2020-2021学年 北师大版八年级数学上册期末冲刺 专题05《二元一次方程组》（北师大版）（教师版）

专题05 《二元一次方程组》

1．二元一次方程：含有 未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的方程叫二元一次方程．
掌握此概念要注意以下三点：
（1）方程中含有两个未知数，如方程 5x + 2y = 3z就不是二元一次方程.
（2）未知数的指数都是 1.这里的指数为1指的是不含两个未知数乘积形式的单个未知数的指数，如xy + 1= 0就不是二元一次方程.
（3）当方程中出现分数形式时，分母中不能含有未知数，例如x ++ 1 = 0就不是二元一次方程.
2．二元一次方程组：把具有 未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．
例如、、都是二元一次方程组，、都不是二元一次方程组.
3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的 的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．任何一个二元一次方程的解都是一对数值，它有 多解．
例如是二元一次方程x + y = 3的一个解. 而单独的x = 1或y = 2不是方程x + y = 3的解，只有把它们组合在一起，才可称为二元一次方程x + y = 3的一个解 .
4．二元一次方程组和它的解：使二元一次方程组两边的 的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解．
温馨提示：（1）二元一次方程组里一共含有两个未知数，并不要求每个方程一定含有两个未知数.
（2）方程组里的两个方程中，同一字母必须表示同一数量.
（3）一般情况下，一个二元一次方程组只有惟一一个解，但实际上，二元一次方程组的解还有另外两种情况：无解或有无数个解.
5．三元一次方程组的解法：解三元一次方程组的基本思路是：解二元一次方程组一样也是 ，化三元为二元、 ，最终求出各未知数的值．
2.重要结论：
（1）解二元一次方程组三种方法是 、 、 （近似解）．
（2）代入消元法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.
其主要步骤可以概括成三句话：（1）求关系式；（2）代入消元；（3）回代得解
温馨提示：当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或-1时，用代入法较简便.
（3）加减消元法：通过将方程组中两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.
其主要步骤也可以概括成三句话：（1）变换系数；（2）加减消元；（3）回代得解
温馨提示：⑴运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值.
（2）当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便.
（3）如果所给方程组较复杂，可先变形化简，再选择适当的求解方法.
（3）运用二元一次方程组解决实际问题一般步骤：
（1）审：弄清题意和题目中的 关系；
（2）设：用 表示题目中的一个未知数；
（3）找：找出能够表示应用题全部含义的一个 关系；
（4）列：根据这个 关系列出重要的代数式，从而列出方程；
（5）解： ；
（6）验：检验根是否符合 ；
（7）答： ．
可以简记为：“审、设、找、列、解、验、答”七个字，请同学们要牢记．
温馨提示：（1）列二元解决实际问题，需要从实际问题中找出两个相等关系.
（2）要根据相当关系选择适当的设未知数方法，如直接设未知数，间接设未知数；设辅助未知数等.
（3）注意单位统一及检验所得到的解是否与实际意义相符合.
3.思想方法：
消元
转化
（1）消元思想：同学们在学会了代入法和加减法解二元一次方程组，首先要搞清解方程组的基本思想就是：“消元”，它的基本模式就是：二元一次方程组 一元一次方程，它的基本方法就是：代入法和加减法．通过代入或加减达到将
“二元”转化为“一元”的目的．
（2）转化思想：解二元一次方程组的实质是通过消元将二元转化为一元，在这种“消元”中，渗透了化“未知”为“已知”的重要的转化思想方法．列二元一次方程组解决实际问题的实质是将实际问题转化为数学问题．转化是一种重要的思想方法，在解题中主要体会这种思想方法的灵活应用．
（3）数形结合思想：利用二元一次方程组的图象解法；根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；根据二元一次方程组的解与一次函数图象的交点坐标之间的关系都是数形结合的典型例子.

