中考压轴题第1部分 抛物线之等腰 试卷（无答案）

1．（12•扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．










2．（16•新疆）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△DBO∽△EBC；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．











3．（12•临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．












4．（14•达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．
（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．
（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．















5．（12•乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．









6．（15•南昌）如图，已知二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．
（1）函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为　3　，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是　﹣1≤x≤1　．
（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．
（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+1）2+1=0的解．












7．（14•邵阳）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．
（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；
（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；
（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．


















8．（14•遵义）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．








9．（16•山西）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．












10．（13•湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．







11．（12•德阳）在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E．
（1）求经过点D、B、E的抛物线的解析式；
（2）将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交（1）中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF=DG能成立吗？请说明理由；
（3）过（2）中的点F的直线交射线CB于点P，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使△PFE为等腰三角形，求Q点的坐标．











12．（14•长沙）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．











13．（14•丹东）如图1，抛物线y=ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．
（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式．
（2）如图1，当点P的横坐标为时，求证：△OBD∽△ABC．
（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积．
（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．













14．（15•丹东）如图，已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．
（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；
（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．











15．（15•巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．














16．（16•衡阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．
（1）求该抛物线的函数关系表达式．
（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．
（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．











17．（14•济南）如图1，抛物线y=﹣x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．
（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；
（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：
①t为何值时△MAN为等腰三角形；
②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

　
1抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3．
（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
∵点A、B关于直线l对称，∴PA=PB，∴BC=PC+PB=PC+PA
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：
，解得：∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3；当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．
（3）抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：
MA2=m2+4，MC2=（3﹣m）2+1=m2﹣6m+10，AC2=10；
①若MA=MC，则MA2=MC2，得：m2+4=m2﹣6m+10，得：m=1；
②若MA=AC，则MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±；
③若MC=AC，则MC2=AC2，得：m2﹣6m+10=10，得：m1=0，m2=6；
当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．
方法二：
（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3．
（2）连接BC，∵l为对称轴，∴PB=PA，
∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x=1代入lBC：y=﹣x+3，得P（1，2）．
（3）设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），
∵△MAC为等腰三角形，∴MA=MC，MA=AC，MC=AC，
（1+1）2+（t﹣0）2=（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t=1，
（1+1）2+（t﹣0）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t=±，
（1﹣0）2+（t﹣3）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1=6，t2=0，
经检验，t=6时，M、A、C三点共线，故舍去，
综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，），M2（1，﹣），M3（1，1），M4（1，0）．
（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，
作HG⊥AO，垂足为G，∴∠AHG+∠GHO=90°，∠AHG+∠GAH=90°，∴∠GHO=∠GAH，
∴△GHO∽△GAH，∴HG2=GO•GA，
∵A（﹣1，0），C（0，3），∴lAC：y=3x+3，H（﹣，），
∵H为OO′的中点，∴O′（﹣，），
∵D（1，4），∴lO′D：y=x+，lAC：y=3x+3，∴x=﹣，y=，∴Q（﹣，）．

2（1）抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，
（2）由（1）知，抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4），
∵B（3，0），A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴BC=3，BE=2，CE=，
∵直线y=﹣x+1与y轴交于点D，
∴D（0，1），
∵B（3，0），
∴OD=1，OB=3，BD=，
∴，，，
∴，
∴△BCE∽△BDO，
（3）存在，
理由：设P（1，m），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴BC=3，PB=，PC=，
∵△PBC是等腰三角形，
①当PB=PC时，
∴=，
∴m=﹣1，
∴P（1，﹣1），
②当PB=BC时，
∴3=，
∴m=±，
∴P（1，）或P（1，﹣），
③当PC=BC时，
∴3=，
∴m=﹣3±，
∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），
∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）
　




















3．（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，
∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，
又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；
（2）此抛物线的解析式为y=﹣x2+x；
（3）存在；
如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），
①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，
当y=2时，在Rt△P′OD中，∠P′DO=90°，sin∠P′OD==，
∴∠P′OD=60°，
∴∠P′OB=∠P′OD+∠AOB=60°+120°=180°，
即P′、O、B三点在同一直线上，
∴y=2不符合题意，舍去，
∴点P的坐标为（2，﹣2）
②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，
故点P的坐标为（2，﹣2），
③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，
故点P的坐标为（2，﹣2），
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2）．
方法二：
（3）设P（2，t），O（0，0），B（﹣2，﹣2），
∵△POB为等腰三角形，
∴PO=PB，PO=OB，PB=OB，
（2﹣0）2+（t﹣0）2=（2+2）2+（t+2）2，∴t=﹣2，
（2﹣0）2+（t﹣0）2=（0+2）2+（0+2）2，∴t=2或﹣2，
当t=2时，P（2，2），O（0，0）B（﹣2，﹣2）三点共线故舍去，
（2+2）2+（t+2）2=（0+2）2+（0+2）2，∴t=﹣2，
∴符合条件的点P只有一个，∴P（2，﹣2）．

