2021届河南省新乡市高三理数第二次模拟考试试卷及答案

这是一份2021届河南省新乡市高三理数第二次模拟考试试卷及答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数第二次模拟考试试卷
一、单项选择题
1. ，那么 的虚部是〔    〕
A.                                           B.                                           C. 1                                          D. -1
2.定义集合 ，集合 ， ，那么 〔    〕
A.               B.               C.               D. 
3.将函数f(x)=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的 (ω>0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，假设函数g(x)的最小正周期为6π，那么〔    〕
A. ω=                                    B. ω=6                                   C. ω=                                    D. ω=3
4.在 中， ， 为 边的中点，那么〔    〕
A.                     B.                     C.                     D. 
5.某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假设他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为 ，那么该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
6.执行如下列图的程序框图，假设输入的 ，那么输出的 〔    〕

A.                                        B.                                        C.                                        D. 
7. 是抛物线 上一点，且 到焦点 的距离与 到直线 的距离之和为7，那么 〔    〕
A. 4                                          B. 5                                          C. 6                                          
8.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，那么该塔群最下面三层的塔数之和为〔    〕

A. 39                                         B. 45                                         C. 48                                         D. 51
9. 的图象关于坐标原点对称，且对任意的 ， 恒成立，当 时， ，那么 〔    〕
A. -1                                         B.                                          C.                                          D. 1
10.设 ， 均为锐角，且 ，那么 的最大值是〔    〕
A.                                         B.                                         C. 6                                        D. 
11.函数 的图象过点 ，且 对 恒成立，假设关于 的方程 有3个不同的实数根，那么 的取值范围是〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 
12.正四面体 的棱长为1，点 是该正四面体内切球球面上的动点，当 取得最小值时，点 到 的距离为〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 
二、填空题
13.在二项式 的展开式中， 的系数为________.
14.如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，假设该几何体的体积为60，那么该几何体的外表积为________．

15.双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 ，那么 的角平分线所在直线的斜率为________．
16.数列 满足 ， ，现有如下四个结论：
① 是单调递增数列；
② ， ；
③ ；
④数列 的前 项和为 .
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题
17.， ， 分别为锐角 内角A， ， 的对边. .
〔1〕求 ；
〔2〕假设 ，试问 的值是否可能为5?假设可能，求 的周长；假设不可能，请说明理由.
18.某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了120个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率 的频数分布表.
y的分组





企业数
30
24
40
16
10
〔1〕估计这些企业中产值负增长的企业比例〔用百分数表示〕；
〔2〕估计这120个企业产值增长率的平均数〔同一组中的数据用该组区间的中点值代表〕；
〔3〕以表中 的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做采访调查.假设采访的企业的增长率 ，那么采访价值为1；采访的企业的增长率 ，那么采访价值为2；采访的企业的增长率 ，那么采访价值为3.设选取的两个企业的采访价值之和为 ，求 的分布列及数学期望.
19.在三棱柱 中， ， ， ， ， .

〔1〕证明： 平面 ；
〔2〕假设 ，求二面角 的余弦值.
20.函数 ．
〔1〕假设曲线 在 处的切线与 轴垂直，求 的单调区间；
〔2〕假设对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值集合．
21.椭圆 的左、右顶点分别为 ， ， 为 上不同于 ， 的动点，直线 ， 的斜率 ， 满足 ， 的最小值为-4.
〔1〕求 的方程；
〔2〕为坐标原点，过 的两条直线 ， 满足 ， ，且 ， 分别交 于 ， 和 ， .试判断四边形 的面积是否为定值?假设是，求出该定值；假设不是，说明理由.
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 〔 为参数〕，直线 ．以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
〔1〕写出曲线 的普通方程及直线 的极坐标方程；
〔2〕直线 与曲线 和直线 分别交于 ， 〔 ， 均异于点 〕两点，求 的取值范围．
23.函数 ．
〔1〕求不等式 的解集；
〔2〕记 的最小值为 ，假设关于 的不等式 有解，求 的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ， ，
的虚部为-1.
故答案为：D.

