初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质优秀学案

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质优秀学案，共8页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，答案与解析，总结升华，思路点拨等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；


2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；


3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．





【要点梳理】


要点一、二次函数与之间的相互关系


1.顶点式化成一般式


从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．


2.一般式化成顶点式





．


对照，可知，．


∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．


要点诠释：


1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．


2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．


要点二、二次函数的图象的画法


1.一般方法：列表、描点、连线；


2.简易画法：五点定形法.


其步骤为：


(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．


(2)求抛物线与坐标轴的交点，


当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．


要点诠释：


当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，


要点三、二次函数的图象与性质


1.二次函数图象与性质








2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系











要点四、求二次函数的最大（小）值的方法


如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．


要点诠释：


如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．




















【典型例题】


类型一、二次函数的图象与性质


1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．


【答案与解析】


解法1（配方法）：





．


∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．


解法2（公式法）：∵ ，，，∴ ，


．


∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．


解法3（代入法）：∵ ，，，


∴ ．


将代入解析式中得，．


∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．


【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．





举一反三：


392790 例题1】


【变式】把一般式化为顶点式．


（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；


（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.


【答案】（1）向下；x=2；D (2，2).


（2）C（0，-6）；A（1,0）；B（3,0）.


2．（2016•泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（ ）





A．B．


C．D．


【思路点拨】由y=ax2+bx+c的图象判断出a＞0，b＞0，于是得到一次函数y=ax+b的图象经过一，二，四象限，即可得到结论．


【答案】A．


【解析】解：∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，


∴a＞0，


∵对称轴在y轴的左侧，


∴b＞0，


∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．


故选A．


【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的取值范围．


类型二、二次函数的最值


3．求二次函数的最小值.


【答案与解析】


解法1(配方法)：∵


，


∴ 当x＝-3时，．


解法2(公式法)：∵ ，b＝3，


∴ 当时，


．


解法3(判别式法)：∵ ，∴ ．


∵ x是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y≥-4．


∴ y有最小值-4，此时，即x＝-3．


【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择．


举一反三：


392790 例题2】


【变式】用总长60m的篱笆围成矩形场地．矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化．当L是多少时，矩形场地的面积S最大？


【答案】








（0

（m）时，场地的面积S最大，为225m2．





类型三、二次函数性质的综合应用


4．（2015•衡阳）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．


（1）求抛物线的函数关系式；


（2）判断△ABM的形状，并说明理由；


（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．





【答案与解析】


解：（1）∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，


∴A（﹣1，0），


又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，


∴B（2，3），


∵抛物线顶点在y轴上，


∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，


把A、B两点坐标代入可得，解得，


∴抛物线解析式为y=x2﹣1；


（2）△ABM为直角三角形．理由如：


由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1），


∴AM=，AB===3，BM==2，


∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，


∴△ABM为直角三角形；


（3）当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，


联立y=x，可得，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，


∵平移后的抛物线总有不动点，


∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0总有实数根，


∴△≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，


解得m≤，


即当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．


【总结升华】本题主要涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知识点．在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键，在（3）中确定出抛物线有不动点的条件是解题的关键．函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
项目


字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点