西藏昌都市第一高级中学2021届高三上学期期末考试 理科数学 (含答案)
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理科数学
本试卷5页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则( B )
- 复数的共轭复数是（ C ）
- 已知一个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为半径的同样的圆，则这个几何体的体积、表面积分别为（ D ）
， ， ， ,
- 已知等差数列满足，，则它的前项和a10等于（ C ）
- 若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为( A )
- 已知函数则的值为（A ）
- 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的等于（A ）
8.设公比为的等比数列的前项和为,若，，则等于( D)
9. 函数f(x)＝的图象大致为( A )
- 设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是( D )
答案 D
解析 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立坐标系，
则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，
＝(2,0,0)，＝(2,2,0)，＝(2,0,2)，
设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)，
则
∴令z＝1，得n＝(－1,1,1)．
∴D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.
- 抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为( C )
答案 C
解析 过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，
由题意知|MN|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)，
在△AFB中，|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|·cos 120°
＝|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|，
∴＝·
＝
＝≤×＝，
当且仅当|AF|＝|BF|时取等号，∴的最大值为.
- 若是函数的极值点，则的极小值为( )
答案 B
解析 函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，
则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1
＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．
由x＝－2是函数f(x)的极值点，得
f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，
所以a＝－1.
所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．
由ex－1＞0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且当x＜－2时，f′(x)＞0；
当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；
当x＞1时，f′(x)＞0.
所以x＝1是函数f(x)的极小值点．
所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.
故选B.
第II卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
- 若的二项式系数之和为，则展开式中的常数项为_240________;
- 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为________．
- 函数的零点个数为____1_________;
- 若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为_____.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
- (本小题满分12分)已知，且.
(1) 将表示为的函数，并求的单调递增区间；
(2) 已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的面积.
- (本小题满分12分）《流浪地球》是由刘慈欣的科幻小说改编的电影，在2019年春节档上影，该片上影标志着中国电影科幻元年的到来；为了振救地球，延续百代子孙生存的希望,无数的人前仆后继，奋不顾身的精神激荡人心，催人奋进.某网络调查机构调查了大量观众的评分，得到如下统计表：
评分 | ||||||||||
频率 |
⑴求观众评分的平均数？
⑵视频率为概率，若在评分大于等于分的观众中随机地抽取人，他的评分恰好是分的概率是多少？
⑶视频率为概率，在评分大于等于分的观众中随机地抽取4人，用表示评分为分的人数解：⑴设观众评分的平均数为，则
（分）； ………………………………3分
⑵①设表示事件：“位观众评分不小于分”，表示事件：“位观众评分是分”， …………………………………6分
②由题知服从，
………………………………………9分
分布列：
……………………………………12分
，求的分布列及数学期望.
- (本小题满分12分)如图, 分别是圆柱的上、下底面圆的直径, 是边长为的正方形,是底面圆周上不同于两点 的一点, .
(1)求证: 平面；
(2)求二面角的余弦值.
- (本小题满分12分)已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明:两点的横坐标之和为常数.
解：(1）因为椭圆经过点，所以；又因为，所以；又，解得，所以椭圆的方程为． ……4分
（2）设三点坐标分别为,,，
设直线斜率分别为，则直线方程为，
由方程组消去，得，
由根与系数关系可得
故，
同理可得 又，
故，
则，从而.
即两点的横坐标之和为常数. ………………………………12分
- (本小题满分12分)已知函数（其中）.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.选修4—4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆的参数方程为（为参数），点的极坐标为.（1）求圆的极坐标方程；
（2）若直线过点，且与圆交于两点，当弦的长度最小时，求直线直角坐标方程.
23.选修4—5：不等式选讲
已知为正实数，且.
(1)求证：；
(2)若都小于，求的取值范围．
(1)证明 ∵a＋b＋c＝2，
∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝4，
∴2a2＋2b2＋2c2＋4ab＋4bc＋4ca＝8，
∴8＝2a2＋2b2＋2c2＋4ab＋4bc＋4ca≥6ab＋6bc＋6ac，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴ab＋bc＋ac≤.
(2)解 由题意可知，a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝4，
∴4≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2＝3(a2＋b2＋c2)，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴a2＋b2＋c2≥.
∵0<a<1，∴a>a2.同理b>b2，c>c2.
∴a2＋b2＋c2<a＋b＋c＝2，
∴≤a2＋b2＋c2<2，
∴a2＋b2＋c2的取值范围为.