【分析】 利用复数的除法的运算性质求出z，即可求出共轭复数的虚部 。
2.【解析】【解答】由不等式 ，解得 ，即 ，
又由 ，假设 ，可得 ，
所以 ．
故答案为：C.

【分析】 先把集合A中的一元二次不等式解出来，根据定义集合意义即可得出答案．
3.【解析】【解答】由题意可知 ，由 ，解得
故答案为：A

【分析】根据图像的坐标变换求出解析式，再根据正弦函数的周期公式即可得出答案。
4.【解析】【解答】因为 为 边的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，
那么 ．
故答案为：C

【分析】 由于D为BC边的中点，可得，结合即可求解向量的关系式．
5.【解析】【解答】4次均不是绿灯的概率为 ，
3次不是绿灯的概率为 ，
∴至少遇到2次绿灯的概率为 .
故答案为：D.

【分析】 由n次独立事件中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率．
6.【解析】【解答】由程序的执行逻辑知：输入 ，
⒈ ：得 ， ，执行循环体；
⒉ ， ：得 ， ，执行循环体；
⒊ ， ：得 ， ，执行循环体；
⒋ ， ：得 ， ，执行循环体；
…
⒑ ， ：得 ， ，跳出循环体．
输出 ．
故答案为：B.

【分析】 根据条件确定跳出循环的n值，利用裂项相消法计算输出X的值．
7.【解析】【解答】设 的横坐标为 ，因为 到焦点 的距离与 到直线 的距离之和为7，
所以 ，解得 ，从而 .
故答案为：C.

【分析】 利用抛物线的性质，判定P的位置，然后求解即可．
8.【解析】【解答】设该数列为 ，依题意可知， ， ，…成等差数列，且公差为2， ，
设塔群共有 层，那么 ，解得 ．
故最下面三层的塔数之和为 ．
故答案为：D.

【分析】 设该数列为{an}，由题意得，， ，…成等差数列，公差d=2，a5=5，然后结合等差数列的求和公式可求n，进而可求．
9.【解析】【解答】∵ 是 上的奇函数，且 ，
∴ ，即 ，故函数 的周期为4．
∴ ．
故答案为：B.

【分析】 根据题意，由奇函数的定义可得y=f〔x〕是奇函数，那么有f〔-x〕=-f〔x〕，由此可得f〔x+4〕=-f〔x+2〕=f〔x〕，那么f〔x〕是周期为4的周期函数，进而可得f〔2021〕=f〔1〕=-f〔-1〕，结合函数的解析式计算可得答案．
10.【解析】【解答】由题意， ，得 ，即 ，
∴由 为锐角， ，当且仅当 ，即 时等号成立．
故 的最大值是 ．
故答案为：B.

【分析】 由利用三角函数恒等变换的应用可求tanα=2sinβcosβ，进而根据根本不等式即可求解．
11.【解析】【解答】由 ，可得 ，
即 ，那么 ，即 .
因为 ，所以 ，故 .
因为 ，
所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
所以 的极大值为 ，极小值为 ，
且当 时， ，当 时， .
因为关于 的方程 有3个不同的实数根，
所以 的图象与直线 有三个不同的交点，
那么 ，即 .
故答案为：C.

【分析】 把等式变形，可得，那么，由，求得m=-1，那么，利用导数求其极值，数形结合即可求得满足条件的a的范围．
12.【解析】【解答】因为四面体 是棱长为1的正四面体，
所以其体积为 .
设正四面体 内切球的半径为 ，
那么 ，得 .
如图，取 的中点为 ，

那么
.
显然，当 的长度最小时， 取得最小值.
设正四面体内切球的球心为 ，可求得 .
因为球心 到点 的距离 ，
所以球 上的点 到点 的最小距离为 ，
即当 取得最小值时，点 到 的距离为 .
故答案为：A.