（4）∵点B，点P关于y轴对称，
∴点M在y轴上，设M（0，m），
∵⊙M为△OBF的外接圆，
∴MO=MB，
∴（0﹣0）2+（m﹣0）2=（0+2）2+（m+2）2，
∴m=﹣，M（0，﹣）．


　

4．（1）∵该抛物线经过点A（5，0），O（0，0），
∴该抛物线的解析式可设为y=a（x﹣0）（x﹣5）=ax（x﹣5）．
∵点B（4，4）在该抛物线上，∴a×4×（4﹣5）=4．∴a=﹣1．
∴该抛物线的解析式为y=﹣x（x﹣5）=﹣x2+5x．
（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大．
①当0＜x＜4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示．

∵B（4，4），∴易知直线OB的解析式为：y=x．
设M（x，﹣x2+5x），
过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E（x，x），
∴ME=（﹣x2+5x）﹣x=﹣x2+4x．
S△OBM=S△MEO+S△MEB=ME（xE﹣0）+ME（xB﹣xE）=ME•xB=ME×4=2ME，
∴S△OBM=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8
∴当x=2时，S△OBM最大值为8，即四边形的面积最大．
②当4＜x＜5时，点M在抛物线AB段上时，图略．
可求得直线AB解析式为：y=﹣4x+20．
设M（x，﹣x2+5x），
过点M作ME∥y轴，交AB于点E，则E（x，﹣4x+20），
∴ME=（﹣x2+5x）﹣（﹣4x+20）=﹣x2+9x﹣20．
S△ABM=S△MEB+S△MEA=ME（xE﹣xB）+ME（xA﹣xE）=ME•（xA﹣xB）=ME×1=ME，
∴S△ABM=﹣x2+x﹣10=﹣（x﹣）2+
∴当x=时，S△ABM最大值为，即四边形的面积最大．
比较①②可知，当x=2时，四边形面积最大．
当x=2时，y=﹣x2+5x=6，∴M（2，6）．
（3）由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上．
设P（m，﹣m2+5m），则Q（m，m）
当△PQB为等腰三角形时，
①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2﹣1所示．
过点B作BE⊥PQ于点E，则点E为线段PQ中点，∴E（m，）．
∵BE∥x轴，B（4，4），∴=4，解得：m=2或m=4（与点B重合，舍去）∴m=2；
②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2﹣2所示．
易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，则△PQB为等腰直角三角形．
∴PB∥x轴，∴﹣m2+5m=4，
解得：m=1或m=4（与点B重合，舍去）∴m=1；
③若点Q为顶点，即QP=QB，如答图2﹣3所示．
∵P（m，﹣m2+5m），Q（m，m），∴PQ=﹣m2+4m．
又∵QB=（xB﹣xQ）=（4﹣m），∴﹣m2+4m=（4﹣m），
解得：m=或m=4（与点B重合，舍去），∴m=．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，m的值为1，2或．
　
5．（1）．（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．∴解得：，
∴直线AB的解析式为．∴C点坐标为（0，）
∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），∴直线OB的解析式为y=﹣x．
∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．设P（x，﹣x），
（i）当OC=OP时，．解得，（舍去）．∴P1（，）．
（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P2（，﹣）．
（iii）当OC=PC时，由，解得，x2=0（舍去）．∴P3（，﹣）．
∴P点坐标为P1（，）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．
②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．
设Q（x，﹣x），D（x，）．
S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ•OG+DQ•GH，=DQ（OG+GH），=，
=，
∵0＜x＜3，∴当时，S取得最大值为，此时D（，﹣）．
方法二：（1）略．
（2）①由A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）得lAB：y=﹣x﹣，∴C（0，﹣），
lOB：y=﹣x，设P（t，﹣t），O（0，0），C（0，﹣），
∵△OPC为等腰三角形，∴OP=OC，OP=PC，PC=OC，
（t﹣0）2+（﹣t﹣0）2=（0﹣0）2+（0+）2，∴t1=，t2=﹣（舍），
（0﹣0）2+（0+）2=（t﹣0）2+（﹣t+）2，∴t1=，t2=0（舍），
（t﹣0）2+（﹣t﹣0）2=（t﹣0）2+（﹣t+）2，∴t=，
∴P点坐标为P1（，）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．
②过D作x轴垂线交OB于Q，∵B（3，﹣3），∴lOB：y=﹣x，设D（t，﹣t2+t），Q（t，﹣t），
∵S△OBD=（DY﹣QY）（BX﹣OX），∴S△OBD=（﹣t2+t+t）•（3﹣0）=﹣t2+t，
当t=时，S有最大值，D（，﹣）．
（3）∵△FAB是以AB为斜边的直角三角形，∴∠GOA+∠BOH=90°，
∵BH⊥OH，∴∠OBH+BOH=90°，∴∠GOA=∠OBH，∴△GOA∽△OBH，
∵点F为x轴上一动点，∴设F（m，0），
∵A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3），∴，∴m2﹣2m=0，∴m=0或2，∴F1（0，0），F2（2，0）．

