2021届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期10月月考数（理）试题（解析版）

这是一份2021届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期10月月考数（理）试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期10月月考数（理）试题


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据交集的运算，即可得出结果.
【详解】
解：根据题意可知，，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查交集的运算，考查运算求解能力，分析问题能力，属于基础题.
2．设复数满足，则（ ）
A．5 B． C．2 D．1
【答案】B
【解析】利用复数的四则运算将复数化简，然后求模即可.
【详解】
由，
得，
则.
故选B.
【点睛】
本题考查复数的四则运算和复数模长的计算公式，属于简单题.
3．已知命题或，则为（ ）
A．且 B．或
C．且 D．或
【答案】C
【解析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断.
【详解】
解：命题或为全称命题，由全称命题的否定为特称命题，则为且
故选：
【点睛】
本题考查全称命题的否定，属于基础题.
4．是方程至少有一个负数根的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当，得a<1时方程有根．a<0时，，方程有负根，又a=1时，方程根为，所以选B．
5．函数的图象是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【详解】试题分析：由偶函数排除B、D,排除C.故选A.
【考点】函数的图象与性质．

6．中，内角所对的边分别为.若，则的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解析】由条件和余弦定理得到，再根据三角形的面积公式计算结果.
【详解】
由条件可知：，①
由余弦定理可知：，②
所以由①②可知，，即，
则的面积为.
故选：B
【点睛】
本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.
7．已知奇函数的定义域为，且是以2为周期的周期函数，数列是首项为1，公差为1的等差数列，则的值为 （　　）
A．0 B．1 C．－1 D．2
【答案】A
【解析】分析知数列为以1为首项,1为公差的整数列问题转化为求,由函数周期为2又是奇函数,根据这些性质求出函数的前二个值即可.
【详解】
因为数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，


奇函数的定义域为R,

又是以2为周期的周期函数,

，，
.
应选A.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与周期性,等差数列的特征,知识覆盖面广,技能性较强，属于中档题.
8．已知，则向量在向量方向上的投影为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】分别求出向量、的坐标和数量积，以及模，再由向量在向量方向上的投影为，计算即可得到所求值．
【详解】
由，可得，
，，
则向量在向量方向上的投影为，
故选B.
【点睛】
本题考查向量的投影的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示和模的求法，考查化简整理的运算能力，属于基础题．
9．若是函数的极值点，函数恰好有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由是函数的极值点求出实数的值，由题意可知，直线与函数的图象有且只有一个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围.
【详解】
，该函数的定义域为，则，
由于是函数的极值点，
则，解得，，则.
列表如下：













单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由于函数恰好有一个零点，
则直线与函数的图象有且只有一个交点，如下图所示：

当时，；当时，.
由图象可知，当或时，直线与函数的图象有且只有一个交点.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，同时也考查了利用函数的极值点求参数，考查计算能力，属于中等题.
10．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题先求导函数，根据已知条件建立不等式，接着参变分离，构造新函数，求最大值即可解题.
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ 函数在区间上单调递增，
∴恒成立，
∴ 恒成立，
令，即
∴，
故选：A.
【点睛】
本题考查利用导函数研究原函数的单调性的应用，参变分离三角函数求最值，恒成立问题，是基础题.
11．已知函数，则方程实根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由得到或，再根据的图象来判断当或时对应的有几个，即为实根个数
【详解】
由可得或，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，函数在处取得极小值，极小值为，绘制函数的图象如图所示，观察可得，方程的实根个数为3，故选B

【点睛】
本题考查函数与方程中，导数在研究函数中的应用，图像法处理零点个数问题，找到变量关系，灵活利用图象，是解题关键
12．已知函数，且，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据已知函数解析式，可知为奇函数，利用导数可判断出其单调递增，由已知函数不等式得，即时是以为圆心的上半部分的圆，而表示过点的直线斜率，根据几何性质结合图象即可求出的范围.
【详解】
由知：单调递增，
又知：为奇函数，
有，
∴，整理得，时即的取值区域如下图阴影部分所示：

∴表示直线在过图中阴影部分的点时斜率，即问题转化为直线与阴影区域有交点时，的取值范围，
∴当与半圆相切，取最大值，而此时圆心到的距离，得；当交半圆于右端点时，取最小值为，所以的取值范围.
故选：A
【点睛】
本题考查了根据函数的性质确定代数关系的几何意义，应用数形结合的方法求目标代数式的范围，属于难题.


二、填空题
13．当函数取得最大值时，___________.
【答案】
【解析】试题分析：，所以当时函数取得最大值，此时
【考点】三角函数最值

14．函数的单调递增区间是_________．
【答案】
【解析】先确定函数的定义域，再考虑内外函数的单调性，利用复合函数的单调性即可得到结论．
【详解】
由，
可得或，
所以函数的定义域为
又在区间的单调递减，
单调递减,
∴函数的单调递增区间是,
故答案为．
【点睛】
本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.
15．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E、F分别为AB、BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动(如图所示)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是______________.

