江苏2020中考一轮复习培优 课时训练15 二次函数的综合应用

课时训练(十五)　二次函数的综合应用(限时:40分钟)|夯实基础|1.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为 (　　)A.25 cm2       B.50 cm2C.100 cm2      D.不确定2.如图K15-1,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=12 cm,动点P从点A开始沿边AB向B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过多少秒时,四边形APQC的面积最小?              (　　)图K15-1A.1    B.2    C.3    D.43.二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M,N两点,点P在该函数的图象上运动,能使△PMN的面积等于的点P共有　　　　个. 4.[2018·长春]如图K15-2,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A.点B是y轴正半轴上一点,点A关于点B的对称点A'恰好落在抛物线上.过点A'作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A'的横坐标为1,则A'C的长为　　　　. 图K15-25.[2019·长春] 如图K15-3,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax+(a>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点,若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值为　　　　. 图K15-36.已知:如图K15-4,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2,顶点为A.点P为抛物线对称轴上一点,连接OA,OP.当OA⊥OP时,求P点的坐标.图K15-4      7.已知边长为4的正方形CDEF截去一个角后成为五边形ABCDE(如图K15-5),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积,求此时PM的长.图K15-5 8.如图K15-6,矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发.(1)经过多长时间,△PBQ的面积等于8 cm2?(2)经过多长时间,五边形APQCD的面积最小,最小值是多少?图K15-6      |拓展提升|9.如图K15-7,抛物线m:y=ax2+b(a<0,b>0)与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为C1,与x轴的另一个交点为A1.若四边形AC1A1C为矩形,则a,b应满足的关系式为              (　　)图K15-7A.ab=-2       B.ab=-3C.ab=-4       D.ab=-510.如图K15-8,在平面直角坐标系xOy中,若动点P在抛物线y=ax2上,☉P恒过点F(0,n),且与直线y=-n始终保持相切,则n=　　　　(用含a的代数式表示). 图K15-811.[2019·临沂]在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点A,B.(1)求a,b满足的关系式及c的值.(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,求a的取值范围.(3)如图K15-9,当a=-1时,在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积为1?若存在,请求出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.图K15-9     
