2021年高考数学一轮复习夯基练习：古典概型(含答案)
展开夯基练习 古典概型
一 、选择题
1.从长度为1，3，5，7，9五条线段中任取三条能构成三角形的概率是( )
A. B. C. D.
2.在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是( )
A． B． C． D．
3.抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于( )
A、 B、 C、 D、
4.给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个给甲打电话的概率是( )
A． B． C． D．
5.已知某人在某种条件下射击命中的概率是，他连续射击两次，其中恰有一次射中的概率是( )
A、 B、 C、 D、
6.一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y>x，y>z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1，2，3，4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )
A． B． C． D．
7.下列事件中，随机事件是( )
A、连续两年的国庆节都是星期日 B、国庆节恰为星期日
C、相邻两年的国庆节，星期几不相同 D、国庆节一定不在星期日
8.《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A. B. C．1－ D．1－
9.一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是( )
A. B． C. D．
10.掷一枚骰子三次，所得点数之和为10的概率是( )
A、 B、 C、 D、
11.袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为( )
A、 B、 C、 D、
12.某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这三个项目都有人参加的概率为( )
A. B． C. D．
二 、填空题
13.一箱内有十张标有0到9的卡片,从中任取一张,则取到卡片上的数字不小于6的概率是多少?
14.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
15.一个正方体，它的表面涂满了红色，切割为27个同样大小的小正方体，从中任取一个，它恰有一个面涂有红色的概率是________．
16.某优秀学习小组有6名同学，坐成三排两列，现从中随机抽取2人代表本小组展示小组合作学习成果，则所抽的2人来自同一排的概率是________．
三 、解答题
17.甲、乙二人参加知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题、
①甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?
②甲、乙二人中至少有一个抽到选择题的概率是多少?
18.某校为了解高一学生周末的阅读时间，从高一年级中随机抽取了100名学生进行调查，获得了每人的周末阅读时间(单位：h)，按照[0,0.5)，[0.5，1)，…，[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计该校高一学生周末阅读时间的中位数；
(3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好都在同一个组的概率．
19.某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一次期中考试中，两个小组同学的成绩如下：
甲组：94，69，73，86，74，75，86，88，97，98；
乙组：75，92，82，80，95，81，83，91，79，82．
(1)画出这两个小组同学成绩的茎叶图，判断哪一个小组同学的成绩差异较大，并说明理由；
(2)从这两个小组成绩在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习经验，求选出的2位同学不在同一个小组的概率．
20.在第1，3，5，8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站只能停靠一辆汽车），有1位乘客等候第1路或第3路汽车、假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，求首先到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率、
参考答案
1.B
2.答案为：A；
解析：
在1，2，3，6中随机取出三个数，所有的可能结果为(1，2，3)，(1，2，6)，(1，3，6)，
(2，3，6)，共4种，其中数字2是这三个不同数字的平均数的结果有(1，2，3)，
共1种．由古典概型概率公式可得所求概率为P=．故选A．
3.C
4.答案为：B
解析：
给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，
故所求概率为P==．
5.C
6.答案为：B；
解析：从集合{1，2，3，4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，其中是“凸数”的是132，142，143，231，241，243，341，342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为=．故选B．
7.B
8.答案为：D；
解析：直角三角形的斜边长为=17，设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r=17，解得r=3.
∴内切圆的面积为πr2=9π，∴豆子落在内切圆外的概率P=1－=1－.
9.答案为：B.
解析：3卷文集随机排列的情况有(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种，
卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的只有2种情况，
所以卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是=.
10.B
11.D
12.答案为：B.
解析：基本事件总数n=34=81，这三个项目都有人参加所包含的基本事件个数m=CA=36，
故这三个项目都有人参加的概率为P===.
二 、填空题
13.
14.答案为：；
解析：
先后抛掷2次骰子，所有可能出现的情况共36个，其中点数之和不小于10的有
(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个，
从而点数之和小于10的有30个，故所求概率P==．
15.答案为：；
解析：
研究涂红后的正方体的六个面，发现每个面中仅最中间那块只有一个面涂有红色，
故所求概率为=．
16.答案为：0.2；
解析：某优秀学习小组有6名同学，坐成三排两列，现从中随机抽取2人代表本小组展示小组合作学习成果，基本事件总数n=15，所抽的2人来自同一排包含的基本事件个数m=CC=3，
则所抽的2人来自同一排的概率是P===.
三 、解答题
17.解：①甲从选择题中抽到一题的可能结果有C61个，乙从判断题中抽到一题的可能结果有C41个，又甲、乙依次抽一题的结果共有C101·C91个，所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是：
＝
②甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为
1-＝、所求概率为
或：++＝++＝，所求概率为
18.解：
(1)由频率分布直方图可知，
周末阅读时间在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4，
4．5]的频率分别为0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02，
由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)=0.5×a＋0.5×a.解得a=0.30.
(2)设中位数为m h.
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25=0.72＞0.5，
而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20=0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5.
由0.50×(m－2)=0.5－0.47，解得m=2.06.
故可估计该校高一学生周末阅读时间的中位数为2.06 h.
(3)由题意得周末阅读时间在[1,1.5)，[1.5,2)中的学生分别有15人、20人，
按分层抽样的方法应分别抽取3人、4人，
故抽取的两人恰好都在同一个组的概率为=.
19.解：
(1)茎叶图如图：
由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，
所以甲组同学的成绩差异较大．
(也可通过计算方差说明，s=101．6，s=37．4，s>s)
(2)设甲组成绩在90分以上的三位同学为A1，A2，A3；
乙组成绩在90分以上的三位同学为B1，B2，B3．从这6位同学中选出2位同学，
共有15个基本事件，列举如下：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)；
(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)；
(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)；
(B1，B2)，(B1，B3)；
(B2，B3)．
其中，从这6位同学中选出的2位同学不在同一个小组的基本事件有9个，
所以所求概率P==．
20.解：记“首先到站的汽车正好是这位乘客所要乘的汽车”为事件A，则事件A的概率P(A)=
答：首先到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率为
