专题07：2020-2021学年高一年级数学上学期期末复习通关秘笈函数的性质及应用解析版

函数的性质及其应用

一、函数的单调性及应用

1、函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

答案： B

解析： 由题意，可得，解得或，

所以函数的定义域为，

二次函数的对称轴为，且在上的单调递增区间为，

根据复合函数的单调性，可知函数的单调递增区间是.

故选：B.

2、（多选）函数在下列区间（    ）上单调递减．

A． B． C． D．

答案： AC

解析：

解：因为，函数图象如下所示：

由图可知函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和

故选：AC

3、已知函数，则的单调递増区间为________和________.

答案：     .   

解析： 根据题意，，

当时，，在区间上为增函数，在上为减函数；

当时，，在区间上为增函数，在上为减函数，

则的单调递增区间为和；

故答案为：和.

4、函数的单调递减区间为________

答案：    

解析： (欲求函数单调递减区间，根据指数函数的单调性，只求函数的单调增区间即可;

(2)求出内层函数值域再求外层函数值域得解.

详解：(1)令，得函数定义域为，

所以在上递增，在递减．根据“同增异减”的原则，

函数的单调递增区间是．

【点睛】

本题考查了复合函数的单调性和值域,将复合函数拆成两个简单函数,再讨论会比较容易. 当遇到函数综合应用时，处理的优先考虑“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域．

5、函数的单调递增区间是___________．

答案：    

解析： 求出函数的定义域，由复合函数的单调性得增区间，设，把函数转化为二次函数，求值域（注意新元的取值范围）．

详解：由得或，是减函数，在上递减，在上递增，所以增区间是，

6、设，则的解集是___________.

答案：

解析： 当时，，解集为，

当时，，解得：，

所以不等式的解集是.

故答案为：

7、已知函数，则关于的不等式的解集为______.

答案：

解析： 如图，根据图像，由，

可得，解得：，

故解集为，

故答案为：.

8、已知函数则不等式的解集为（    ）

A． B． 

C．， D．

答案： A

解析：

当时，令，解得或，

当时，令，解得.

画出和的图象如下图所示，由图可知的解集为.

故选：A

9、已知 则不等式的解集是______.

答案：

解析： 由图可得令：解得（舍去）或

在上单调递增

解得故不等式的解集是

故答案为：

（多选）10、已知函数，，则不等式的解集不正确的为（    ）

A．（1，2） B．（1，4） C．（0，2） D．

答案： BCD

解析： ，，在上单调递增，

，

，解得，

或，解得，

综上所述，不等式的解集为．

故选：BCD

11、已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

答案： A

解析： 因为函数在上单调递减，

所以 ，

解得，

所以a的取值范围是，

故选：A

12、已知函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是_________．

答案：

解析： 因为函数是上的增函数，

所以，解得，

所以实数a的取值范围是.

故答案为：.

13、已知函数f(x)＝，在(0，a－5)上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）

A．[6，8] B．[6，7] C．(5，8] D．(5，7]

答案： D

解析：

函数，画出函数的大致图象，如图所示：

函数在上单调递减，

由图象可知：，解得：，

故实数的取值范围是：,.

故选：.

14、已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是___________.

答案：

解析： 由得，设，则，∴是减函数，

∴，解得．

故答案为：．

15、已知，满足对任意，都有成立，那么，都有成立，那么的取值范围是_____．

答案：

解析：

因为，满足对任意，都有成立，那么，都有成立，

所以是R上的增函数，

所以，解得，

所以的取值范围是

故答案为：

16、已知函数，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

答案： B

解析：

因为函数在上递减，在上递增，又，

所以，且，令，则，

所以，，

所以，

设函数，，

∵在上单调递增，

∴，即，

∴，

故选：B．

二、函数的奇偶性及其应用

1、若定义域为的函数是偶函数，则______，______.

答案： 2    0   

解析： 偶函数的定义域为，则，解得，所以，

满足的对称轴关于轴对称，所以对称轴，解得.

故答案为：2；0

2、若函数为偶函数，则k＝_____，f（0）＝_____．

答案：        

解析： 因为为偶函数，所以，

，即，

所以；

.

故答案为：.

3、已知函数（其中、是常数），且，则_________．

答案： 5

解析： 由函数，得．

所以，所以．

又，所以．

故答案为：5

4、对于定义在R上的奇函数，满足，则（    ）

A．0 B．－1 C．3 D．2

答案： A

解析： 因为是定义在R上奇函数，所以有，

又因为，所以，

，所以，

所以.

故选：A.

5、(1)已知函数是定义在R上的偶函数,且当时,,则当时,_____.

(2)已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则函数的解析式为_____.

答案：

解析：

(1)当时,,则.

因为函数是定义在R上的偶函数,所以当时,.

(2)当时,,则.

由于函数是定义在R上的奇函数,故当时,.

