.2.4立体几何复习小结（2）教案 新人教A版必修2
展开课题：4.2必修(2)立体几何复习小结(2)一、复习目标： 1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理． 2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．3．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；4．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。二、例题分析： 例1．正方体ABCD—A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C； (2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形， ∴B1D1∥BD， 又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C， ∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C． 而A1D∩BD＝D， ∴平面A1BD∥平面B1CD． (2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G． 从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF． ∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1． ∴平面EB1D1∥平面FBD． 说明 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．小结：例2．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC． ∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA．∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACα． 否则，若ACα， 由A∈α，M∈α，得B∈α； 由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α， 与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾． 又∵MNα，∴AC∥α， 又AC α，∴AC∥α，即AC∥平面MNP． 同理可证BD∥平面MNP． 例3．四面体中，分别为的中点，且， ，求证：平面 证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴ ，又∴，∴在中， ∴，∴，又，即， ∴平面 例2．如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，（1）求证：；（2）当，时，求的长。（1）证明：取的中点，连结，∵是的中点， ∴，∵ 平面 ，∴ 平面 ∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结 ，∵∴，又，∴ ∴，∴，由三垂线定理得 （2）∵，∴，∴，∵平面.∴，且，∴课后作业：1．在长方体中，经过其对角线的平面分别与棱、相交于两点，则四边形的形状为 ．（平行四边形）2．如图，A，B，C，D四点都在平面，外，它们在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形． 证明：∵ A，B，C，D四点在内的射影A2，B2，C2，D2 在一条直线上， ∴A，B，C，D四点共面． 又A，B，C，D四点在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1． ∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线． ∴AB∥CD，同理AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．3．已知直线a、b和平面M、N，且，那么（ ） （A）∥Mb⊥a （B）b⊥ab∥M （C）N⊥Ma∥N （D） 4．如图，矩形所在的平面，分别是的中点，（1）求证：平面； （2）求证：（3）若，求证：平面 5．如图，已知是由一点引出的不共面的三条射线，，求证： 课后记：
