黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021届高三上学期期末考试 数学（理） (含答案)
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一、选择题（每题5分，共60分）
1. 设集合，则 ( )
A. B. C． D．
2. 若 ，其中 为虚数单位，则 ( )
A. B. C. D.
3. 若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则= ( )
A. B. 8 C. 16 D. 32
4. 数列在各项为正数的等比数列中，若，则( )
A．27 B．81 C．243 D．729
5．已知直三棱柱，若,是棱中点，则直线与直线所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
6. 已知角的终边上有一点,则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．设是空间中两条不同的直线，是空间中三个不同的平面，给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4），则.其中正确命题的序号是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）
8.“或”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D．既不充分也不必要
9.已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A. B． C． 或 D． 或
10. 设 ，给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论有 ( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11.已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，若则离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数与函数图像交点分别为：，则（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．4
二、填空题（每题5分，共20分）
13．曲线在点处的切线方程为.
14.已知向量，若，则.
15.若过点的直线将圆的周长分为2:1两部分，则直线的斜率为.
16．已知数列满足，则； .
三、解答题（17题10分,18-22题每题12分，共70分）
17．（本小题满分10分）已知函数.
（1）画出函数在区间上的图像；
（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，求函数图像的对称轴和增区间.
18．（本小题满分12分）已知三个内角所对的边分别是,
若 .
（1）求角;
（2）若，,求（a>b）的值.
- （本小题满分12分）已知数列的前项和为，.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的前项和为.
- （本小题满分12分）在长方体中，,点、分别在棱、上，且.
（1）求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求棱的长.
21．（本小题满分12分）椭圆的左右焦点分别为、，直线，若椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一动点，设直线分别交直线于点，则以线段为直径的圆是否恒过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.
22. （本小题满分12分）设函数（其中）．
（1）当 时，求函数的单调区间；
（2）当 时，求函数在上的最大值．
答案
一、选择题（每题5分，共60分）
1. 设集合，则 ( B )
A. B. C． D．
2. 若 ，其中 为虚数单位，则 ( B )
A. B. C. D.
3. 若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则= ( C )
A. B. 8 C. 16 D. 32
4. 数列在各项为正数的等比数列中，若，则( C )
A．27 B．81 C．243 D．729
5．已知直三棱柱，若,是棱中点，则直线与直线所成角的余弦值为( B )
A． B． C． D．
6. 已知角的终边上有一点,则的值为（D ）
A． B． C． D．
7．设是空间中两条不同的直线，是空间中三个不同的平面，给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4），则.其中正确命题的序号是（ A ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）
8.“或”是“”的（ B ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D．既不充分也不必要
9.已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ B ）
A. B． C． 或 D． 或
10. 设 ，给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论有 ( B )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11.已知是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，若则离心率的取值范围为（ A ）
A. B. C. D.
12. 已知函数与函数图像交点分别为：，则（D ）
A．-2 B．0 C．2 D．4
二、填空题（每题5分，共20分）
13．曲线在点处的切线方程为.y=4x-4
14.已知向量，若，则.5
15.若过点的直线将圆的周长分为2:1两部分，则直线的斜率为.或
17．已知数列满足，则； .
三、解答题（17题10分,18-22题每题12分，共70分）
17．（本小题满分10分）已知函数.
（1）画出函数在区间上的图像；
（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，求函数图像的对称轴和增区间.
解：（1）列表
（2）
对称轴为：
增区间为：
18．（本小题满分12分）已知三个内角所对的边分别是,
若 .
（1）求角;
（2）若，,求（a>b）的值.
18.解：(1)由正弦定理得：
由余弦定理：
(2) 由正弦定理：.
由余弦定理：
或
因为 a>b,所以
- （本小题满分12分）已知数列的前项和为，.
（3）证明：数列为等差数列；
（4）求数列的前项和为.
19.解：（1）由已知，
时，
时，符合上式
是以13为首项，-3为公差的等差数列.
（2）
当时
当时
- （本小题满分12分）在长方体中，,点、分别在棱、上，且.
（3）求证：平面；
（4）若二面角的余弦值为，求棱的长.
21．（本小题满分12分）椭圆的左右焦点分别为、，直线，若椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一动点，设直线分别交直线于点，则以线段为直径的圆是否恒过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.
21.解： 由已知:
①
椭圆过点
联立①②得：
椭圆方程为
⑵设已知
都有斜率
③
④
将④代入③得：
设方程:
则方程:
②
由对称性可知，若存在定点，
则该定点必在轴上，
设该定点为
则：
存在定点或以线段为直径的圆恒过该定点.
22. （本小题满分12分）设函数（其中）．
（1）当 时，求函数的单调区间；
（2）当 时，求函数在上的最大值．
