数学必修 第二册5.3.2 事件之间的关系与运算精品课件ppt

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1.事件的包含与相等（1）包含关系一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”（或“B包含A”），记作A⊆B （或B⊇A）。用图形表示为：
（2）相等关系如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A=B。
【思考】如果两个事件相等，则这两个事件的样本点有什么关系？提示：如果两个事件相等，则它们的样本点完全相同。即：A=B⇔A⊆B且B⊆A⇔A与B有相同的样本点。
2.和事件与积事件（1）事件的和（并）给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并），记作A+B（或A∪B）。
事件A与B的和可以用如图中的阴影部分表示：
（2）事件的积（交）给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积（或交），记作AB（或A∩B）。事件A与事件B的积可以用如图中的阴影部分表示：
【思考】“A∩B=∅”的含义是什么？提示：在一次试验中，事件A、B不可能同时发生。
3.事件的互斥与对立给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作AB= ∅（或A∩B= ∅）。互斥事件的概率加法公式：若A与B 互斥（即A∩B= ∅），则：P（A+B）=P（A）+P（B）。
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。事件A的对立事件记为： 。则：P（A）+P（ ）=1。
【素养小测】 1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）事件A与B的并事件的概率一定大于事件A的概率。 （　　）（2） 事件A与B互斥，则有P（A）=1-P（B）。（　　）
【解析】（1）×。当A∪B=A时，P（A∪B）=P（A）。（2）×。只有A与B为对立事件，才有P（A）=1-P（B）。
2.同时掷两枚硬币，向上的一面都是正面为事件A，向上的一面至少有一枚是正面为事件B，则有（　　）A.A⊆B　　　B.A⊇B　　　C.A=B　　　D.A3.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“出现3点朝上”与“出现4点朝上”是（　　）A.对立事件B.互斥事件C.包含关系D.概率不相等的事件【解析】选B。事件“出现3点朝上”与“出现4点朝上”不可能同时发生，所以是互斥事件。
4.一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________。  【解析】中奖的概率为0.1+0.25=0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1-0.35=0.65。答案：0.65
类型一　 事件关系的判断【典例】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件。例如，事件C1={出现1点}，事件C2={出现2点}，事件C3={出现3点}，事件C4={出现4点}，事件C5={出现5点}，事件C6={出现6点}，事件D1={出现的点数不大于1}，事件D2={出现
的点数大于3}，事件D3={出现的点数小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶数}，事件G={出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：（1）请列举出符合包含关系、相等关系的事件；（2）利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件。
【思维·引】抓住事件运算的定义进行验证。
【解析】（1）因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3。同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2， D3，F，G；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5。且易知事件C1与事件D1相等，即C1=D1。
（2）因为事件D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2=C4∪C5∪C6（或D2=C4+C5+C6）。同理可得，D3=C1+C2+C3+C4，E=C1+C2+C3+C4+C5+C6，F=C2+C4+C6，G=C1+C3+C5，E=F+G。
　【内化·悟】　在进行事件运算时，判断的关键是什么？提示：关键是搞清事件包括的样本点有哪些。
【类题·通】事件间运算方法1.利用事件间运算的定义。列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算。
2.利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算。
【习练·破】　某市体操队有6名男生，4名女生，现任选3人去参赛，设事件A={选出的3人有1名男生，2名女生}，事件B={选出的3人有2名男生，1名女生}，事件C={选出的3人中至少有1名男生}，事件D={选出的3人中既有男生又有女生}。
问：（1）事件D与A，B是什么样的运算关系？（2）事件C与A的交事件是什么事件？
【解析】（1）对于事件D，可能的结果为1名男生2名女生，或2名男生1名女生，故D=A∪B。（2）对于事件C，可能的结果为1名男生2名女生，2名男生1名女生，3名男生，故C∩A=A。
类型二　互斥事件与对立事件的判定【典例】（1）抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为（　　）A.至多两件次品　　　　B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品
（2）把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（　　）A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对
