广东2020中考数学一轮抢分 5.第五节 二次函数与几何图形综合题

第三章  函  数

第六节 二次函数与几何图形综合题

（建议时间：     分钟）

1. 如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(4，0)，B(－4，－4)，且与y轴交于点C.

(1)求此二次函数的解析式；

(2)证明：AO平分∠BAC；

(3)在二次函数对称轴上是否存在一点P使AP＝BP？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第1题图

2. (2019肇庆模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋5与y轴交于点A，与x轴交于点B.抛物线y＝－x2＋bx＋c过A、B两点．

(1)求点A、B的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一动点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．

第2题图

3. 如图，以D为顶点的抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝－x＋3.

(1)求抛物线的表达式；

(2)请你判断△BCD的形状，并说明理由；

(3)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

第3题图

4. (2019泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－2，0)，C(0，－6)，其对称轴为直线x＝2.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若直线y＝－x＋m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；

(3)点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2的右侧，若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．

第4题图

5. (2019百色)已知抛物线y＝mx2和直线y＝－x＋b经过点M(－2，4)，点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线y＝－x＋b与x轴、y轴交于A、B两点．

(1)求m、b的值；

(2)当△PAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)满足(2)的条件时，求sin∠BOP的值．

第5题图

6. (2019汕头模拟)如图，二次函数y＝－x2＋3x＋m的图象与x轴的一个交点为B(4，0)，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．

(1)求m的值及C点坐标；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得它到B、C两点的距离和最小，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，请直接写出点P的坐标．

第6题图

参考答案

第六节 二次函数与几何图形综合题

1. (1)解：∵点A(4，0)与点B(－4，－4)在二次函数的图象上，

∴

解得

∴二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋2；

(2)证明：设直线AB的解析式为y＝ax＋n，

则有

解得

故直线AB的解析式为y＝x－2，

如解图，设直线AB与y轴的交点为点D，

令x＝0，

则y＝－2，故点D为(0，－2)，

由(1)可知点C为(0，2)，

∴OC＝OD，

又∵AO⊥CD，

∴AO平分∠BAC；

(3)解：存在．

∵y＝－x2＋x＋2＝－(x－1)2＋，

∴二次函数的对称轴为直线x＝1，

设点P的坐标为(1，m)，

AP2＝(4－1)2＋m2，BP2＝(1＋4)2＋(m＋4)2，

当AP＝BP时，即AP2＝BP2，

则有9＋m2＝25＋m2＋16＋8m，

解得m＝－4，

∴点P的坐标为(1，－4)．

第1题解图

2. 解：(1)直线解析式为y＝－x＋5，

令y＝0，则x＝5，令x＝0，则y＝5，

∴点A、B的坐标分别为(0，5)、(5，0)；

(2)将点A、B的坐标代入抛物线解析式得

解得

即抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5；

(3)抛物线的对称轴为x＝－＝2，则点C的坐标为(4，5)，

设点P的坐标为(x，－x2＋4x＋5)，则点D坐标为(x，－x＋5)，

∵AC⊥PD，

∴S四边形APCD＝×AC×PD＝2(－x2＋4x＋5＋x－5)＝－2x2＋10x＝－2(x－)2＋，

∵a＝－2＜0，

∴S四边形APCD有最大值，

当x＝时，其最大值为，

此时点P的坐标为(，)．

3. 解：(1)把x＝0代入y＝－x＋3，得y＝3，

∴C(0，3)．

把y＝0代入y＝－x＋3，得x＝3，

∴B(3，0)．

将C(0，3)、B(3，0)代入y＝－x2＋bx＋c得

解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；

(2)△BCD是直角三角形，理由如下：

∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，

∴D(1，4)

又∵C(0，3)、B(3，0)、D(1，4)，

∴CD＝＝，BC＝＝3，BD＝＝2.

∵()2＋(3)2＝20，(2)2＝20，

∴CD2＋BC2＝BD2，

∴∠BCD＝90°.

即△BCD是直角三角形；

(3)存在，如解图，连接AC，把y＝0代入y＝－x2＋2x＋3，

解得x＝－1或x＝3，

∴A(－1，0)．

∴OA＝1，AC＝.

∴＝.

∵＝＝，

∴＝.

又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，

∴△AOC∽△DCB.

∴当Q的坐标为(0，0)时，△AQC∽△DCB，

过点C作CQ⊥AC，交x轴于点Q.

∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，

∴△ACQ∽△AOC.

又∵△AOC∽△DCB，

∴△ACQ∽△DCB.

