2021年高考数学一轮复习《集合与函数》精选练习(含答案)

2021年高考数学一轮复习《集合与函数》精选练习一         、选择题1.设P和Q是两个集合，定义集合P－Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x－2|＜1}，那么P－Q=(　 　)A.{x|0＜x＜1}      B.{x|0＜x≤1}    C.{x|1≤x＜2}   D.{x|2≤x＜3} 2.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,7}，B={x|x=log2(a＋1)，a∈A}，则(∁UA)∩(∁UB)=(　 　)A.{1,3}     B.{5,6}       C.{4,5,6}      D.{4,5,6,7} 3.已知集合A={x|x2－x－2＜0}，B={y|y=ex，x＜ln3}，则A∪B=(　 　)A.(－1,3)     B.(－1,0)      C.(0,2)        D.(2,3)4.已知集合A={0}，B={－1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为(　 　)A.1        B.2           C.4        D.8 5.已知集合A={(x，y)|x，y为实数,且x2＋y2=1}，B={(x，y)|x，y为实数,且x＋y=1},则A∩B的元素个数为(     )   A.4         B.3            C.2           D.1 6.已知集合A={x∈N|x2－2x－3≤0}，B={1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B={x|x=x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为(　 　)A.15       B.16         C.20       D.21 7.设平面点集A={(x,y)∣(y-x)(y-x-1)≥0}，B={(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为(　  　)A.π          B.π           C.π          D. 8.设函数f(x)=若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为(　 　)A.[－1,2)      B.[－1,0]      C.[1,2]       D.[1，＋∞) 9.定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2，则函数f(x)=(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于(　 　)A.－1       B.1          C.6         D.12 10.设函数f(x)=则满足f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是(　 　)A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－)∪(，＋∞)C.(－∞，－)∪(2，＋∞)D.(－∞，－1)∪(，＋∞)   11.已知函数f(x)=1－log2x的定义域为[1,4]，则函数y=f(x)·f(x2)的值域是(　 　)A.[0,1]         B.[0,3]      C.        D. 12.若函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是(　 　)A.          B.          C.          D. 13.下列各组函数中，表示同一函数的是(　 　)A.f(x)=elnx，g(x)=xB.f(x)=，g(x)=x－2C.f(x)=，g(x)=sinxD.f(x)=|x|，g(x)= 14.设函数f(x)=若f(x)的最大值不超过1，则实数a的取值范围为(　 　)A.[-1.5,+∞)    B.(-1.5,+∞)    C.[-1.25,0)     D.[-1.5,-1.25] 15.设函数f(x)的定义域为D，若f(x)满足条件：存在[a，b]⊆D(a＜b)，使f(x)在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称为“优美函数”.若函数f(x)=log2(4x＋t)为“优美函数”，则t的取值范围是(　 　)A.(0.25，+∞)      B.(0,1)      C.(0，0.5)       D.(0，0.25) 16.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2e)=－f(x)(其中e=2.718 2…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令a=，b=，c=，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系(用不等号连接)为(　 　)A.f(b)＞f(a)＞f(c)       B.f(b)＞f(c)＞f(a)C.f(a)＞f(b)＞f(c)       D.f(a)＞f(c)＞f(b) 17.已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)=2，则不等式f(log2x)＞2的解集为(　　)A.(2，＋∞)            B.(0，0.5)∪(2，＋∞)C.∪(，＋∞)      D.(，＋∞) 18.已知f(x)=不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是(　 　)A.(－∞，－2)    B.(－∞，0)       C.(0,2)      D.(－2,0)   19.若函数y=在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M－m=(　A　)A.        B.2         C.         D. 20.已知函数f(x)=loga(－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1)，若f(0)＜0，则此函数的单调递增区间是(　 　)A.(－∞，－1]    B.[－1，＋∞)       C.[－1,1)     D.(－3，－1] 二         、填空题21.已知集合U=R，集合M={x|x＋2a≥0}，N={x|log2(x－1)＜1}，若集合M∩(∁UN)={x|x=1或x≥3}，那么a的取值为    　. 22.记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a＜1)的定义域为B.若B⊆A，则实数a的取值范围为            . 23.函数f(x)=＋ln(x＋4)的定义域为             . 24.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)=其中a∈R.若f=f，则f(5a)的值是          . 25.设函数f(x)=g(x)=x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是        .26.设集合M=，N=，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是　  .27.设函数f(x)=＋2 016sinx，x∈的最大值为M，最小值为N，那么M＋N=          . 三         、解答题28.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)＋f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)=1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围.      29.已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.                  30.已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋1，②当x＞0时，f(x)＞－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数.(2)若f(1)=1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4.                        31.已知函数y=f(x)在定义域[－1,1]上既是奇函数，又是减函数.(1)求证：对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)≤0；(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围.             32.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f=f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＞0，f(3)=1.(1)判断f(x)的单调性；(2)解关于x的不等式f(3x＋6)＋f＞2；(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0,3]，a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围.          
