二次函数18精讲 专题11 二次函数中的相似三角形判定问题

专题11 二次函数中的相似三角形判定问题
1、如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点O、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），与x轴交于点C，直线AB交x轴于点D，交y轴于点E．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）直线AF⊥x轴，垂足为点F，AF上取一点G，使△GBA∽△AOD，求此时点G的坐标；
（3）过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N，若∠BMN=∠OAF，求直线BM的函数表达式．
【解析】（1）【解析】将原点O（0,0）、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），分别代入y=ax2+bx+c，
得 ，解得 ，∴y=x2-4x= ，∴顶点为（2，-4）.
（2）【解析】设直线AB为y=kx+b，
由点A（2，-4），B（3，-3），得 解得 ，∴直线AB为y=x-6.
当y=0时，x=6，∴点D（6，0）.
∵点A（2，-4），D（6,0），B（3，-3），
∴OA= ，OD=6，AD= ，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ，
∴DF=AF，又∵AF⊥x轴，∴∠AD0=∠DAF=45°，
∵△GBA∽△AOD，∴ ，∴ ，解得 ，
∴FG=AF-AG=4- ，
∴点G（2， ）.
（3）【解析】如图1，

∵∠BMN=∠OAF， ，∴∠MBN=∠AOF，设直线BM与AF交于点H，
∵∠ABH=∠AOD，∠HAB=∠ADO，∴
∴ ，，得AH= ，∴H（2， ）.
设直线BM为y=kx+b，∵将点B、G的坐标代入得 ，解得 ．
∴直线BM的解析式为y= ；如图2，

BD=AD-AB= ．∵∠BMN=∠OAF，∠GDB=∠ODA，∴△HBD∽△AOD．
∴ ，即 ，解得DH=4．∴点H的坐标为（2，0）．
设直线BM的解析式为y=kx+b．
∵将点B和点G的坐标代入得： ，解得k=-3，b=6．∴直线BM的解析式为y=-3x+6．
综上所述，直线MB的解析式为y= 或y=-3x+6．
2、在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为.
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标.

【分析】
(1)利用待定系数法进行求解即可得；
(2)由关于原点对称的点的坐标特征可知点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，利用待定系数法求得抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，根据PD⊥y轴，可得点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，可得PD＝m，OD＝m2－5m＋6，再由Rt△POD与Rt△AOB相似，分Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，根据相似三角形的性质分别进行求解即可得.
【解析】
(1)由题意，得，解得：，∴L：y=－x2－5x－6；
(2)∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为，
∴点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，
∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6，
将A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，
∵A(－3，0)，B(0，－6)，∴AO＝3，OB＝6，
设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，
∵PD⊥y轴，∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，
∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，∵Rt△PDO与Rt△AOB相似，
∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，
①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则，即，解得m1＝1，m2＝6，
∴P1(1，2)，P2(6，12)；
②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则，即，解得m3＝，m4＝4，
∴P3(，)，P4(4，2)，
∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).

【小结】
本题考查的是二次函数综合题，涉及了待定系数法、关于原点对称的抛物线的特点、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键.

3、如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交二次函数图象的对称轴于点，若点C为的中点.

（1）求的值；
（2）若二次函数图象上有一点，使得，求点的坐标；
（3）对于（2）中的点，在二次函数图象上是否存在点，使得∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【分析】
（1）设对称轴与轴交于点，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA的长，进而可得点A的坐标，再把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出m的值；
（2）设点Q的横坐标为n，当点在轴上方时，过点Q作QH⊥x轴于点H，利用可得关于n的方程，解方程即可求出n的值，进而可得点Q坐标；当点在轴下方时，注意到，所以点与点关于直线对称，由此可得点Q坐标；
（3）当点为x轴上方的点时，若存在点P，可先求出直线BQ的解析式，由BP⊥BQ可求得直线BP的解析式，然后联立直线BP和抛物线的解析式即可求出点P的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P是否满足条件；当点Q取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可.
【解析】（1）设抛物线的对称轴与轴交于点，如图1，∴轴，∴，
∵抛物线的对称轴是直线，∴OE=1，∴，∴
∴将点代入函数表达式得：，∴；