6．（1）∵二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3=a（x﹣1）2+3，∴顶点M坐标为（1，3），
∵a＞0，∴函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为3，
∵二次函数L1的对称轴为x=1，当x＜1时，y随x的增大而减小；
二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1的对称轴为x=﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
∴当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是﹣1≤x≤1；
故答案为：3，﹣1≤x≤1．
（2）由二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3可知E（0，a+3），
由二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1=﹣a2x﹣2ax﹣a+1可知F（0，﹣a+1），
∵M（1，3），N（﹣1，1），∴EF=MN==2，∴a+3﹣（﹣a+1）=2，∴a=﹣1，
作MG⊥y轴于G，则MG=1，作NH⊥y轴于H，则NH=1，∴MG=NH=1，
∵EG=a+3﹣3=a，FH=1﹣（﹣a+1）=a，∴EG=FH，
在△EMG和△FNH中，，∴△EMG≌△FNH（SAS），∴∠MEF=∠NFE，EM=NF，
∴EM∥NF，∴四边形ENFM是平行四边形；
∵EF=MN，∴四边形ENFM是矩形；
（3）由△AMN为等腰三角形，可分为如下三种情况：
①如图2，当MN=NA=2时，过点N作ND⊥x轴，垂足为点D，则有ND=1，DA=m﹣（﹣1）=m+1，
在Rt△NDA中，NA2=DA2+ND2，即（2）2=（m+1）2+12，
∴m1=﹣1，m2=﹣﹣1（不合题意，舍去），
∴A（﹣1，0）．
由抛物线y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）的对称轴为x=﹣1，
∴它与x轴的另一个交点坐标为（﹣1﹣，0）．
∴方程﹣a（x+1）2+1=0的解为x1=﹣1，x2=﹣1﹣．
②如图3，当MA=NA时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G，则有OG=1，MG=3，GA=|m﹣1|，
∴在Rt△MGA中，MA2=MG2+GA2，即MA2=32+（m﹣1）2，
又∵NA2=（m+1）2+12，
∴（m+1）2+12=32+（m﹣1）2，m=2，
∴A（2，0），
则抛物线y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）的左交点坐标为（﹣4，0），
∴方程﹣a（x+1）2+1=0的解为x1=2，x2=﹣4．
③当MN=MA时，32+（m﹣1）2=（2）2，
∴m无实数解，舍去．
综上所述，当△AMN为等腰三角形时，方程﹣a（x+1）2=0的解为
x1=﹣1，x2=﹣1﹣或x1=2，x2=﹣4．