考点一、二元一次方程的有关概念
例1（2020凉山州模拟）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
解：A、第一个方程值的xy是二次的，故此选项错误；
B、第二个方程有，不是整式方程，故此选项错误；
C、含有3个未知数，故此选项错误；
D、符合二元一次方程定义，故此选项正确．
故选D．
【名师点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
考点二、二元一次方程组的求值
例2（2020益阳）同时满足二元一次方程和的x，y的值为（ ）
A． B． 　 C． D．
【答案】A.
【解析】由题意得：，
由①得，，
把③代入②得，，
解得，，代入③得，，
∴方程组的解是，
故选：A.
【名师点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，代入法和加减法是解二元一次方程组的两种基本方法.
考点三、二元一次方程组的解法
例3（2020沈阳）二元一次方程组的解是 ．
【答案】.
【解析】本题根据方程组的系数特征，直接采用代入法或加减法即可解决
①+②，得　3x＝6，x＝2． 把x＝2代入①，得y＝3．
∴原方程组的解是.
【名师点睛】解方程组的基本思想就是：“消元”，它的基本模式就是：二元一次方程组化为一元一次方程，它的基本方法就是：代入法和加减法．通过代入或加减达到将“二元”转化为“一元”的目的．转化思想在解题中的运用要重视.
考点四、构造二元一次方程组
例4（2020乌兰察布模拟）则= ．
【答案】1.
【解析】非负，非负，而它们的和为0，所以=0， =0，将两式联立解方程从而可求出x，y，再的值．
解: ∵且≥0，≥0，
∴=0， =0．
即，解得，
∴
【名师点睛】如果要确定某字母的值，往往须要由几个非负数的和为零得到方程，应用方程思想确定其值，解决这类题的方法是：由非负数性质：如果是实数，且满足，则有．当含有字母系数的方程组的解直接给出时，可先把“给出的解”代入原方程组，从而得到关于字母系数的新方程组，再解这个方程组，求出待定字母的值即可.
考点五、二元一次方程组与一次函数关系
例5（2020聊城一模）如图，过点Q（0，3.5）的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（　　）

A.3x-2y+3.5=0 B.3x-2y-3.5=0 C.3x-2y+7=0 D.3x+2y-7=0
【答案】D.
【解析】如果设这个一次函数的解析式为y=kx+b，那么根据这条直线经过点P（1，2）和点Q（0，3.5），用待定系数法即可得出此一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b．
∵这条直线经过点P（1，2）和点Q（0，3.5），
∴，解得．
故这个一次函数的解析式为y=-1.5x+3.5，
即：3x+2y-7=0．
故选D．
【名师点睛】本题主要考查了一次函数与方程组的关系及用待定系数法求一次函数的解析式．两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，反之，二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标．
考点六、三元一次方程组的应用
例6（2020重庆）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜欢. 重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．
【答案】1:8.
【解析】设6月份堂食、外卖三种方式的营业额为3a，5a，2a，设7月份总的增加营业额为5x，摆摊增加的营业额为2x，7月份营业额20b，摆摊7月份的营业额为7b，堂食7月份的营业额为8b，外卖7月份的营业额为5B，
由题意可得：，
解得：，
∴7月份外卖还增加了营业额与7月份总营业额之比=（5b-5a）：20b=1:8，
故答案为：1:8.
【名师点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，理解题意，找到正确的等量关系是本题的关键.
考点七、方程（组）的应用
例7（2020江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．
（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．
【答案】（1）笔记本是单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元；（2）他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．
【解析】（1）设笔记本的单价为x元，单独购买一支笔芯的价格为y元，
依题意，得：，
解得：.
答：笔记本是单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元.
（2）小贤和小艺带的总钱数为19+2+26=47（元）.
两人合在一起购买所需费用为5×（2+1）+（3-0.5）×10=40（元）.
∵47-50=7（元），3×2=6（元）；7>6,
∴他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．
【名师点睛】本题考查根据实际问题抽象出方程组：根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2020绥化模拟）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．6x－y=7 B．x－=0 C．4x－xy=5 D．x+x+1=0
【答案】A
【解析】B中未知数y出现在分母中，C中出现xy项，D中只含有一个未知数x且出现x2项，故选A．
2．（2020绍兴一模）下列各组数中，不是二元一次方程2x+y=6的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】可分别代入原方程验证．故选C．
3．（2020河北模拟）方程mx-6y=x+4是二元一次方程，则m的取值为（ ）
A．m≠0 B．m≠-1 C．m≠1 D．m≠2
【答案】C
【解析】原方程可化为（m-1）x-6y=4再根据二元一次方程的定义得m-1≠0，故选C．
4．（2020武汉一中模拟）下列各式中是二元一次方程的是（ ）
A．2x+y=z B．3x+4y=10 C．+y=2 D．x（2-y）=4
【答案】B
【解析】根据二元一次方程定义判断，故选B．
5．适合方程2a+3b=5的a，b的值是（ ）
A．
【答案】B
【解析】代入验证即可得解，故选B．
6．（2020焦作模拟）如图（①）的等臂天平呈平衡状态，其中左侧秤盘有一袋石头，右侧秤盘有一袋石头和2个各10克的砝码．将左侧袋中一颗石头移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图（②）所示．求被移动石头的重量为多少克？（　　）

