科学思维系列——小船渡河模型 Word版解析版

这是一份高中人教版 (2019)全册综合测试题，共5页。试卷主要包含了三个速度，v水，两个问题等内容，欢迎下载使用。




核心素养提升微课堂


科学思维系列——小船渡河模型








一、三个速度


v船(船在静水中的速度)、v水(水流速度)、v合(船的实际速度)．


二、两个问题


1．渡河时间


(1)船头与河岸成α角时，渡河时间为t＝eq \f(d,v船sin α)(d为河宽)．


(2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝eq \f(d,v船)(d为河宽)．


2．最短航程


(1)若v水




(2)若v水>v船，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．如图②所示，以v水矢量的末端为圆心、以v船矢量的大小为半径画弧，从v水矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，由图可知船头指向上游与河岸的夹角α满足cs α＝eq \f(v船,v水)，最短航程xmin＝eq \f(d,cs α)＝eq \f(v水,v船)d.


【典例】 某条河宽度为700 m，河水均匀流动，流速为2 m/s.若小船在静水中的运动速度为4 m/s，则小船的船头向哪个方向行驶才能恰好到达河的正对岸？渡河时间为多少？


【解析】 如图所示，小船实际的运动是垂直于河流方向的运动，可以将小船实际的运动看做小船斜向上游方向和沿水流方向两个分运动的合运动．由图可见sin α＝eq \f(v2,v1)＝eq \f(2,4)＝0.5，α＝30°





即小船应朝向上游行驶，船头指向与河岸成60 °夹角．由图还可以得到合速度的大小为v＝eq \r(v\\al(2,1)－v\\al(2,2))＝eq \r(42－22) m/s≈3.5 m/s


渡河时间为t＝eq \f(x,v)＝eq \f(700,3.5) s＝200 s.





[拓展] 在【典例】中，若小船行驶的过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸(如图所示)，则渡河的时间是多少？小船到达对岸时向下游偏移了多少？


解析：若行驶的过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸，则渡河的时间为t′＝eq \f(x,v1)＝eq \f(700,4) s＝175 s.


小船到达对岸时向下游偏移了x′＝v2t′＝2×175 m＝350 m.


答案：175 s 350 m





解题通法











小船渡河问题的分析要点


(1)区别三个速度：水流速度v水、船在静水中的速度v船、船的实际速度(即船的合速度)v合．


(2)分清两种情况：


①渡河位移最短：船的实际速度(即船的合速度)与河岸垂直，最短位移为河宽d.


②渡河时间最短：船头垂直于河岸，最短时间tmin＝eq \f(d,v船).





变式训练1 已知河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，且v2>v1，下面用小箭头表示小船船头的指向，则下图中能正确反映小船用最短时间渡河、最小位移渡河的情境分别是( )





A．①② B．①⑤


C．④⑤ D．②③


解析：船的实际速度是v1和v2的合速度，v1与河岸平行，对渡河时间没有影响，所以v2与河岸垂直(即船头指向对岸)时，渡河时间最短，为tmin＝eq \f(d,v2)，式中d为河宽，此时合速度与河岸成一定夹角，船的实际路线应如④所示；由v2>v1知，最小位移即为d，应使合速度垂直河岸，则v2应指向河岸上游，实际路线如⑤所示，综合可得选项C正确．


答案：C


变式训练2 [2019·福州检测]小船要渡过200 m 宽的河面，水流速度是4 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，则下列判断正确的是( )


A．要使小船过河的位移最短，过河所需的时间是50 s


B．要使小船过河的位移最短，船头应始终正对着对岸


C．小船过河所需的最短时间是40 s


D．如果水流速度增大为6 m/s，小船过河所需的最短时间将增大


解析：要使小船过河的位移最短，小船的船头应斜向上游，使小船与水的合速度与河岸垂直，这时合速度v合＝eq \r(v\\al(2,船)－v\\al(2,水))＝3 m/s，船过河所需的时间t＝eq \f(d,v合)＝eq \f(200,3) s，A、B错误；若使船以最短时间渡河，船头必须垂直河岸过河，过河时间tmin＝eq \f(d,v船)＝eq \f(200,5) s＝40 s，C正确；小船过河所需的最短时间与水流速度的大小无关，D错误．


答案：C


变式训练3 一快艇从离岸边100 m远的河流中央向岸边行驶．已知快艇在静水中的速度图像如图甲所示；河中各处水流速度相同，且速度图像如图乙所示．则 ( )





A．快艇的运动轨迹一定为直线


B．快艇的运动轨迹可能为直线，也可能为曲线


C．快艇最快到达岸边，所用的时间为20 s


D．快艇最快到达岸边，经过的位移为100 m


解析：快艇的轨迹一定为曲线运动，A、B两个选项错误，要使得到达河岸的时间最短，则v船应垂直于河岸，s＝eq \f(1,2)at2，解得t＝20 s，C选项正确；快艇最快到达岸边，位移必定大于100 m.


答案：C





变式训练4 河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝eq \f(3,400)x(m/s)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船在静水中的速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法中正确的是( )


A．小船渡河的轨迹为直线


B．小船在河水中的最大速度是5 m/s


C．小船在距离南岸200 m处的速度大小小于它在距北岸200 m处的速度大小


D．小船渡河的时间是160 s


解析：水流的速度与其到较近河岸的距离有关，小船垂直河岸的速度恒定，则小船在沿河岸方向做变速运动，在垂直河岸方向做匀速运动，则小船的合运动为曲线运动，选项A错误；根据v水＝eq \f(3,400)x(m/s)得，小船在河中央时水流速度最大，即为v水＝3 m/s，故小船的最大速度v＝eq \r(v\\al(2,船)＋v\\al(2,水))＝5 m/s，选项B正确；无论小船是在距南岸200 m处还是在距北岸200 m处，水速均为v′水＝1.5 m/s，则小船的合速度大小相等，选项C错误；小船渡河的时间t＝eq \f(d,v船)＝200 s，选项D错误．


答案：B





变式训练5 如图所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2.小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动．第一次出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；第二次出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点，求：


(1)小船在静水中的速度v1的大小；


(2)河水的流速v2的大小；


(3)在第二次渡河时小船被冲向下游的距离sCD.


解析：(1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d，故有v1＝eq \f(d,tmin)＝eq \f(120,60×8) m/s＝0.25 m/s.


(2)设A、B连线与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cs α，此时渡河时间t＝eq \f(d,v1sin α)，所以sin α＝eq \f(d,v1t)＝0.8，故v2＝v1cs α＝0.15 m/s.


(3)在第二次渡河时小船被冲向下游的距离sCD＝v2tmin＝72 m.


答案：(1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m