7．方法一：（1）∵y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），
∴x=m或x=n时，y都为0，∵m＞n，且点A位于点B的右侧，∴A（m，0），B（n，0）．
∵m=2，n=1，∴A（2，0），B（1，0）．
（2）∵抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，﹣1），
∴﹣1=mn，∴n=﹣，
∵B（n，0），∴B（﹣，0）．
∵AO=m，BO=，CO=1 ∴AC==， BC==，
AB=AO+BO=m+，
∵（m+）2=（）2+（）2，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°．
（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，
∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，
∴AC==， BC==|n|， AB=xA﹣xB=2﹣n．
①当AC=BC时，=|n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=﹣2；
②当AC=AB时，=2﹣n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=﹣；
③当BC=AB时，|n|=2﹣n，
当n＞0时，n=2﹣n，解得n=，
当n＜0时，﹣n=2﹣n，解得n=﹣．
综上所述，n=﹣2，﹣，﹣，时，△ABC是等腰三角形．
方法二：（1）略
（2）∵C点的坐标是（0，﹣1），∴mn=﹣1，设A（m，0），∴B（﹣，0），∴即，
∵∠AOC=∠CBO=90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO=∠CBO，∴∠ACB=90°．
（3）∵m=2，∴mn=2n，∴C（0，2n），B（n，0），A（2，0）
∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，AB=BC，AC=BC，
∴（n﹣2）2+（0﹣0）2=（2﹣0）2+（0﹣2n）2，∴n1=0，n2=﹣，
（n﹣2）2+（0﹣0）2=（n﹣0）2+（0﹣2n）2，∴n1=，n2=，
（2﹣0）2+（0﹣2n）2=（n﹣0）2+（0﹣2n）2，∴n1=2，n2=﹣2，经检验n=0，n=2（舍）
∴当n=﹣2，﹣，﹣，时，△ABC是等腰三角形．
（4）过点A作BC的平行下交抛物线于点D，
∵m=2，∴n=﹣，∴A（2，0），B（﹣，0），
∵AD∥BC，∴KAD=KBC=﹣2，又A（2，0），∴，
解得x1=﹣2（舍），x2=﹣，∴D1（﹣，），
过点B作AC的平行线交抛物线于点D，∵BD∥AC，
∴KBD=KAC=，又B（﹣，0），∴，解得：x1=﹣（舍），x2=，∴D2（，9），
8．（1）∴y=x2﹣x﹣4．∴C（0，﹣4）．
（2）存在．如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，

∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），
∴AB=4，OA=3，OC=4，∴AC==5，
∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，∴AQ=4．
∵QD∥OC，∴，∴，∴QD=，AD=．
①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，
设AE=x，则EQ=x，DE=AD﹣AE=|﹣x|，
∴在Rt△EDQ中，（﹣x）2+（）2=x2，解得 x=，∴OA﹣AE=3﹣=﹣，∴E（﹣，0），
说明点E在x轴的负半轴上；
②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，
∵ED=AD=，∴AE=，∴OA﹣AE=3﹣=﹣，∴E（﹣，0）．
③当AE=AQ=4时，
1．当E在A点左边时，∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，∴E（﹣1，0）．
2．当E在A点右边时，∵OA+AE=3+4=7，∴E（7，0）．
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．
（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（﹣，﹣）．理由如下：
如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，∴AP=AQ=QD=DP，∴四边形AQDP为菱形，
∵FQ∥OC，∴，∴，∴AF=，FQ=，
∴Q（3﹣，﹣），∵DQ=AP=t，∴D（3﹣﹣t，﹣），
∵D在二次函数y=x2﹣x﹣4上，∴﹣=（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4，
∴t=，或t=0（与A重合，舍去），∴D（﹣，﹣）．
方法二：
（1）略．（2）∵点P、Q同时从A点出发，都已每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC运动．过点Q作x轴垂线，垂足为H．
∵A（3，0），C（0，4），∴lAC：y=x﹣4，
∵点P运动到B点时，点Q停止运动，
∴AP=AQ=4，∴QH=，Qy=﹣，
代入LAC：y=x﹣4得，Qx=，则Q（，﹣），
∵点E在x轴上，∴设E（a，0），
∵A（3，0），Q（，﹣），△AEQ为等腰三角形，
∴AE=EQ，AE=AQ，EQ=AQ，
∴（a﹣3）2=（a﹣）2+（0+）2，∴a=﹣，
（a﹣3）2=（3﹣）2+（0+）2，∴a1=7，a2=﹣1，
（a﹣）2+（0+）2=（3﹣）2+（0+）2，∴a1=﹣，a2=3（舍）
∴点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．

（3）∵P，Q运动到t秒，
∴设P（3﹣t，0），Q（3﹣t，﹣t），
∴KPQ=，KPQ=﹣2，
∵AD⊥PQ，∴KPQ•KAD=﹣1，∴KAD=，
∵A（3，0），∴lAD：y=x﹣，∵y=，
∴x1=3（舍），x2=﹣，∴D（﹣，﹣），
∵DY=QY，即﹣t=﹣，t=，DQ∥AP，DQ=AQ=AP，此时四边形APDQ的形状为菱形．