答案解析1.2.答案为：B；解析：由log2x＜1，得0＜x＜2，所以P={x|0＜x＜2}；由|x－2|＜1，得1＜x＜3，所以Q={x|1＜x＜3}，由题意，得P－Q={x|0＜x≤1}. 3.答案为：C；解析：A={1,3,7}，B={x|x=log2(a＋1)，a∈A}={1,2,3}，又U={1,2,3,4,5,6,7}，∴∁UA={2,4,5,6}，∁UB={4,5,6,7}，∴(∁UA)∩(∁UB)={4,5,6}. 4.答案为：A；解析：因为A={x|－1＜x＜2}，B={y|0＜y＜3}，所以A∪B=(－1,3). 5.答案为：C；解析：由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1，1}，即符合条件的集合C共有4个，故选C.6.C7.答案为：D；解析：由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A={0,1,2,3}.∵A*B={x|x=x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1=1,0＋3=3,1＋1=2,1＋3=4,2＋1=3(舍去)，2＋3=5,3＋1=4(舍去)，3＋3=6，∴A*B={1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21. 8.答案为：D；解析：不等式(y-x)(y-x-1)≥0可化为或集合B表示圆(x－1)2＋(y－1)2=1上以及圆内部的点所构成的集合，A∩B所表示的平面区域如图所示.曲线y=，圆(x－1)2＋(y－1)2=1均关于直线y=x对称，所以阴影部分占圆面积的一半，即为. 9.答案为：C；解析：函数f(x)=若x＞1，则f(x)=x＋1＞2，易知y=2|x－a|在(a，＋∞)上递增，在(－∞，a)上递减，若a＜1，则f(x)在x=a处取得最小值，不符合题意；若a≥1，则要使f(x)在x=1处取得最小值，只需2a－1≤2，解得a≤2，∴1≤a≤2.综上可得a的取值范围是[1,2]，故选C. 10.答案为：C；解析：由题意知，当－2≤x≤1时，f(x)=x－2；当1＜x≤2时，f(x)=x3－2，又∵y=x－2，y=x3－2在R上都为增函数，且f(x)在x=1处连续，∴f(x)的最大值为f(2)=23－2=6. 11.答案为：C；解析：由题意，x＞0时，f(x)递增，故f(x)＞f(0)=0，又x≤0时，x=0，故若f(x2－2)＞f(x)，则x2－2＞x，且x2－2＞0，解得x＞2或x＜－，故选C. 12.答案为：C；解析：对于y=f(x)·f(x2)，由函数f(x)的定义域是[1,4]，得1≤x≤4，且1≤x2≤4，解得1≤x≤2，故函数y=f(x)·f(x2)的定义域是[1,2]，易得y=f(x)·f(x2)=1－3log2x＋2logx，令t=log2x，则t∈[0,1]，y=1－3t＋2t2=22－，故t=时，y取最小值－；t=0时，y取最大值1，故所求函数的值域是，故选C. 13.答案为：D；解析：∵函数y=的定义域为R，∴mx2＋4mx＋3恒不为0.当m=0时，mx2＋4mx＋3=3满足题意；当m≠0时，Δ=16m2－12m<0，解得0<m<.综上，m的取值范围为. 14.答案为：D；解析：A，B，C的定义域不同，所以答案为D. 15.答案为：A；解析：当x＜a＋1时，f(x)=|x－a|在(－∞，a)上递增，在[a，a＋1)上递减，可得此时f(x)在x=a处取得最大值，且为1；当x≥a＋1时，f(x)=－a－|x＋1|，当a＋1≥－1，即a≥－2时，f(x)递减，由题意得－a－|a＋2|≤1，解得a≥－；当a＋1＜－1，即a＜－2时，f(x)在x=－1处取得最大值，且为－a，由题意得－a≤1，则a∈∅.综上可得a的取值范围是[-1.5,+∞)，故选A. 16.答案为：D；解析：∵函数f(x)=log2(4x＋t)是定义域上的增函数，∴由题意得，若函数为“优美函数”，则f(x)=x有两个不相等的实根，即log2(4x＋t)=x，整理得4x＋t=2x，∴(2x)2－2x＋t=0有两个不相等的实根.∵2x＞0，令λ=2x(λ＞0)，∴λ2－λ＋t=0有两个不相等的正实根，∴解得0＜t＜，即t∈(0，0.25)，故选D.  17.答案为：A；解析：∵f(x)是R上的奇函数，满足f(x＋2e)=－f(x)，∴f(x＋2e)=f(－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x=e对称，∵f(x)在区间[e,2e]上为减函数，∴f(x)在区间[0，e]上为增函数，又易知0＜c＜a＜b＜e，∴f(c)＜f(a)＜f(b)，故选A. 18.解析：f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数所以f(log2x)＞2=f(1)⇔f(|log2x|)＞f(1)⇔|log2x|＞1⇔log2x＞1或log2x＜－1⇔x＞2或0＜x＜0.5. 19.答案为：A；解析：二次函数y=x2－4x＋3图象的对称轴是直线x=2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y=－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x2－2x＋3＜3，∴f(x)在R上单调递减，∴由f(x＋a)＞f(2a－x)得到x＋a＜2a－x，即2x＜a，∴2x＜a在[a，a＋1]上恒成立，∴2(a＋1)＜a，∴a＜－2，∴实数a的取值范围是(－∞，－2)，故选A. 20.答案为：A；解析：可令|x|=t，则1≤t≤4，y=－，易知y=－在[1,4]上递增，∴其最小值为1－1=0；最大值为2－=，则m=0，M=，则M－m=，故选A. 21.答案为：C；解析：令g(x)=－x2－2x＋3，由题意知g(x)＞0，可得－3＜x＜1，故函数的定义域为{x|－3＜x＜1}.根据f(0)=loga3＜0，可得0＜a＜1，则本题即求函数g(x)在(－3,1)内的减区间.利用二次函数的性质可求得函数g(x)在(－3,1)内的减区间为[－1,1)，故选C. 22.答案为：－0.5.；解析：由log2(x－1)＜1，得1＜x＜3，则N=(1,3)，∴∁UN={x|x≤1或x≥3}.又M={x|x＋2a≥0}=[－2a，＋∞)，M∩(∁UN)={x|x=1或x≥3}，∴－2a=1，解得a=－0.5. 