因为函数是定义在R上的奇函数,所以.

综上,函数的解析式为

答案:(1)(2)

6、函数是定义在上的奇函数，且当时，，则________；不等式的解集为________．

答案： 2       

解析： 设，则，所以，

因为是定义在上的奇函数，所以，

即，所以，

当时，，解得，

当时，，解得，

所以的解集为，

故答案为：①2；②．

7、已知偶函数在单调递减，若，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

答案： C

解析： 因为是偶函数，所以，

又，，在单调递减，

所以，即.

故选：C

8、若为奇函数，则______________，此时，不等式的解集为_____________.

答案：        

解析： 由题意知,

对任意恒成立,

所以是定义在上的奇函数,

所以,

即，

所以;

所以,

易知是定义在上的减函数,

因为,

所以原不等式可化为

由是定义在上的减函数，

所以,

即，

解得，

故答案为；

9、已知定义域为的奇函数，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

答案： D

解析： 因为为定义在上的奇函数，所以，所以，所以，

此时，，所以此时为奇函数，故满足条件，

所以且在上为增函数，

因为，所以，所以，

所以，所以，所以不等式的解集为，

故选：D .

（多选）10、已知函数在上为增函数，且函数是上的偶函数，若，则实数的取值范围可以是（    ）

A． B． C． D．

答案： BD

解析： 函数在上为增函数，且函数是上的偶函数，

关于对称，且在单调递减，

当时，由可得，；

当时，则等价于，可解得，，

综上，或.

故选：BD.

11、已知函数的定义域为，且在上是增函数，，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

答案： C

解析： 由于函数的定义域为，且在上是增函数，

由可得，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：C.

12、已知是定义在上的奇函数且单调递增，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

答案： A

解析： 由题意，函数是定义在上的奇函数，所以，

则不等式，可得，

又因为单调递增，所以，解得，

故选：.

（多选）13、已知定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，则下列结论正确的是（    ）

A． B．在上单调递增

C． D．可以是

答案： AC

解析： 在中，令，得，

又因为是偶函数，所以，故，故A正确；

因为，故 对任意的x恒成立，故的周期为，因为在上是单调减函数，故在上也是减函数，故B错误；

又，故C正确；

若，则，这与在上单调递减相矛盾，故D错误.

故选：AC．

（多选）14、已知是定义在上的奇函数，当时，，下列说法正确的是（    ）

A．时，函数解析式为

B．函数在定义域上为增函数

C．不等式的解集为

D．不等式恒成立

答案： BC

解析： 对于A，设，，则，

又是奇函数，所以，

即时，函数解析式为，故A错；

对于B，，对称轴为，所以当时，单调递增，由奇函数图像关于原点对称，所以在上为增函数，故B对；

对于C，由奇函数在上为增函数，则时，，解得，（舍去），即，

所以不等式，转化为，

又在上为增函数，得，解得，

所以不等式的解集为，故C对；

对于D，当时，

，

当时，

不恒大于0，故D错；

故选：BC

15、设函数

(1)求的定义域;

(2)判断的奇偶性;

(3)求的值.

答案： (1)；(2)偶函数；(3)0

试题分析：（1）使函数表达式有意义，只需即可求解.

（2）首先由（1）判断函数的定义域关于原点对称，再利用奇偶性定义进行判断即可.

（3）由，即可求解.

详解：解:(1)要使有意义,则,∴.

∴的定义域为;

(2)由(1)知定义域关于原点对称,

.

为偶函数.

(3)

,

.

【点睛】

本题考查了求函数的定义域、函数的奇偶性定义以及求函数值，在利用定义判断函数奇偶性时需首先判断函数的定义域是否关于原点对称，属于基础题.

三、函数的周期性与对称性及其应用

1、已知在上是偶函数，且满足，当时，，则(    )

A．2 B．-2 C．-98 D．98

答案： A

解析： 利用函数周期性和奇偶性可得，再代入当时，，可得结果.

【详解】

解：，则是周期为4的周期函数，又在上是偶函数，

则，

故选：A.

【点睛】

本题考查函数周期性和奇偶性的应用，是基础题.

2、已知函数对于任意实数满足条件，若，则________.

答案：

解析： 由条件“”推出函数的周期即可

【详解】

因为，

所以

即函数的周期是4，所以

又因为，所以

故答案为：

【点睛】

1. 若，则

2. 若，则

3.若，则

3、定义在上的奇函数又是周期为4的周期函数，已知在区间上，，则__________；__________．

答案： 0    1   

解析： ∵定义在上的奇函数又是周期为4的周期函数

∴，解得

∵是周期为4的周期函数，∴

∵周期为4的周期函数，∴

∴，∴

∵定义在上的奇函数

∴

∴

∵在区间上，，

∴，解得，.