　


9．（1）抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣8，
∵y=x2﹣3x﹣8=（x﹣3）2﹣，∴抛物线对称轴为直线x=3，
又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（﹣2，0），∴点B坐标（8，0）．
设直线l的解析式为y=kx，
∵经过点D（6，﹣8），∴6k=﹣8，∴k=﹣，∴直线l的解析式为y=﹣x，
∵点E为直线l与抛物线的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为﹣×3=﹣4，∴点E坐标（3，﹣4）．
（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，
此时点F纵坐标为﹣4，∴x2﹣3x﹣8=﹣4，∴x2﹣6x﹣8=0，x=3，
∴点F坐标（3+，﹣4）或（3﹣，﹣4）．
（3）①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形．
∵点E坐标（3，﹣4），
∴OE==5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H．则=，
∴OM=OE=5，∴点M坐标（0，﹣5）．
设直线ME的解析式为y=k1x﹣5，∴3k1﹣5=﹣4，∴k1=，
∴直线ME解析式为y=x﹣5，
令y=0，得x﹣5=0，解得x=15，∴点H坐标（15，0），
∵MH∥PB，∴=，即=，∴m=﹣，
②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形．
∵当x=0时，y=x2﹣3x﹣8=﹣8，∴点C坐标（0，﹣8），∴CE==5，∴OE=CE，
∴∠1=∠2，
∵QO=QP，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴CE∥PB，
设直线CE交x轴于N，解析式为y=k2x﹣8，∴3k2﹣8=﹣4，∴k2=，
∴直线CE解析式为y=x﹣8，令y=0，得x﹣8=0，∴x=6，
∴点N坐标（6，0），
∵CN∥PB，∴=，∴=，∴m=﹣．
综上所述，当m=﹣或﹣时，△OPQ是等腰三角形．


10．（1）y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴对称轴方程为：x=3．

（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；
令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，
∴直线BC的解析式为：y=x+4．

（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC与△COB中，
∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．

（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，
可设点Q（3，t），则可求得：AC===，AQ==，
CQ==．
i）当AQ=CQ时，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；
ii）当AC=AQ时，有=，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，
∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．

方法二：
（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，∴Q（3，t），A（﹣2，0），C（0，4），
∵△ACQ为等腰三角形，∴AC=AQ，AC=CQ，AQ=CQ，
（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2=（3+2）2+（t﹣0）2，无解，
（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2=（3﹣0）2+（t﹣4）2，t=4±，
（3+2）2+（t﹣0）2=（3﹣0）2+（t﹣4）2，t=0，
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．

　



11．（1）∵BE⊥DB交x轴于点E，OABC是正方形，∴∠DBC=∠EBA．
在△BCD与△BAE中，，∴△BCD≌△BAE（ASA），∴AE=CD．
∵OABC是正方形，OA=4，D是OC的中点，
∴A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），∴E（6，0）．
设过点D（0，2），B（4，4），E（6，0）的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，则有：
∴经过点D、B、E的抛物线的解析式为：y=x2+x+2．
（2）结论OF=DG能成立．理由如下：
由题意，当∠DBE绕点B旋转一定的角度后，同理可证得△BCG≌△BAF，∴AF=CG．
∵xM=，∴yM=xM2+xM+2=，∴M（，）．
设直线MB的解析式为yMB=kx+b，
∵M（，），B（4，4），∴，解得，∴yMB=x+6，
∴G（0，6），∴CG=2，DG=4．
∴AF=CG=2，OF=OA﹣AF=2，F（2，0）．
∵OF=2，DG=4，∴结论OF=DG成立．
（3）如图，△PFE为等腰三角形，可能有三种情况，分类讨论如下：
①若PF=FE．∵FE=4，BC与OA平行线之间距离为4，∴此时P点位于射线CB上，
∵F（2，0），∴P（2，4），此时直线FP⊥x轴，∴xQ=2，
∴yQ=xQ2+xQ+2=，∴Q1（2，）；
②若PF=PE．
如图所示，∵AF=AE=2，BA⊥FE，∴△BEF为等腰三角形，
∴此时点P、Q与点B重合，∴Q2（4，4）；
③若PE=EF．
∵FE=4，BC与OA平行线之间距离为4，∴此时P点位于射线CB上，∵E（6，0），∴P（6，4）．
设直线yPF的解析式为yPF=kx+b，
∵F（2，0），P（6，4），∴，解得，∴yPF=x﹣2．
∵Q点既在直线PF上，也在抛物线上，∴x2+x+2=x﹣2，化简得5x2﹣14x﹣48=0，
解得x1=，x2=﹣2（不合题意，舍去）∴xQ=，∴yQ=xQ﹣2=﹣2=．∴Q3（，）．
综上所述，Q点的坐标为Q1（2，）或Q2（4，4）或Q3（，）．