A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【解析】设左天平的一袋石头重x千克，右天平的一袋石头重y千克，被移动的石头重z千克，由题意，得，解得：z=5．故选A．
7．（2020荆州一中模拟）使得3x－2y=│a│成立的x，y的值也满足（2x+y－1）2+（x－3y）2=0，其中若│a│+a=0，则a的值为（ ）
A．－1 B．1 C．1或－1 D．0
【答案】A
【解析】由│a│+a=0，可a≤0，由题意得 ①+②得3x－2y=1，即│a│=1，所以a=－1．
8．（2020潜江模拟）若是方程组的解，则是下列方程（ ）的解．
A．5x+2y=－4 B．2x－y=1 C．3x+2y=5 D．x+y=1
【答案】B
【解析】将代入方程组，得 解得，将代入方程检验可得．
9．（2020宜昌一中模拟）有一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字的和为5，则符合这个条件的两位数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【解析】设个数数字为x，十位数字为y，则x+y=5，x=0，1，2，3，4，y=5，4，3，2，1.
10．如果方程组有相同的解，则a，b的值是（ ）
A．
【答案】A
【解析】由已知得方程组，求a，b.即
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．（2020河南模拟）已知4x+5y-20=0，用含x的代数式表示y，得________．
【答案】y=4-x
【解析】把含x的代数式表示y.
12．（2020长沙一模）已知都是y=kx+b的解，则k=______，b=_____．
【答案】2 -3
【解析】由已知得.
13．（2020鄂州一中模拟）已知x与y满足3x+2y=7，且4x-y=2，则x=_____，y=_______．
【答案】1 2
【解析】解方程组得.
14．若x5a-2b+4y4a-b-1=9是一个二元一次方程，则a=______，b=________．
【答案】1 2
【解析】由二元一次方程组的定义有.
15．（2020合肥模拟）在计算器上，按照下面的程序进行操作：

下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果
x
－2
－1
0
1
2
3
y
－5
－2
1
4
7
10



上面操作程序中所按的第三键和第四个键应是_______；______．
【答案】+；1
【解析】由y－3x=1得3x+1=y．
16．（2020九江模拟）若已知方程组，则x与y的关系式为________．
【答案】8x+y=4
【解析】①×2+②得8x+y=4．
17．（2020广东模拟）在正整数范围内，方程3x+y=5的解是________．
【答案】
【解析】由题意y=5-3x，当x=1时，y=5当x=2时，y=-1（舍去）．
18．（2020湖北模拟）若是方程2x+y=0的解，则6a+3b+2=_______．
【答案】2
【解析】由已知将2a+b=0，则b=-2a，代入6a+3b+2中得结果为2.
19．（2020安徽模拟）方程组的解也是方程2x+3y=6的解，则k的值为_______．
【答案】
【解析】先用含k的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再代入2x+3y=6中可得.
20．（2020长阳模拟）某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情况如下表：
捐款（元）
1
2
3
4
人数
6


