【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试24 相似形（培优提高）（教师版）

专题24  相似形（专题测试-提高）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、        选择题（共12小题，每小题4分，共48分）

1．（2019·河南中考模拟）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（　　）

A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：11

【答案】C

【解析】

解：∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，∴DO=BO．又∵E为OD的中点，∴DE=DB，∴DE：EB=1：3．又∵AB∥DC，∴△DFE∽△BAE，∴，∴S△DEF=S△BAE．∵，∴S△AOB=S△BAE，∴S△DEF：S△AOB=S△BAE：S△BAE=1：6．故选C．

2．（2019·山东中考模拟）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　）

A．1 B． C．-1 D．+1

【答案】C

【详解】∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∵S△ADE=S四边形BCED，S△ABC=S△ADE+S四边形BCED，

∴，

∴，

故选C．

3．（2018·山东中考模拟）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（　　）

A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③

【答案】D

【详解】

∵在▱ABCD中，AO=AC，

∵点E是OA的中点，

∴AE=CE，

∵AD∥BC，

∴△AFE∽△CBE，

∴=，

∵AD=BC，

∴AF=AD，

∴；故①正确；

∵S△AEF=4， =（）2=，

∴S△BCE=36；故②正确；

∵ =，

∴=，

∴S△ABE=12，故③正确；

∵BF不平行于CD，

∴△AEF与△ADC只有一个角相等，

∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，故选D．

4．（2018·辽宁中考模拟）如图，已知点A，B分别是反比例函数y=（x＜0），y=（x＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO=，则k的值为（　　）

A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4

【答案】D

【详解】

解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，

∴∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠OBD+∠BOD=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠OBD=∠AOC，
∴△OBD∽△AOC，
又∵∠AOB=90°，tan∠BAO= ，
∴=，
∴ = ，即 ，
解得k=±4，
又∵k＜0，
∴k=-4，
故选：D．

5．（2019·内蒙古中考模拟）在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH 垂直平分AC，点 H 为垂足，设 AB＝x，AD＝y，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为 (     )

A． B． 

C． D．

【答案】D

【详解】

因为DH垂直平分AC，∴DA=DC，AH=HC=2，

∴∠DAC=∠DCH，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，

∴∠DAN=∠BAC,∵∠DHA=∠B=90°，

∴△DAH∽△CAB，∴，

∴ ，∴y=，

∵AB<AC，∴x<4，

∴图象是D.  

故选D.

6．（2019·陕西中考模拟）如图，在中，点D，E分别为AB，AC边上的点，且，CD、BE相较于点O，连接AO并延长交DE于点G，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

A.∵，

∴ ,故不正确；

B. ∵，

∴ ,故不正确；

C. ∵，

∴∽，∽,

， ．

，故正确；

D. ∵，

∴ ,故不正确；

故选C．

7．（2018·四川成都外国语学校中考模拟）如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=4：9，则AE：EC为（　　）

A．2：1 B．2：3 C．4：9 D．5：4

【答案】A

【解析】

试题解析：∵ED∥BC，

故选A.

8．（2019·湖北中考真题）如图，在平行四边形中，为的中点，，交于点，若随机向平行四边形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC//AD，BC=AD，

∴△BOE∽△DOA，

∴

又∵为的中点，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴米粒落在图中阴影部分的概率为，

故选B．

9．（2018·浙江中考模拟）如图，已知矩形ABCD，AB=4，AD=2，E为AB的中点，连接DE与AC交于点F，则CF的长等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=4，AD=BC=2，∠B=90°，

∴AC=，

∵AE=EB=AB，AE∥CD，

∴△AEF∽△CDF，

∴，

∴AF=AC=．

∴CF=2AF=，

故选：B．

10．（2019·江西中考模拟）如图，▱ABCD中，∠C=120°，AB=AE=5，AE与BD交于点F，AF=2EF，则BC的长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】C

【详解】

在▱ABCD中，∠C=120°，

∴∠ABC=60°，

∵AB=AE，

∴△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=5，

∵AD∥BC，

∴=2，

∴BC=10，

故选：C．

11．（2018·安徽中考模拟）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

∵AB、CD、EF都与BD垂直，

∴AB∥CD∥EF，

∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD，

∴= ,=，

∴+=+==1.

∵AB=1，CD=3，

∴+=1，

∴EF=.

故选C.

12．（2019·辽宁中考真题）如图，在中，，，则的值是（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【详解】

∵，

∴，

∴，

∴，

故选：A．

二、        填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

13．（2018·湖北中考真题）如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为_____．

【答案】

【详解】设AB=a，AD=b，则ab=32，

由∽可得：，

∴，

∴，

∴，，

设PA交BD于O，

在中，，

∴，

∴，

故答案为：．

14．（2017·吉林中考模拟）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从A点出发，以1cm/s的速度，沿A﹣C﹣B向B点运动，同时，动点Q从C点出发，以2cm/s的速度，沿C﹣B﹣A向A点运动，当其中一点运动到终点时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t=_____秒时，△PCQ的面积等于8cm2．