【参考答案】1.B　[解析]设一条直角边为x cm,则另一条直角边长为(20-x)cm,∴直角三角形的面积S=x(20-x)=-(x-10)2+50.∵-<0,∴当x=10时,S最大=50 cm2.故选B.2.C　[解析]设P,Q同时出发后经过的时间为t s,四边形APQC的面积为S cm2,则有:S=S△ABC-S△PBQ=×12×6-(6-t)×2t=t2-6t+36=(t-3)2+27.∴当t=3 s时,S取得最小值.故选C.3.4　[解析]二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴交点为(3,0)和(5,0),MN=2,设P点坐标为(x,y),y=x2-8x+15,S△PMN==MN·|y|,可得y1=,y2=-.当y=时,x=;当y=-时,x=,所以共有四个点.4.3　[解析]如图,设A'C与y轴交于点D.∵点A与点A'关于点B对称,∴AB=A'B.又A'C∥x轴,∴∠A'DB=∠AOB=90°,∠DA'B=∠OAB,∴△ABO≌△A'BD,∴AO=A'D,∵点A'的横坐标为1,∴A'D=AO=1,∴点A坐标为(-1,0).把(-1,0)代入抛物线解析式y=x2+mx,得m=1,∴抛物线解析式为y=x2+x,∴点A'坐标为(1,2).令y=2得,x2+x=2,解得x1=-2,x2=1,∴A'C=1-(-2)=3.5.2　[解析]在y=ax2-2ax+中,令x=0,可得y=,∴点A的坐标为0,,∵y=ax2-2ax+=a(x-1)2+-a,∴点M的坐标为2,,抛物线的顶点P的坐标为1,-a,∴直线OP的解析式为y=-ax,令y=,可得x=,∴点B的坐标为,.∵M为线段AB的中点,∴=4,解得a=2.6.解:∵抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2,∴-=2,∴a=-,∴抛物线的表达式为:y=-x2+x,∴顶点A的坐标为(2,1),设对称轴与x轴的交点为E.如图,在直角三角形AOE和直角三角形POE中,tan∠OAE=,tan∠EOP=,∵OA⊥OP,∴∠OAE=∠EOP,∴=,∵AE=1,OE=2,∴=,解得PE=4,∴P(2,-4).7.解:设矩形PNDM的边DN=x,NP=y,则矩形PNDM的面积S=xy(2≤x≤4),易知CN=4-x,EM=4-y,作BQ⊥NP于Q,则有BQ=CN,PQ=NP-BC,且有=,即=,∴y=-x+5,∴S=xy=-x2+5x(2≤x≤4),此二次函数的图象开口向下,对称轴为直线x=5,∴当x≤5时,S随x的增大而增大.∵2≤x≤4,∴当x=4,即PM=4时,S有最大值.8.解:(1)设运动时间为t秒,则PB=6-t,BQ=2t,则S△PBQ=PB·BQ=×(6-t)×2t=8,解得t=2或t=4,故经过2秒或4秒时,△PBQ的面积等于8 cm2.(2)S△PBQ=PB·BQ=×(6-t)×2t=-t2+6t.当t=-=3时,S△PBQ最大==9,故S五边形APQCD最小=S矩形ABCD-S△PBQ最大=6×12-9=63(cm2).故当t=3秒时,五边形APQCD的面积最小,最小值是63 cm2.9.B　[解析]令x=0,得y=b.∴C(0,b).令y=0,得ax2+b=0,∴x=±,∴A-,0,B,0,∴AB=2,BC==.要使四边形AC1A1C是矩形,必须满足AB=BC,∴2=,∴4×-=b2-,∴ab=-3.∴a,b应满足关系式ab=-3.故选B.10.　[解析]如图,连接PF.设☉P与直线y=-n相切于点E,连接PE.则PE⊥AE.∵动点P在抛物线y=ax2上,∴设P(m,am2).∵☉P恒过点F(0,n),∴PF=PE,即=am2+n.∴n=.11.[分析] (1)求出点A,B的坐标,即可求解;(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,则函数图象的对称轴x=-≥0,由(1)知b=2a+1,即-≥0,求解即可;(3)假设存在符合题意的是P.过点P作直线l∥AB,作PQ∥y轴交BA于点Q,作PH⊥AB于点H,易求∠QPH=45°,S△PAB=×AB×PH=×2×PQ×=1,则|yP-yQ|=1,即可求解.解:(1)根据直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,令x=0,则y=2,令y=0,则x=-2,故点A,B的坐标分别为(-2,0),(0,2),将B(0,2)的坐标代入y=ax2+bx+c,得c=2,则函数表达式为:y=ax2+bx+2,将点A坐标代入上式得4a-2b+2=0,整理得:b=2a+1.(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,则函数图象的对称轴x=-≥0,而b=2a+1,即-≥0,解得:0>a≥-,故a的取值范围为:-≤a<0.(3)当a=-1时,二次函数表达式为:y=-x2-x+2,假设存在符合题意的点P,过点P作直线l∥AB,作PQ∥y轴交BA于点Q,作PH⊥AB于点H, ∵A(-2,0),B(0,2),∴OA=OB,AB=2,∴∠BAO=45°,∴∠PQH=45°,S△PAB=×AB×PH=×2×PQ×=1,解得PQ=1,则yP-yQ=1,在直线AB下方作直线m,使直线m和l与直线AB等距离,则直线m与抛物线的两个交点分别与点A,B组成的三角形的面积也为1,故|yP-yQ|=1,设点P(m,-m2-m+2),则点Q(m,m+2),∴-m2-m+2-m-2=±1,解得:m=-1或-1±,故点P的坐标为(-1,2)或(-1+,)或(-1-,-).