第18讲 利用导数研究函数的单调性-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第18讲：利用导数研究函数的单调性
一、 课程标准
1、结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；
2、能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
二、 基础知识回顾
1. 利用导数研究函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)≥0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2. 判定函数单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)0，即x2＋2x－30，解得02恒成立，则a的取值范围为(　　)
A.(0，1] B.(1，＋∞)
C.(0，1) D.[1，＋∞)
【答案】D
【解析】对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有>2恒成立，则当x>0时，f′(x)≥2恒成立，f′(x)＝＋x≥2在(0，＋∞)上恒成立，则a≥(2x－x2)max＝1.
5、定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是　　

A．是的一个极小值点
B．和都是的极大值点
C．的单调递增区间是
D．的单调递减区间是
【答案】．
【解析】当时，，单调递减；当时，，单调递增，是的极小值，故选项正确；
由图可知，当时，，的递增区间为，故选项正确；
由图可知，当时，，的递减区间为，故选项正确；
又在和两侧同号，，不是的极值点，故选项错误；
6、函数f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为________．
【答案】(0,4)
【解析】：f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，
由f′(x)h(2)＝3，
∴实数a的取值范围为a≤3；
②由题意得g′(x)＝x2－ax＋21，则00；
当x∈(1，＋∞)时，g(x)0，所以函数y＝f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增．又由分析知函数y＝f(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3,0)，(0,0)，(3,0)．数形结合可求得不等式f(x)g(x)0(或0(或k(或0(或0(或0(或0(或x2，则下列不等式在R上恒成立的是(　　)
A．f(x)>0　　　　　　　 B．f(x)x D．f(x)－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)0时，g′(x)>0，∴g(x)>g(0)，
即x2f(x)－x4>0，从而f(x)>x2>0；
当x0，从而f(x)>x2>0；
当x＝0时，由题意可得2f(0)>0，∴f(0)>0.
综上可知，f(x)>0.
法二：∵2f(x)＋xf′(x)>x2，
∴令x＝0，则f(0)>0，故可排除B、D，
不妨令f(x)＝x2＋0.1，则已知条件2f(x)＋xf′(x)>x2成立，但f(x)>x不一定成立，故C也是错误的，故选A.
(2)∵f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，
∴xf′(x)＋2f(x)>0.
∵g(x)＝x2f(x)，
∴g(x)也是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0.
∵g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴g(x)在(－∞，0)递减．
若g(x)