【答案】2或4或

【解析】

设经过t秒钟，△PCQ的面积等于8．

①当0＜t≤4时，P在AC上，Q在BC上，则PC=6-t，CQ=2t．

∴△PCQ的面积= PC•CQ= ，解得：t=2或t=4．

②当4＜t≤6时，P在AC上，Q在AB上，如图，∵AC=6，BC=8，∴AC=10．过Q作QH⊥AC于H，则PC=6-t，BQ=2t-8，AQ=18-2t．∵QH∥BC，∴ ，∴ ，解得：QH=0.8（18-2t），∴△PCQ的面积=PC•QH=，解得：t=4或t=11．∵4＜t≤6，故两个答案都舍去．

③当6＜t≤8时， P在BC上，Q在AB上，如图，∵AC=6，BC=8，∴AC=10．过Q作QH⊥BC于H，则PC=t-6，BQ=2t-8，AQ=18-2t．∵QH∥AC，∴ ，∴ ，解得：QH=0.6（2t-8），∴△PCQ的面积=PC•QH=，解得：t= 或t=.∵6＜t≤8，故t=．

故答案为2或4或．

15．（2018·江苏中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点B在x轴上，且B（﹣，0），A点的横坐标是1，AB=3BC，双曲线y=（m＞0）经过A点，双曲线y=﹣经过C点，则m的值为____．

【答案】

【详解】过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，

∵A点的横坐标是1，且在双曲线y═（m＞0）上，

∴A（1，4m），

∵B（﹣，0），∴BE=，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBF=∠CBF+∠FCB=90°，

∴∠ABE=∠FCB，

∴△ABE∽△BCF，

∴==3，

∴CF=，BF=，

∴C（--，），

∵双曲线y=﹣经过C点，

∴（--）=-2m，

∴m=，

故答案为：.

16．（2018·辽宁中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF=2，那么线段BF的长度为__．

【答案】4．

【解析】

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△DEF∽△BCF，

∴，

∵点E为AD中点，

∴DE=AD，

∴DE=BC，

∴，

∴BF=2DF=4．

故答案为4．

17．（2019·江苏中考模拟）如图，在▱ABCD中，点E在BC上，AE、BD相交于点F，若BE：EC＝1：2，则△BEF与四边形FECD的面积比等于_____．

【答案】1：11

【详解】

解：设△BEF的面积为S．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴，△BEF∽△DAF，

∵BE：EC＝1：2，

∴BE：BC＝BE：AD＝1：3，

∴EF：AF＝1：3，

∴S△ABF＝3S，S△ADF＝9S，S△ABD＝S△BCD＝12S，

∴S四边形EFDC＝11S，

∴△BEF与四边形FECD的面积比＝1：11，

故答案为1：11．

三、        解答题（共4小题，每小题8分，共32分）

18．（2019·西安市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC

（1）求过点A，B的直线的函数表达式；

（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x+；（2）D点位置见解析，D（，0）；（3）符合要求的m的值为或．

【详解】

解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），

∴AC＝4，

∵BC＝AC，

∴BC＝×4＝3，

∴B（1，3），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∴，

∴，

∴直线AB的解析式为y＝x+；

（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，

∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，

此时＝，即AB2＝AC•AD．

∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝5，

∴25＝4AD，

∴AD＝，

∴OD＝AD﹣AO＝﹣3＝，

∴点D的坐标为（，0）；

（3）∵AP＝DQ＝m，

∴AQ＝AD﹣QD＝﹣m．

Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，

则有＝，

∴AP•AD＝AB•AQ，

∴m＝5（﹣m），

解得m＝；

Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，

则有＝，

∴AP•AB＝AD•AQ，

∴5m＝（﹣m），

解得：m＝，

综上所述：符合要求的m的值为或．

19．（2019·广东中考模拟）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．

（1）求证：DE＝DB：

（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；

（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长

【答案】（1）见解析；（2）2 （3）9

【详解】

（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABD，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠BED=∠1+∠3=∠2+∠4=∠5+∠4=∠DBE，

∴DB=DE；

（2）解：连接CD，如图，

∵∠BAC=90°，

∴BC为直径，

∴∠BDC=90°，

∵∠1=∠2，

∴DB=BC，

∴△DBC为等腰直角三角形，

∴BC=BD=4，

∴△ABC外接圆的半径为2；

（3）解：∵∠5=∠2=∠1，∠FDB=∠BDA，

∴△DBF∽△ADB，

∴=，即=，

∴AD=9．

20．（2015·广西中考真题）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．

（1）求证：△AEF∽△ABC；

（2）求这个正方形零件的边长；

（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？

【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400．

【解析】

（1）∵四边形EGFH为矩形，

∴BC∥EF，

∴△AEF∽△ABC；

（2）设正方形零件的边长为x，

在正方形EFGH中，EF∥BC∴△AEF∽△ABC∴即，

解得：x=48，

即：正方形零件的边长为48；

（3）设长方形的长为x，宽为y，

当长方形的长在BC时，，，

，

当x=60时，

长方形的面积最大为2400．

21．（2019·四川中考真题）如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N．

（1）求证：；（2）若，求MN的长．

【答案】（1）见解析；（2）.

【详解】

证明：（1）∵DB平分，

，且，

（2）

，且

，且，

，

且