（2）设，
①点在轴上方时，，如图2，过点Q作QH⊥x轴于点H，∵，∴，解得：或（舍），∴；

②点在轴下方时，∵OA=1，OC=3，∴，∵，∴点与点关于直线对称，∴；
（3）①当点为时，若存在点P，使∽，则∠PBQ=∠COA=90°，
由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：，
联立方程组：，解得：，，∴，
∵，，
∴，∴不存在；

②当点为时，如图4，由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：，
联立方程组：，解得：，，∴，
∵，，∴，∴不存在.

综上所述，不存在满足条件的点，使∽.
【小结】本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数和两个函数的交点等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握上述知识、灵活应用分类和数形结合的数学思想是解题的关键.

4、如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，［a，b，c］称为“抛物线系数”．
（1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是______（填“真”或“假”）命题；
（2）若一条抛物线系数为［1，0，－2］，则其“抛物线三角形”的面积为________；
（3）若一条抛物线系数为［－1，2b，0］，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；
（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB，如果存在，求出P点坐标，如果不存在，请说明理由．
【解析】
（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；
（2）由题意得：y=x2-2，令y=0，得：x=±2，∴ S=12×22×2=22；
（3）依题意：y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；
当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．
∵y＝－x2＋2bx=-(x-b)2+b2，∴顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：b2=12×2b，∴b2=b，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，
∴y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x．
（4）①当抛物线为y＝－x2＋2x 时．
∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，
∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），
则｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即a(a-2)=a-2．
∵a－2≠0，∴a=1，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1， －3）．
②当抛物线为y＝－x2－2x 时．
∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，
∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），
则｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即a(a+2)=a+2．
∵a+2≠0，∴a=1，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．
综上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．

5、如图1，一次函数y＝﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、D两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），若ABAD=23；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连结AC、BD，问在x轴上是否存在一个动点Q，使A、C、Q三点构成的三角形与△ABD相似．如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，且在直线AD下方，（点P不与点A、点D重合），过点P作y轴的平行线l与直线AD交于点M，点N在直线AD上，且满足△MPN∽△ABD，求△MPN面积的最大值．

【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则D（3，0）；
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则A（3，0），
∵OD＝OA，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∴AD＝32，
∵ABAD=23，
∴AB＝2，
∴B（1，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把D（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣3）＝3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；
（2）作CH⊥x轴，如图1，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴C（2，﹣1）
∴AH＝CH＝1，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴∠CAH＝45°，AC＝2，
∵△OAD为等腰直角三角形，
∴∠DAO＝45°，
∵∠CAQ＝∠DAB，
∴当AQAD=ACAB时，△AQC∽△ADB，即AQ32=22，解得AQ＝3，此时Q（0，0）；
当AQAB=ACAD时，△AQC∽△ABD，即AQ2=232，解得AQ＝23，此时Q（73，0）；
综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（73，0）；
（3）作PE⊥AD于E，如图2，
∵△MPN∽△ABD，
∴MNAD=MPAB，
∴MN＝322MP，
设P（x，x2﹣4x+3），则M（x，﹣x+3），
∴MP＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣32）2+94，
当x＝32时，MP有最大值94，
∴MN的最大值为322×94＝2728，
∵∠PME＝45°，∴PE＝22PM，∴PE的最大值为22×94＝928，
∴△MPN的面积的最大值为12×2728×928＝24364 ．


6、已知，抛物线（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；
（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使，求点P的坐标；
（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．

