2021届二轮复习 解三角形的综合问题文 作业（全国通用）

专题过关检测（十二）  解三角形的综合问题1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且8sin2－2cos 2C＝7.(1)求tan C的值；(2)若c＝，sin B＝2sin A，求a，b的值．解：(1)在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，所以＝－，则sin＝cos.由8sin2－2cos 2C＝7，得8cos2－2cos 2C＝7，所以4(1＋cos C)－2(2cos2C－1)＝7，即(2cos C－1)2＝0，所以cos C＝.因为0＜C＜π，所以C＝，于是tan C＝tan＝.(2)由sin B＝2sin A，得b＝2a.①又c＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos，即a2＋b2－ab＝3.②联立①②，解得a＝1，b＝2.2．(2020·济南高三期末)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，所以cos ∠ADB＝ ＝.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC＝sin∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5.3．(2020·长春质监)如图，在△ABC中，AB＝3，∠ABC＝30°，cos∠ACB＝.(1)求AC的长；(2)作CD⊥BC，连接AD，若AD∶CD＝2∶3，求△ACD的面积．解：(1)因为cos∠ACB＝，所以sin∠ACB＝，由正弦定理得AC＝sin∠ABC＝2.(2)因为CD⊥BC，所以∠ACD＝90°－∠ACB，所以cos∠ACD＝sin∠ACB＝.设AD＝2m，则CD＝3m.由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2×AC×CD·cos∠ACD，即4m2＝4＋9m2－2×2×3m×，解得m＝1或m＝.当m＝1时，CD＝3，sin∠ACD＝，S△ACD＝·AC·CDsin∠ACD＝.当m＝时，CD＝，sin∠ACD＝，S△ACD＝·AC·CDsin∠ACD＝.综上，△ACD的面积为或.4．设函数f(x)＝sin x(cos x＋sin x)－.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若f(B)＝1，b＝2，且b(2－cos A)＝a(cos B＋1)，求△ABC的面积．解：(1)由已知得，f(x)＝sin 2x＋－＝sin 2x－cos 2x＝sin.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)因为f(B)＝1，所以sin＝1，因为B是三角形的内角，所以2B－＝，B＝，又因为b(2－cos A)＝a(cos B＋1)，由正弦定理得sin B(2－cos A)＝sin A(cos B＋1)，所以2sin B＝sin A＋sin Acos B＋cos Asin B＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋sin C，所以2b＝a＋c，因为b＝2，B＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－ac⇒b2＝(a＋c)2－3ac⇒ac＝b2＝4.所以S＝acsin B＝×4×sin ＝，故△ABC的面积为.5．(2020届高三·石家庄摸底)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin A＋bsin B＋bsin A＝csin C.(1)求C；(2)若a＝2，b＝2，线段BC的垂直平分线交AB于点D，求CD的长．解：(1)因为asin A＋bsin B＋bsin A＝csin C，所以由正弦定理可得a2＋b2＋ab＝c2.由余弦定理得cos C＝＝－，又0<C<π，所以C＝.(2)由(1)知C＝，根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋(2)2－2×2×2×＝20，所以c＝2.由正弦定理＝，得＝，解得sin B＝，从而cos B＝.设BC的中垂线交BC于点E，因为在Rt△BDE中，cos B＝，所以BD＝＝＝，因为点D在线段BC的中垂线上，所以CD＝BD＝.6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S＝accos B.(1)若c＝2a，求角A，B，C的大小；(2)若a＝2，且≤A≤，求边c的取值范围．解：由已知及三角形面积公式得S＝acsin B＝accos B，化简得sin B＝cos B，即tan B＝，又0<B<π，∴B＝.(1)法一：由c＝2a及正弦定理得，sin C＝2sin A，又∵A＋C＝，∴sin＝2sin A，化简可得tan A＝，而0<A<，∴A＝，C＝.法二：由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－2a2＝3a2，∴b＝a，∴a∶b∶c＝1∶∶2，∴A＝，C＝.(2)由正弦定理得，＝＝，即c＝＝，由C＝－A，得c＝＝＝＝＋1.又由≤A≤，知1≤tan A≤，∴2≤c≤＋1，故边c的取值范围为[2，＋1]．