河南省新乡市第一中学2021届高三一轮复习模拟考试（一）（含答案）

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模拟考试（一）（理）试卷

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得，所以，故．

2．已知复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，故．

3．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，

即，所以．

4．执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】执行程序框图，；；；

，此时退出循环，故输出的的值是．

5．年月日，第六届世界互联网大会发布项“世界互联网领先科技成果”，有项成果属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏”清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端芯片“思元”赛灵思“自适应计算加速平台”．若从这项“世界互联网领先科技成果”中任选项，则至少有一项属于“芯片领域”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知得，这项“世界互联网领先科技成果”中有项成果属于芯片领域．

记“从这项‘世界互联网领先科技成果’中任选项，至少有一项属于‘芯片领域’”为事件，则为“选出的项都不属于‘芯片领域’”，

因为，所以．

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题可得，

且其定义域为，，

所以函数为偶函数，故排除C，D选项；

又当时，，，所以，故排除A选项，

综上，选B．

7．椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，若，均是线段的三等分点，的周长为，则椭圆的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由椭圆的定义知，

则的周长为，

所以，所以椭圆的方程为．

不妨设点在第一象限，则由，均是线段的三等分点，得是线段的中点，

又，所以点的横坐标为，由，得，

所以，所以，．

把点的坐标代入椭圆方程得，即，

化简得，

又，所以，解得，所以，

所以椭圆的标准方程为．

8．甲、乙两家企业年至月份的月收入情况如图所示，下列说法中不正确的是（    ）

A．甲企业的月收入比乙企业的收入高

B．甲、乙两家企业月收入相差最多的是月份

C．甲、乙两家企业月收入差距的平均值为万元

D．月份与月份相比，甲企业的月收入增长率比乙企业的月收入增长率低

【答案】C

【解析】A项，由图可知，甲企业的月收入比乙企业的月收入高，所以该选项正确；

B项，由图可知，甲、乙两家企业的月收入差距如下表所示：

则甲、乙两家企业月收入相差最多的是月份，为万元，故该选项正确；

C项，由上表可知，甲、乙两家企业月收入差距的平均值为

（万元），故该选项不正确；

D项，月份与月份相比，甲企业与乙企业的月收入都增加了万元，

但甲企业月份的收入为万元，乙企业月份的收入为万元，

所以甲企业月收入的增长率比乙企业月收入的增长率低，故该选项正确．

9．若满足约束条件，的最大值为，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．

可化为，作出直线，平移该直线，

当平移后的直线经过可行域内的点时，取得最大值，

把代入，得．

10．已知，则下列不等式中不正确的是（    ）

A．   B．

C．  D．

【答案】C

【解析】选项A，因为，所以由不等式的性质可得，，所以，故该选项正确；

选项B，因为，函数在上单调递增，所以，

所以，故该选项正确；

选项C，因为，函数在上单调递减，所以，易知，

所以，故该选项不正确；

选项D，因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，且，

所以，且，由不等式的性质可得，故该选项正确．

11．已知直三棱柱的底面为正三角形，，是侧面的中心，球与该三棱柱的所有面均相切，则直线截球的弦长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为球与直三棱柱的所有面均相切且直三棱柱的底面为正三角形，所以球心为该直三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点．

设底面三角形的重心为，是的中点，连接，，，，

则底面，因为是侧面的中心，所以四边形为正方形．

设球的半径为，则结合，可得，

连接，易得，，

所以，故所求弦长为．

12．已知函数的图象经过点，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（    ）

A．    B． 

C．   D．

【答案】B

【解析】由已知得，即，解得，

故，所以，

易知函数的零点个数，

即的图象与直线的交点个数，

所以设，则．

记，显然为该函数的一个零点，即，

又恒成立，故函数在上单调递增，

所以函数在上只有一个零点．

当时，，即，所以函数单调递减；

当时，，即，所以函数单调递增，

所以的最小值为．

如图，作出函数的图象以及直线，

因为函数的图象与直线有四个不同的交点，

所以数形结合可知，解得．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若二项式的展开式中的常数项为，则       ．

【答案】

【解析】二项展开式的通项公式为，

令，解得，故，

所以，故，

又，所以．

14．如图所示的扇形的半径为，，是圆弧上一点，且满足，与交于点，则        ．

【答案】

【解析】由，，

得，

所以，，，

因为，，所以，

所以，，，

所以．

15．双曲线的左、右焦点分别是，，点是双曲线左支上一点，，直线交双曲线的另一支与点，，则双曲线的离心率是       ．

【答案】

【解析】如图，设，由，得，

又，所以，

所以，根据，得，

所以，

又，所以，，

所以，，

在直角三角形中，，

则，所以．

16．在数列中，，，且当时，，若是数列的前项和，，则当为整数时，      ．

【答案】

【解析】当时，由，得，

又，所以数列从第二项起是首项为，公比为的等比数列，

则，，所以．

当时，，，不符合题意，

因为时，，

所以当时，

，

则，

因为是整数，所以是的因数，所以为，，或，

易知当且仅当时，是整数，此时，．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知的三个内角，，对应的边分别为，，，