∴＝，即＝.

解得AQ＝10.

∴Q(9，0)．

综上所述，点Q的坐标为(0，0)或(9，0)．

第3题解图

4. 解：(1)根据题意得

解得

∴该二次函数的解析式为y＝x2－2x－6;

(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，

将A(－2，0)，C(0，－6)代入，

得解得

∴直线AC的解析式为y＝－3x－6.

联立

解得x＝－(m＋6)，

∴直线y＝－x＋m与y轴交于点(0，m)，

∵△AOC的面积为×2×6＝6，

∴由题意得×(m＋6)(m＋6)＝3，

∴m＝－2或m＝－10(舍去)，

∴m＝－2；

(3)∵OA＝2，OC＝6，∴＝3，

若以点E为直角顶点的△BED与AOC相似，则：

△DEB∽△AOC或△BED∽△AOC，

①当△DEB∽△AOC时，＝＝3，

如解图①，过点E作EF⊥直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥FE，交FE的延长线于点G，

则Rt△BEG∽Rt△EDF，

∵＝＝3，

∴BG＝3EF，

设点E(h，k)，

由(1)可得二次函数顶点坐标为(2，－8)，A(－2，0)，对称轴为直线x＝2，

∴B(6，0)．

∴由题意可知2<h<6，－8<k<0，

则BG＝－k，EF＝h－2，

∴－k＝3(h－2)，即k＝6－3h，

∵点E(h，k)在该二次函数图象上，

∴h2－2h－6＝6－3h，

解得h＝4或h＝－6(舍)，

∴点E的坐标为(4，－6)；

②当△BED∽△AOC时，＝＝，

如解图②，过点E作EM⊥直线x＝2，交ME的延长线于点足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N，

则Rt△BEN∽Rt△EDM，

∴＝＝，

∴BN＝EM，

设点E(p，q)且2<p<6，－8<q<0，

则BN＝－q，EM＝p－2，

∴－q＝(p－2)，即q＝(2－p)，

∵点E(p，q)在该二次函数图象上，

∴p2－2p－6＝(2－p)，

解得p＝或p＝(舍去)，

∴点E的坐标为(，)，

综上，点E的坐标为(4，－6)或(，)．

第4题解图①

第4题解图②

5. (1)解：将M(－2，4)分别代入y＝mx2和y＝－x＋b，得

解得

(2)解：如解图，过点P作PC⊥x轴于点C，延长CP，过点M作MD⊥CP于点D.

设P(t，t2)，

∴DP＝4－t2，MD＝2＋t，PC＝t2，AC＝2－t.

∴MP2＝MD2＋DP2＝(2＋t)2＋(4－t2)2，

PA2＝PC2＋AC2＝(t2)2＋(2－t)2.

∵△PAM是以AM为底边的等腰三角形，

∴MP＝PA.

∴MP2＝PA2.

∴(2＋t)2＋(4－t2)2＝(t2)2＋(2－t)2，

解得t1＝－1，t2＝2，

∴点P的坐标为(－1，1)或(2，4)；

(3)解：如解图，连接OP，过点P作PE⊥y轴于点E，

当点P的坐标为(2，4)时，PE＝2，OE＝4，∴OP＝2，

∴sin∠BOP＝＝＝；

同理，当点P的坐标为(－1，1)时，

sin∠BOP＝＝.

第5题解图

6. 解：(1)将B(4，0)代入y＝－x2＋3x＋m，

解得m＝4，

∴二次函数解析式为y＝－x2＋3x＋4，

令x＝0，得y＝4，

∴C(0，4)；

(2)存在，如解图①，

∵MC＋MB≥BC，

∴当点M、C、B在一条直线上时，MC＋MB有最小值．

∵点C的坐标为(0，4)．

设直线BC的解析式为y＝kx＋b.

将点B、C的坐标代入得：

解得

∴直线BC的解析式为y＝－x＋4，

∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝，

∴点M的横坐标为，

将x＝代入直线BC的解析式，得y＝－＋4＝，

∴点M的坐标为(，)；

(3)点P的坐标为(1＋，1＋)或(1－，1－)

【解法提示】如解图②，∵点P在抛物线上，

∴设P(m，－m2＋3m＋4)，

当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，

∵B(4，0)，C(0，4)

∴线段BC的垂直平分线的解析式为y＝x，

∴m＝－m2＋3m＋4，

∴m＝1±，

∴P(1＋，1＋)或P(1－，1－)．

第6题解图