【解析】（1）选B。“至少有两件次品”的否定是“至多有一件次品”。（2）选C。“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但分得红牌的还可能是丙或丁，所以不是对立事件。
【内化·悟】　互斥事件与对立事件有何区别与联系？提示：区别：互斥事件是事件A，B在任何一次试验中不会同时发生，对立事件则是有且仅有一个发生。
联系：对立事件属于特殊的互斥事件，它们的区别可以通过定义看出来，一个事件本身与其对立事件的并集等于总的样本空间；而若两个事件为互斥事件，表明一者发生，则另一者必然不发生，但不强调它们的并集是整个样本空间，即对立必然互斥，互斥不一定对立。通俗地说互斥事件，有你没我，有我没你，咱俩可以同时没有。
【类题·通】　判断互斥事件和对立事件时，主要用定义来判断。当两个事件不能同时发生时，这两个事件是互斥事件；当两个事件不能同时发生且必有一个发生时，这两个事件是对立事件。
【习练·破】　一个射手进行一次射击，有下面四个事件：事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数小于5；事件C：命中环数大于4；事件D：命中环数不大于6。则（　　）A.A与D是互斥事件B.C与D是对立事件C.B与D是互斥事件D.以上都不对
【解析】选A。由互斥、对立事件的定义可判断A选项正确。
类型三　概率公式的应用【典例】在数学考试中，小明的成绩在90分（含90分）以上的概率是0.18，在80分～89分（包括89分，下同）的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：
（1）小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率。（2）小明数学考试及格的概率。
【思维·引】小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80分～89分”“90分以上”的并事件，小明数学考试及格可看作是“60分～69分”“70分～79分”“80分～89分”“90分以上”这几个彼此互斥事件的并事件，又可看作是“不及格”这一事件的对立事件。
【解析】分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“在60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥。（1）小明的成绩在80分以上的概率是P（B∪C）=P（B）+P（C）=0.18+0.51=0.69。（2）记小明考试及格为事件A，则不及格为事件 ；
方法一：小明数学考试及格的概率是P（A）=P（B∪C∪D∪E）=P（B）+P（C）+P（D）+P（E）=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93。方法二：小明数学考试不及格的概率是P（ ）=0.07，所以小明数学考试及格的概率是P（A）=1-P（ ）=1-0.07=0.93。
【素养·探】概率公式的应用问题常涉及核心素养中的数学运算。1。（变结论）本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率。
【解析】分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“在60分～69分”“在60分以下”为事件A，B，C，D，E，则这五个事件彼此互斥。所以小明成绩在80分以下的概率是：P（C∪D∪E）=0.15+0.09+0.07=0.31。
2.（变条件）一盒中装有各种颜色的球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球。从中随机取出1球，求：（1）取出1球是红球或黑球的概率。（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率。
【解析】记事件A1={任取1球为红球}，A2={任取1球为黑球}，A3={任取1球为白球}，A4={任取1球为绿球}，则P（A1）= ，P（A2）= ，P（A3）= ，P（A4）= 。
方法一：（利用互斥事件求概率）根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得（1）取出1球为红球或黑球的概率为P（A1∪A2）=P（A1）+P（A2）=
（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=
方法二：（利用对立事件求概率）（1）取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为P（A1∪A2）=1-P（A3∪A4）=1-P（A3）-P（A4）=
（2）A1∪A2∪A3的对立事件为A4。所以P（A1∪A2∪A3）=1-P（A4）=1-
【类题·通】　应用概率的思想来解释日常生活中的现象（1）规律性：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中蕴含着规律性，而概率恰是这种规律性在数量上的反映。
（2）频率与概率不同：对一定数量的试验来说，事件发生的频率并不一定与概率完全相等。概率是频率的科学抽象，要通过大量重复试验来求得其近似值，因而概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性。
【习练·破】　某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查。100个人接受了调查，他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项。调查结果如表所示：
随机选取一个被调查者，他对这次调查表示反对或不发表看法的概率是多少？
【解析】用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示事件“对这次调整不发表看法”，则A和B是互斥事件，并且A∪B就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”，由互斥事件的概率加法公式得P（A∪B）=P（A）+P（B）= =0.73。