y,21-x,由已知,得
解得
∴所求四数为3,6,10,18或.
★11在公差不为0的等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,a2=b2,a8=b1.
(1)求数列{an}的公差和数列{bn}的公比;
(2)是否存在a,b,使得对于一切自然数n,都有an=logabn+b成立?若存在,求出a,b;若不存在,请说明理由.
解(1)设数列{an}的公差为d(d≠0),数列{bn}的公比为q(q≠0),由a1=b1=1,a2=b2,得1+d=q.
由a8=b3,得1+7d=q2,
解得(舍去)或
即数列{an}的公差为5,数列{bn}的公比为4.
(2)假设存在a,b,使得an=logabn+b成立,即1+(n-1)·5=loga6n-1+b,
∴5n-4=(n-1)loga6+b,
∴(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0.
要使上式对于一切自然数n成立,必须且只需解得
因此,存在a=,b=1使得结论成立.
★10设二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=1.
(1)试用an表示an+1;
(2)求证:当a1≠时,是等比数列;
(3)当a1=时,求数列{an}的通项公式.
分析本题是有关数列、二次方程的根与系数关系的综合题.根据题目条件列出等量关系,找到递推关系即可获解.
(1)解根据根与系数的关系,有关系式
代入题设条件6(α+β)-2αβ=3,得=1.
∴an+1=an+.
(2)证明∵an+1=an+,
∴an+1-.当a1≠时,an-≠0,故数列是以为公比的等比数列.
(3)解当a1=时,a1-.
故数列是首项为a1-,公比为的等比数列,∴an=,n=1,2,3,…,
即数列{an}的通项公式为an=,n=1,2,3,….