23.答案为：(－∞，－2]∪[0.5,1)；解析：由已知得A={x|x＜－1或x≥1}，B={x|(x－a－1)·(x－2a)＜0}，由a＜1得a＋1＞2a，∴B={x|2a＜x＜a＋1}.∵B⊆A，∴a＋1≤－1或2a≥1，∴a≤－2或0.5≤a＜1.∴a的取值范围为a≤－2或0.5≤a＜1. 24.答案为：(－4,1]；解析：要使函数f(x)有意义，需有解得－4＜x≤1，即函数f(x)的定义域为(－4,1]. 25.答案为：－0.4.解析：因为f(x)的周期为2，所以f=f=－＋a，f=f=，即－＋a=，所以a=0.6，故f(5a)=f(3)=f(－1)=－0.4. 26.答案为：[0,1).解析：由题意知g(x)=该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1). 27.答案为：；解析：由已知，可得即0≤m≤；即≤n≤1，当集合M∩N的长度取最小值时，M与N应分别在区间[0,1]的左、右两端.取m的最小值0，n的最大值1，可得M=，N=，所以M∩N=∩=，此时集合M∩N的“长度”的最小值为－=. 28.答案为：4 033.解析：f(x)=＋2 016sinx=＋2 016sinx=2 017－＋2 016sinx.显然该函数在区间上单调递增，故最大值为f，最小值为f，所以M＋N=f＋f=＋=4 034－－=4 034－1=4 033.29.解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)＋f(x2)，∴令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.(2)f(x)为偶函数.证明：令x1=x2=－1，有f(1)=f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)=f(1)=0.令x1=－1，x2=x，有f(－x)=f(－1)＋f(x)，∴f(－x)=f(x)，∴f(x)为偶函数.(3)依题设有f(4×4)=f(4)＋f(4)=2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)＜2等价于f(|x－1|)＜f(16).又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴0＜|x－1|＜16，解之得－15＜x＜17且x≠1，∴x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}. 30.解：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)=－(－x)2＋2(－x)=－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)=－f(x).于是x＜0时，f(x)=x2＋2x=x2＋mx，所以m=2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]. 31.解：(1)令x=y=0得f(0)=－1.证明：在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1.又f(x1)=f((x1－x2)＋x2)=f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以，函数f(x)在R上是单调增函数.(2)由f(1)=1，得f(2)=3，f(3)=5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4得f(x2＋x＋1)＞f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集为{x|x＜－2或x＞1}. 32.解：(1)证明：若x1＋x2=0，显然原不等式成立.若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，因为f(x)在[－1,1]上是减函数且为奇函数，所以f(x1)＞f(－x2)=－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0.所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立.若x1＋x2＞0，则－1≤－x2＜x1≤1，同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立.综上所述，对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)≤0恒成立.(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)=f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1,1]上是减函数，得即解得0≤a＜1.故所求实数a的取值范围是[0,1). 33.解：(1)设x1＞x2＞0，则＞1，∵当x＞1时，f(x)＞0，∴f(x1)－f(x2)=f＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.(2)在f(x1)－f(x2)=f中，令x1=9，x2=3，∴f(9)－f(3)=f(3).又f(3)=1，∴f(9)=2.∴不等式f(3x＋6)＋f＞2，可转化为f(3x＋6)＋f＞f(9)，∴f(3x＋6)＞f(9)－f=f(9x)，由函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，可得3x＋6＞9x＞0，∴0＜x＜1，∴原不等式的解集为(0,1).(3)∵函数f(x)在(0,3]上是增函数，∴f(x)在(0,3]上的最大值为f(3)=1，∴不等式f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0,3]，a∈[－1，1]恒成立转化为1≤m2－2am＋1对所有a∈[－1,1]恒成立，即m2－2am≥0对所有a∈[－1,1]恒成立.设g(a)=－2ma＋m2，∴需满足即解该不等式组，得m≤－2或m≥2或m=0，即实数m的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).