．

（1）求角的大小；

（2）如图，设为内一点，，，且，求的最大值．

【解】（1）∵，

∴，

∴，

∴，

∴，易知，∴，

又，∴．

（2）由（1）与，得，

在中，由余弦定理，

得，

又在中，

，

∴，所以的最大值为．

18．（12分）如图，在四棱柱中，平面平面，，，，，．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【解】（1）易知四边形为直角梯形，

则由，，得，

又，，所以，即，

又平面平面，平面，

所以平面，所以，

又，，所以平面．

（2）由（1）知平面，所以平面，

又，故以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

如图所示，则，，，，

故，，．

设平面的法向量为，平面的法向量为，

由，得，

令，则，，故；

由，得，

令，则，，故，

于是，

易知二面角是锐二面角，故二面角的余弦值等于．

19．（12分）已知点，抛物线上存在一点，且直线的斜率最大，最大值为．

（1）求点的坐标及的值；

（2）若直线交抛物线于点，，且直线与都是圆的切线，求直线的方程．

【解】（1）设点，则，

易知，，

当且仅当，即时，直线的斜率最大，最大为，

所以，，所以，，所以．

（2）由（1）知抛物线方程为，可化为，

故圆的圆心坐标为，，

设过点的圆的切线方程为，即，

则，得，所以，

不妨设的方程为，代入，

消去，得．

设，则，，

同理，设，则，

所以，，

所以直线的的斜率，

所以直线的方程为，即，即，

故直线的方程为．

20．（12分）已知函数有两个不同的零点，．

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：．

【解】（1）因为，

所以，

令，得；令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

要使函数有两个不同的零点，必须满足，所以．

若，注意到，

所以函数在上有且只有一个零点；

，

令，，则，

所以在上单调递增，所以，

从而，所以函数在上有且只有一个零点，

综上所述，实数的取值范围为．

（2）由（1）知，不妨设，

令，则，

所以在上单调递减．

由于，所以，即，所以．

注意到，所以，

又，，在上单调递减，

所以，所以．

21．（12分）年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻月日至日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为千克，第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条年产量为万件的产品生产线，该种产品以第三代杂交水稻为原料，已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准，等级划分如下表：

为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了件产品，测量了每件产品的指标值，得到如图所示的频率分布直方图，将频率视为概率．

（1）若从指标值不低于的产品中利用分层抽样的方法抽取件，然后从这件产品中任取件进行进一步分析，求这件产品中指标值的件数的分布列及数学期望；

（2）从试生产的所有产品中有放回地随机抽取件，记“抽出的件产品中至少有件是合格及以上等级”为事件，求事件发生的概率．

（3）若每件产品的质量指标值与利润（元）的关系如下表所示（）：

试估计的值，使得该企业该生产线的年盈利最大，并求出最大年盈利．（参考数据：，，）

【解】（1）由频率分布直方图可知，这件产品中，的频率为；的频率为；的频率为，

故利用分层抽样的方法抽取件产品，的有件，的有件，的有件．

易知的所有可能取值为，，，

，，，

所以的分布列为

．

（2）设“从试生产的所有产品中随机抽取一件，恰为合格及以上等级”的概率为，

则根据频率分布直方图可得，

则．

（3）由题意可得每件产品的质量指标值、利润（元）与概率的关系如下表所示（）：

故每件产品的平均利润

，，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以当时，取得最大值，

最大值为，

所以生产该种产品能够实现盈利，且当时，每件产品的平均利润取得最大值，为元，

又该企业该生产线的年产量为万件，

所以该生产线的年盈利的最大值为（万元）．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的方程为，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的普通方程和直线的极坐标方程；

（2）已知射线与曲线和直线分别交于和两点，求线段的长．

【解】（1）由(为参数)得曲线的普通方程为．

由直线的方程为，

得极坐标方程为，即．

（2）曲线的极坐标方程是，

把代入曲线的极坐标方程得，解之得或(舍)．

把代入直线的极坐标方程得，所以．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知关于的不等式的解集为，其中．

（1）求的值；

（2）若正数．满足，求证：．

【解】（1）由，得或，

化简得或，

由于，所以不等式组的解集为，

由题设可得，故．

（2）由（1）可知，，

又由均值不等式有，，，

三式相加可得，

所以．