【分析】 由题意画出图形，利用等体积法求出四棱锥内切球的半径，取AD的中点为E，可知当   取得最小值时，P到E的距离最小，再求出球心O到E的距离，减去球的半径得答案．
二、填空题
13.【解析】【解答】可得二项式的展开式的通项为 .
令 ，解得 ，所以 的系数为 .
故答案为：189.

【分析】 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于9，求出r的值，即可求得含x9的系数．
14.【解析】【解答】设正四棱柱的底面边长为 ，那么 ，解得 ，那么该几何体的外表积为 ．
故答案为：110.

【分析】 设出正四棱柱的底面边长，利用几何体的体积，求解边长，然后求解外表积即可．
15.【解析】【解答】由题意知， 的半焦距 ， ， ，
故 ， ．
设 的角平分线与 轴交于 ，

由角平分线定理可知 ，故 ，解得 ，即
故 的角平分线所在直线的斜率 ．
故答案为：1.

【分析】 由题意可得左右焦点的坐标，进而求出直线MF1 ， MF2的方程，设角平分线与x轴的交点T的坐标，由角平分线的性质，可得T的横坐标，进而求出角平分线的所在直线的斜率．
16.【解析】【解答】因为 ，所以 ，
又 ，所以 是首项为1，公比为2的等比数列，
那么 ，即 ，那么 是单调递增数列，故①正确；
且 ，故③正确；
假设 ， ，那么 ，此方程无整数解，那么②不正确.
因为 ，所以数列 的前 项和为

.
故所有正确结论的序号是①③④.
故答案为：①③④.

【分析】 直接利用条件对关系式进行恒等变换，进一步求出数列的通项公式，最后利用分组法求出数列的和，进一步判断①②③④的结论．
三、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕利用正弦定理将等式的角化边，再结合余弦定理，即可得解；
〔2〕利用〔1〕中的结论求得a2=19，再由余弦定理推出cosB＜0，与锐角△ABC相矛盾，得解．
 
18.【解析】【分析】 〔1〕根据频数分布表计算即可；
〔2〕根据平均值的计算公式代入数据计算即可；
〔3〕先求出各个对应的概率，然后求出X的可能取值，由此求出对应的概率，进而可以求解．
 
 
19.【解析】【分析】 〔1〕根据直线与平面垂直的判定定理证明；
〔2〕用向量数量积计算二面角余弦值．
20.【解析】【分析】 〔1〕求导得 ， 由导数的几何意义可得k切=f′〔1〕=-2〔e-a〕=0，解得a=e，那么得   ，进而可得单调性；
〔2〕求导得   分三种情况：①当a＜0时，②当a=0时，③当a＞0时，讨论函数单调性值域，得存在x0∈〔0，+∞〕，使得 ，问题转化为[f〔x〕+1]max≤0，即可得出答案．
21.【解析】【分析】 〔1〕 设  ，那么  ， 化简得 ， 再由数量积公式计算   ， 可得方程组   ，解得a2 ， b2 ， 进而可得答案；
〔2〕根据椭圆的对称性，可知OM=ON，OP=OQ，推出SMPNQ=4S△OMP ， 设  ，  的斜率分别为  ，  ，  ，  ，那么  ①，  ②，由  ，  ，
得  ，分两种情况当直线MP的斜率不存在时，当直线MP的斜率存在时，SMPNQ=4S△OMP ， 进而可得答案．
22.【解析】【分析】〔1〕 直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
〔2〕利用极径的应用和三角函数的关系式的变换的应用求出结果.
 
 
23.【解析】【分析】 〔1〕由零点分区间和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；
〔2〕由绝对值不等式的性质和绝对值的几何意义，求得f〔x〕的最小值M，再由不等式有解的条件和绝对值的性质求得最值，解不等式可得所求范围．