【解析】（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1，点A（3，0），
∴根据抛物线的对称性知点B的坐标为（﹣1，0），OA=3，
将A（3，0），B（﹣1，0）代入抛物线解析式中得：，解得：，
∴抛物线解析式为；
当x=1时，y=4，∴顶点D（1，4）．
（2）当=0时，∴点C的坐标为（0，3），
∴AC= =，CD==，AD= =，
∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，∴AD为△ACD外接圆的直径，
∵点E在 轴C点的上方，且CE=，∴E（0，），
∴AE= =，DE= =，
∴DE2+AD2=AE2，∴△AED为直角三角形，∠ADE=90°，∴AD⊥DE，
又∵AD为△ACD外接圆的直径，
∴DE是△ACD外接圆的切线；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，根据题意得：，解得：，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+3，∵A（3，0），D（1，4），
∴线段AD的中点N的坐标为（2，2），
过点N作NP∥AC，交抛物线于点P，
设直线NP的解析式为y=﹣x+c，则﹣2+c=2，解得：c=4，
∴直线NP的解析式为y=﹣x+4，
由y=﹣x+4，y=﹣x2+2x+3联立得：﹣x2+2x+3=﹣x+4，
解得：x=或x=，∴y=，或y=，∴P（，）或（，）；
（4）分三种情况：
①M恰好为原点，满足△CMB∽△ACD，M（0，0）；
②M在x轴正半轴上，△MCB∽△ACD，此时M（9，0）；
③M在y轴负半轴上，△CBM∽△ACD，此时M（0，﹣）；
综上所述，点M的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣）．


7、如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】 (1) y＝－12x2＋52x－2;(2)点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).
【解析】(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，
∴可设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.
将A(4，0)，B(1，0)代入，得16a+4b-2=0a+b-2=0，解得 a=-12b=52 ，
∴此抛物线的解析式为y＝－12x2＋52x－2.
(2)存在，
设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为－12m2＋52m－2，
当1＜m＜4时，AM＝4－m，PM＝－12m2＋52m－2.又∵∠COA＝∠PMA＝90°，
∴①当AMPM＝AOOC＝21时，△APM∽△ACO，即4－m＝2(－12m2＋52m－2)．
解得m1＝2，m2＝4(舍去)，∴P(2，1)．
　②当AMPM＝OCOA＝12时，△APM∽△CAO，即2(4－m)＝－12m2＋52m－2.
解得m1＝4，m2＝5(均不合题意，舍去)，∴当1＜m＜4时，P(2，1)．
类似地可求出当m＞4时，P(5，－2)．
当m＜1时，P(－3，－14)或P(0，－2)，
综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).

8、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【解析】(1)将A(0，1)，B(9，10)代入函数解析式得：
×81＋9b＋c＝10，c＝1，解得b＝−2，c＝1，所以抛物线的解析式y＝x2−2x＋1；
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，∴x2−2x＋1＝1，解得x1＝6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(6，1)，
∵点A(0，1)，点B(9，10)，∴直线AB的解析式为y＝x＋1，设P(m，m2−2m＋1)，∴E(m，m＋1)，
∴PE＝m＋1−(m2−2m＋1)＝−m2＋3m.
∵AC⊥PE，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC⋅EF＋AC⋅PF＝AC⋅(EF＋PF)＝AC⋅EP
＝×6(−m2＋3m)＝−m2＋9m.
∵0 (3)∵y＝x2−2x＋1＝(x−3)2−2，
P(3，−2)，PF＝yF−yp＝3，CF＝xF−xC＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，
同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的点Q，
设Q(t，1)且AB＝，AC＝6，CP＝，
∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
CQ:AC＝CP:AB，(6−t):6＝，解得t＝4，所以Q(4，1)；
②当△CQP∽△ABC时，
CQ:AB＝CP:AC，(6−t)6，解得t＝−3，所以Q(−3，1).
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为(4，1)或(−3，1).