故答案为：；

4、已知函数是定义在上的奇函数，且满足.当时，，则__________，_________.

答案： 0    1   

解析： 因为函数是定义在上的奇函数，

所以，

，

，

，

，

，

函数的周期.

，

.

故答案为：0，1

5、设函数满足，且对任意，都有，则=_________.

答案： 2021

解析： 令，得，

令得，即，

所以，

所以，

故答案为：2021

6、已知是偶函数，对满足，当时，.则_________；若关于的方程恰有四个不相等的实数根，则_________.

答案： 1       

解析： 因为对满足，所以函数的周期为2，

因为，所以，

因为当时，，所以当时，，

所以，

因为关于的方程恰有四个不相等的实数根，

所以函数与函数的图象恰有四个交点，

作出函数在内的图象，并根据函数的周期性作出函数的部分图象如图：

由图可知，当直线经过点时，两个函数的图象恰有四个交点，

所以.

故答案为：1.

7、已知定义在上的函数满足，时，，则（    ）

A． B． C． D．

答案： D

解析： 根据题意，分析可得，即是周期为的周期函数，结合函数的解析式求出的值，分析可得的值，进而可得，又由，分析可得答案．

详解：根据题意，函数满足， 则，即是周期为的周期函数，

当时，，则 ，，

又由，则，，

所以，

所以.

故选：D．

【点睛】

本题考查函数的周期性的应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．

8、函数对任意正整数满足条件·，且则（    ）

A．4032 B．2016 C．1008 D．

答案： B

解析：

，，

.

故选：B

9、（多选）定义在R上的函数满足，当时，则（    ）

A．的图象关于直线对称 B．不可能是周期为6的函数

C．在区间上单调递增 D．不等式的解集一定非空

答案： AD

解析： 因为，所以的图象关于，即对称，故A正确；

根据对称性，当时的图象与当时的图象关于直线对称，此时区间长度正好为6，所以可以是周期为6的函数，故B错误；

根据对称性，

当时

因此在区间上单调递增，在区间上单调递减，故C错误；

当时，，即不等式的解集一定非空，胡D正确；

故选：AD

10、（多选）已知定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则下列结论正确的是（    ）

A．直线是的一条对称轴 B．是周期为2的周期函数

C．在上单调递减 D．是函数的一个零点

答案： ABC

解析： 由知：，即的周期为2，

∵是定义在R上的偶函数且在上单调递增，

∴上单调递减，且， 即是函数的一条对称轴.

由周期性知：在上单调递减，也是一条对称轴.

函数任意一点的函数值都未知，所以不能确定函数的零点，

故选：ABC

11、设函数在上满足，且在闭区间，上只有，则方程在区间上的实数根的个数为_____．

答案： 807

解析： 根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得在，和，上均有有两个解，从而可知函数在，上有402个解，在，上有400个解，综合可得答案．

【详解】

在上满足，，

，，

，

，

又（3）（1），

，

故在，和，上均有有两个解，

从而可知函数在，上有404个解，在，上有403个解，

所以函数在上有807个解．

故答案为：807.

【点睛】

本题考查函数的周期性、根的存在性、根的个数判断，考查逻辑推理能力和运算求解能力．

12、定义在上的奇函数满足，且当时，，则方程在上的所有根的和为（    ）

A． B． C． D．

答案： D

解析： 首先由题所给条件计算函数的周期性与对称性，作出函数图像，在上的所有根等价于函数与图像的交点，从两函数的交点找到根之间的关系，从而求得所有根的和.

【详解】

函数为奇函数，所以，则的对称轴为：，

由知函数周期为8，作出函数图像如下：

在上的所有根等价于函数与图像的交点，交点横坐标按如图所示顺序排列， 因为，，所以两图像在y轴左侧有504个交点，在y轴右侧有506个交点，

故选：D

【点睛】

本题考查函数的图像与性质，根据函数的解析式推出周期性与对称性，考查函数的交点与方程的根的关系，属于中档题.

13、（多选）若满足对任意的实数，都有且，则下列判断正确的有（    ）

A．是奇函数

B．在定义域上单调递增

C．当时，函数

D．

答案： BCD

解析： 令，则，即，∴，不可能是奇函数，A错；

对于任意，，若存在，使得，则，与矛盾，故对于任意，，

∴对于任意，，

∵，∴对任意正整数，，∴，

同理，

对任意正有理数，显然有（是互质的正整数），则，

对任意正无理数，可得看作是某个有理数列的极限，而，，∴与的极限，∴，

综上对所有正实数，有，C正确，

设，则，∴，则，∴是增函数，B正确；

由已知，∴，

∴，D正确．

故选：BCD．

14、定义在R上的函数满足，且当时，，则等于___________.

答案：

解析： 令，可得，即，

令，可得，，

，

再令，可得，即，

，，

由题设当时，，

又，

故答案为：