7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染，已看不清楚．若设捐款的2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学．根据题意，可得方程组______．
【答案】
【解析】由题意列出方程组即可.
三、解答题:（共60分）
21．（12分）（2020珠海模拟）解方程组：
（1） （2）．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）把①代入②得：5x+6x﹣14=8，即x=2，
把x=2代入①得：y=﹣1，
则方程组的解为；
（2）①+②得：5x+2y=16④，
②+③得：3x+4y=18⑥，
⑤×2﹣⑥得：7x=14，即x=2，
把x=2代入④得：y=3，
把x=2，y=3代入③得：z=1，
则方程组的解为．
22．（6分）（2020孝感一中模拟）若二元一次方程ax+by=4的两个解分别为是不是原方程的解？
【答案】不是
【解析】先求a，b的值，求出方程为3x-y=4，再检验
23．（6分）（2020黄陂一中模拟）请你根据图中图象所提供的信息解答下面问题：
（1）分别写出a1、a2中变量y随x变化而变化的情况：
（2）求出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件．

【答案】（1）a1：y随x的增大而增大，a2：y随x的增大而减小；（2）．
【解析】（1）a1：y随x的增大而增大，a2：y随x的增大而减小；
（2）直线a1经过点（0，-1）与（1，1），设它的解析式为：y=kx+b；
得：，解得：k=2，
即它的解析式是：y=2x-1．
同理，直线a2的解析式是y=，则所求的方程组是．
24．（6分）（2020武汉洪山模拟）如图，某纸品加工厂为了制作甲，乙两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出长方形的宽和正方形的边长相等．现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲，乙两种小盒各多少个？




【答案】可做成甲种小盒30个，乙种小盒60个．
【解析】设可做成甲种小盒x个，乙种小盒y个．
根据题意，得 解得
答：可做成甲种小盒30个，乙种小盒60个．
25．（6分）（2020天门模拟）开学后，书店向学校推销两种素质教育用书，如原价买这两种书共需880元，书店推销的第一种书打了八折，第二种书打了七五折，如果两种书共少要了220元，问原来买每种书各需多少元？
【答案】第一种书需400元，第二种书需480元.
【解析】设原来买第一种书x元，第二种书y元，则解之.
第一种书需400元，第二种书需480元。
26.（8分）（2020武汉模拟）新型冠状肺炎给人类带来了灾难.口罩是抗击新冠肺炎的重要战略物资，急需大量口罩．某企业接到任务，须在规定时间内生产一批口罩．如果按原来的生产速度，每天生产120万个口罩，那么在规定时间内只能完成任务的90%．为按时完成任务，该企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生产160万个口罩，刚好提前一天完成任务．问规定时间是多少天？生产任务是多少万个口罩？
【答案】规定时间是6天，生产任务是800顶帐篷．
【解析】设规定时间为x天，生产任务是y万个口罩，
由题意得，，
解得：．
答：规定时间是6天，生产任务是800万个口罩．
27．（8分）（2020威海模拟）某家电生产企业根据市场调查，决定生产方案如下：每周（按120个工时计算）生产空调、彩电、冰箱，其中冰箱占60台，已知每生产一台家电所需工时和产值如下表，
家电名称
空调
彩电
冰箱
工时



产值（万元）
4
3
2




问每周生产彩电、空调各多少台，才能使总产值是980万元？
【答案】空调170台，彩电60台.
【解析】设生产空调x台，彩电y台，
则，解得，
空调170台，彩电60台.
28．（8分）（2020青岛一中模拟）某校举办八年级学生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧板拼图，趣题巧解，数学应用，魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，下表为甲，乙，丙三位同学得分情况（单位：分）

七巧板拼图
趣题巧解
数学应用
魔方复原
甲
66
89
86
68
乙
66
60
80
68
丙
66
80
90
68
（1）比赛后，甲猜测七巧板拼图，趣题巧解，数学应用，魔方复原这四个项目得分分别按10%，40%，20%，30%折算△记入总分，根据猜测，求出甲的总分；
（2）本次大赛组委会最后决定，总分为80分以上（包含80分）的学生获一等奖，现获悉乙，丙的总分分别是70分，80分．甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后的分数和是20分，问甲能否获得这次比赛的一等奖？
【答案】（1）甲的总分为79.8；（2）甲能获一等奖．
【解析】（1）由题意，得
甲的总分为：66×10%+89×40%+86×20%+68×30%=79.8；
（2）设趣题巧解所占的百分比为x，数学运用所占的百分比为y，由题意，得
，
解得：，
∴甲的总分为：20+89×0.3+86×0.4=81.1＞80，
∴甲能获一等奖．