9、如图，已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥ x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）若抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）①如图1，
∵y=-2x2+2x+4=-2(x-12)2+92，
∴顶点为M的坐标为(12，92)，当x=12时，y=-2×12+4=3，则点N坐标为(12，3)；
②不存在．理由如下：
MN=92-3=32，
设P点坐标为(m,-2m+4)，则D(m,-2m2+2m+4)，
∴PD=-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m，
∵PD//MN，
当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即-2m2+4m=32，解得m1=12（舍去），m2=32，此时P点坐标为(32，1)，
∵PN=(12-32)2+(3-1)2=5，∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不为菱形，
∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；
（2）存在．
如图2，OB=4，OA=2，则AB=22+42=25，
当x=1时，y=-2x+4=2，则P(1,2)，∴PB=12+(2-4)2=5，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4，
把A(2,0)代入得4a+2b+4=0，解得b=-2a-2，∴抛物线的解析式为y=ax2-2(a+1)x+4，
当x=1时，y=ax2-2(a+1)x+4=a-2a-2+4=2-a，则D(1,2-a)，∴PD=2-a-2=-a，
∵DC//OB，∴∠DPB=∠OBA，
∴当PDBO=PBBA时，ΔPDB∽ΔBOA，即-a4=525，解得a=-2，此时抛物线解析式为y=-2x2+2x+4；
当PDBA=PBBO时，ΔPDB∽ΔBAO，即-a25=54，解得a=-52，此时抛物线解析式为y=-52x2+3x+4；
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4或y=-52x2+3x+4．

10、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），
∴，解得，∴抛物线的解析式为.
（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，
∴P（m，），G（m，4），∴PG=.
（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．
∵，∴当y=0时，，解得x=1或﹣3，∴D（﹣3，0）．
当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．
设直线BD的解析式为y=kx+4，将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k=.
∴直线BD的解析式为y=x+4. ∴H（m，m+4）．
分两种情况：
①如果△BGP∽△DEH，那么，即.
由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1.
②如果△PGB∽△DEH，那么，即.
由﹣3＜m＜0，解得m=．
综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或．

11、如图，一次函数y＝﹣x﹣2的图象与二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象交于x轴上一点A，与y 轴交于点B，在x轴上有一动点C．已知二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与y轴交于点D，对称轴为直线x＝n（n＜0），n是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，连接AD．
（1）求二次函数的解析式．
（2）当S△ACB＝3S△ADB 时，求点C的坐标．
（3）试判断坐标轴上是否存在这样的点C，使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB 相似？若存在，试求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】
（1）在y=-x-2中，令y=0，则x=-2
∴A（-2，0）．
由2x2-3x-2=0，得x1=-12，x2=2，
∴二次函数y=ax2+bx-4的对称轴为直线x=-12，
∴4a-2b-4＝0-b2a＝-12，解得a＝2b＝2，∴二次函数的解析式为：y=2x2+2x-4；
（2）∵S△ADB=12BD•OA=2，
∴S△ACB=3S△ADB=6．
∵点C在x轴上，
∴S△ACB=12AC•OB=12×2AC=6，
∴AC=6．
∵点A的坐标为（-2，0），
∴当S△ACB=3S△ADB时，点C的坐标为（4，0）或（-8，0）；
（3）存在．
理由：令x=0，一次函数与y轴的交点为点B（0，-2），
∴AB=22+22=22，∠OAB=∠OBA=45°．
∵在△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD=180°-45°=135°，
∴点C在点A的左边．
①AC与BD是对应边时，∵△ADB∽△BCA，
∴ACAB=ABBD=1，
∴AC=BD=2，
∴OC=OA+AC=2+2=4，
∴点C的坐标为（-4，0）．
②当AC与AB是对应边时，∵△ADB∽△CBA
∴ACAB=ABBD=222，
∴AC=2AB=2×22=4，
∴OC=OA+AC=2+4=6，
∴点C的坐标为（-6，0）．
综上所述，在x轴上有一点C（-4，0）或（-6，0），使得以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．