【答案】[－1,1]
【解析】【详解】
建立如图所示的直角坐标系，设∠PAE＝α，则

A(0,0)，E(1,0)，D(0,1)，F(1.5,0.5)，P(cosα，sin α)(0°≤α≤90°)．
∵＝λ＋μ，
∴(cosα，sin α)＝λ(－1,1)＋μ(1.5,0.5)，
∴cosα＝－λ＋1.5μ，sin α＝λ＋0.5μ，
∴λ＝(3sin α－cosα)，μ＝ (cosα＋sin α)，
∴2λ－μ＝sin α－cosα＝sin(α－45°)．
∵0°≤α≤90°，∴－45°≤α－45°≤45°，
∴－≤sin(α－45°)≤，
∴－1≤sin(α－45°)≤1.
∴2λ－μ的取值范围是[－1,1]．
点睛：向量平行(共线)、垂直与三角函数的综合
此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．

三、双空题
16．在平面直角坐标系中，已知向量，，.若，则______；若存在两个不同的值，使得恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】（1）由向量共线得，则，即可得；
（2）计算得，则，，由条件可转化得在上有两个不同的解，故可得的取值范围.
【详解】
（1）由向量共线得，则，又，则；
（2）计算得，
则，
又存在两个不同的值，使得恒成立，则在上有两个不同的解，
令，
令，则，如图：

所以有.
故答案为：（1）；（2）
【点睛】
本题考查向量共线，向量数量积的坐标运算，三角函数的性质，考查了函数与方程的关系，考查了转化与化归和数形结合的思想.

四、解答题
17．已知数列的前n项和为，满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）本小题运用借求直接求出（），再验证是否满足即可；
（2）本小题直接运用裂项相消法求出即可.
【详解】
解：（1）∵
所以当时，
两式相减并化简得
当时，也符合此通项公式
故
（2）由（1）知，所以

所以
【点睛】
本题考查借求，裂项相消法求前项和，是基础题.
18．已知向量，，.
（1）求函数的最小正周期和对称中心
（2）求函数的单调减区间；
【答案】（1）最小正周期是，对称中心为；（2）.
【解析】由结合向量数量积的坐标公式有，（1）由正弦函数的最小正周期为、对称中心为即可求的最小正周期和对称中心；（2）由正弦函数的单调减区间为即可求的单调减区间；
【详解】

（1）函数的最小正周期是，
由得，即对称中心为
（2）由于函数的单调递减区间为，
解不等式，得，
因此，函数的单调递减区间为；
【点睛】
本题考查了正弦函数的性质，应用了向量数量积的坐标公式、倍角公式、辅助角公式化简函数式，得到三角函数解析式，依据正弦函数的性质求最小正周期、对称中心、单调区间.
19．已知函数，．
（1）求的最大值和最小值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）．
又，，即，
．
（2），，
且，
，即的取值范围是．
20．已知函数
（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（2）证明：当时，在区间上，不等式恒成立.
【答案】(1),;(2)见解析.
【解析】(1)当时,,利用导数研究函数的单调性即可得出最值;
(2)令,,在区间上,不等式恒成立等价于在区间上恒成立.利用导数研究函数的单调性即可得出大值.
【详解】
(1)解:当时,,则
对于,有.在区间上为增函数
,.
(2)证明:,

当时,则有,此时在区间上恒有
从而在区间上是减函数.,又，
,即恒成立.
【点睛】
本题考查了函数的最值,考查了不等式恒成立问题.求函数的最值,常用的方法有图像法,单调性分析求最值,导数法等.利用导数求最值时,明确函数的定义域,求导后,解出导数为零的根,分析函数及导数随自变量的变化情况,进而可求出最值.若证明 恒成立,只要证明 即可; 若证明 恒成立,只要证明 即可.
21．已知在中，三内角、、所对的边分别为，且.
(1)若，求；
(2)求的最大值.
【答案】(1)；（2）.
【解析】（1）先利用余弦定理求得，再根据正弦定理得结果；
（2）根据正弦、余弦的二倍角公式及利用两角和公式化简整理，利用正弦函数的性质求得 的最大值.
【详解】
(1)由余弦定理及题设，得.
由正弦定理知，得.
(2)由已知，


，当时，取最大值.
22．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）对给定的，函数有零点，求的取值范围；
（3）当，时，，记在区间上的最大值为m，且，求n的值．
【答案】（1），函数单调递减；，函数单调递增；
（2）当时，函数有零点；
（3）．
【解析】（1）函数的定义域为，求导得，再根据和求单调区间即可；
（2）结合（1）得函数在时取得最小值，且当时，，故满足题意需满足，进而求得的取值范围；
（3）根据题意得，研究函数的单调性得函数在上单调递增，在上单调递减，且，，故，，再令，，即可求得，进而得.
【详解】
解：（1）函数的定义域为，
，
令得，所以函数在上单调递增；
令得，所以函数在上单调递减.
（2）对给定的，当时，，
又因为函数在上单调递减，在上单调递增
所以函数在时取得最小值，
故函数要有零点，则需有，
即：，故，
所以对给定的，函数有零点，的取值范围为
（3）当，时，，
所以，
所以，
令，则在上成立，
所以在单调递增，
由于，，
所以存在，使得，即.
所以存在，使得在上满足，
在上满足
所以在上满足，在上满足，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
令，，
则在成立，
所以在单调递增，
由于，，
所以，
因为
所以.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点，函数的最值，考查数学运算求解能力，属于较难题.