12、如图，抛物线（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；
（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵抛物线（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），点C（0，4），
∴，解得．
∴直线AC的解析式为．
∵点M的横坐标为m，点M在AC上，
∴M点的坐标为（m，）．
∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，
∴点P的坐标为（m，）．
∴PM=PE－ME=（）－（）=．
∴PM=（0＜m＜3）．
（3）在（2）的条件下，连接PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：
由题意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==，
若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：
①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，
即（）：（3－m）=m：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=．
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME．
∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．
在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，
∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°．
∴△PCM为直角三角形．
②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，
即m：（3－m）=（）：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=1．
∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME．
∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM．
∴△PCM为等腰三角形．
综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．

13、如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．
⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；
⑵求证：△ABC是直角三角形；
⑶若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1，
又抛物线过原点，
∴0=a（0-1）2+1，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+1，
即y=-x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得y=-x2+2xy=x-2 ,解得x=2y=0或x=-1y=-3 ,
∴B（2，0），C（-1，-3）；
（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，

则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，-x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|-x2+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=2 ，BC=32，
∵MN⊥x轴于点N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时有MNAB=ONBC或MNBC=ONAB，
当MNAB=ONBC时，则有-x2+2x2=x32 ，即|x||-x+2|=13|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，
∴x≠0，
∴|-x+2|=13，即-x+2=±13 ，解得x=53 或x=73 ，
此时N点坐标为（53，0）或（73，0）；
②当MNBC=ONAB时，则有-x2+2x32=x2，即|x||-x+2|=3|x|，
∴|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，
此时N点坐标为（-1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（53 ，0）或（73 ，0）或（-1，0）或（5，0）．

14、如图，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是对角线BD上的一个动点，作PF⊥BD于P，交边BC于点F（点F与点B、C都不重合），E是射线FC上一动点，连接PE、ED，并一直保持∠EPF=∠FBP，设B、P两点的距离为x，△DEP的面积为y
（1）求出tan∠PBF；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围
（3）当△DEP与△BCD相似时，求△DEP的面积

【答案】（1）；（2）；（3）当∠DEP=90°时，面积为；当∠PDE=90°时，面积为
【解析】
(1)∵四边形ABCD是矩形,


又

即
又


,即

如图,作垂足为H,则
又


设则,
,
又
由勾股定理得：

=

又

当△DEP与△BCD相似时,
只有两种情况:∠DEP=∠C=90°或∠EDP=∠C=90°
①当∠DEP=90°,
∵∠DPE+∠PDE=90°，即∠PDE=∠CBD，∴BE=DE
设CE=a,则BE=DE=4-a
在Rt△DEC中,勾股定理得，解之，则,
又∵△BCD的面积=4，，
②当∠EDP=90°,如图2,


，，，

15、如图，已知抛物线＝与轴交于、两点，与轴交于点，且＝．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点是线段上的一个动点（不与、重合），分别以、为一边，在直线的同侧作等边三角形和，求的最大面积，并写出此时点的坐标；
（3）如图，若抛物线的对称轴与轴交于点，是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线与轴交于点．是否存在点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）令＝得，＝，∴，∴＝＝，∴，
代入抛物线表达式得：＝，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
（2）如图，过点作轴于，过点作轴于，

由抛物线得：，
设，的面积为，
则，，，，
∴＝，
S，
∵，∴当＝时，有最大值是，
∴的最大面积是，此时点的坐标是，
（3）存在点，使得与相似．有两种可能情况：①；②，
由抛物线得：，对称轴为直线＝，
∴＝，＝，＝，
①若，则，∴，解得＝，
∴点的坐标是或，
若点的坐标是，则直线为：＝，
解方程组，得：，（不合题意，舍去），
此时满足条件的点的坐标为，
若点的坐标是，
同理可求得满足条件的点的坐标为，
②若，
同理也可求得满足条件的点的坐标为，
满足条件的点的坐标为，
综上所述，存在满足条件的点，点的坐标为：
、、或