12（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点
∴抛物线的一般式为：y=ax2，∴=a（）2，解得：a=±，
∵图象开口向上，∴a=，∴抛物线解析式为：y=x2，故a=，b=c=0；
（2）设P（x，y），⊙P的半径r=，
又∵y=x2，则r=，化简得：r=＞x2，
∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交；

（3）设P（a，a2），∵PA=，作PH⊥MN于H，则PM=PN=，
又∵PH=a2，则MH=NH==2，故MN=4，
∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），
又∵A（0，2），
∴AM=，AN=，
当AM=AN时，=，解得：a=0，
当AM=MN时，=4，解得：a=2±2，则a2=4±2；
当AN=MN时，=4，解得：a=﹣2±2，则a2=4±2；
综上所述，P的纵坐标为：0或4+2或4﹣2．
方法二：
（3）设P（t，t2），∵r2﹣y2=4，∴MH=NH=2，
∴M（t﹣2，0），N（t+2，0），A（0，2），
∵△AMN为等腰三角形，∴AM=AN，AM=MN，AN=MN，
（t﹣2）2+（2﹣0）2=（t+2）2+（2﹣0）2，∴t=0，
（t﹣2）2+（2﹣0）2=42，∴t=2±2，
（t+2）2+（2﹣0）2=42，∴t=﹣2±2，
①当t=0时，P的纵坐标为0，
②当t=2±2时，PY=（2±2）2=4±2，∴P的纵坐标为4±2，
③当t=﹣2±2时，PY=（2±2）2=4±2，∴P的纵坐标为4±2，
综上所述，P的纵坐标为：0或4+2或4﹣2．

　



13．（1）抛物线表达式：；
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，解得．∴直线BC的表达式：．

（2）如图1，当点P的横坐标为时，把x=代入，得，∴DE=
又∵OE=，∴DE=OE
∵∠OED=90°∴∠EOD=45°
又∵OA=OC=1，∠AOC=90°∴∠OAC=45°∴∠OAC=∠EOD
又∵∠OBD=∠ABC△OBD∽△ABC．

（3）如图2，设点P的坐标为P（x，）∴OE=x，PE==
又∵OE=2PE∴
解得，（不合题意舍去），
∴P、D两点坐标分别为，，
∴PD=OE=
∴，
（4）P1（1，﹣1），，，．
设D（m，m﹣1），则OD2=m2+（﹣1）2=m2﹣m+1，
OC2=1，CD2=m2+（﹣1﹣m+1）2=m2，
当OD=CD时，则m2﹣m+1=m2，解得m1=1，
当OD=OC时，则m2﹣m+1=1，解得m2=，
当OC=CD时，则m2=1，解得m3=，m4=﹣，
∴P1（1，﹣1），，，．













　
14．（1）∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；
（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），
由已知可得，
在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，
在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，
又∵BC=OB+OC=2+8=10，
∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2
∴△ABC是直角三角形．
（3）∵A（0，4），C（8，0），
∴AC==4，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．
（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，∴=，
∵MN∥AC∴=，∴=，
∵OA=4，BC=10，BN=n+2∴MD=（n+2），
∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=BN•OA﹣BN•MD=（n+2）×4﹣×（n+2）2=﹣（n﹣3）2+5，
∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．

　

















15．解：（1）该二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣4；
（2）由二次函数y=x2﹣x﹣4可知对称轴x=3，∴D（3，0），
∵C（8，0），∴CD=5，
由二次函数y=x2﹣x﹣4可知B（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y=kx+b，∴，解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣4，
设E（m，m﹣4），
当DC=CE时，EC2=（m﹣8）2+（m﹣4）2=CD2，
即（m﹣8）2+（m﹣4）2=52，解得m1=8﹣2，m2=8+2（舍去），
∴E（8﹣2，﹣）；
当DC=DE时，ED2=（m﹣3）2+（m﹣4）2=CD2，
即（m﹣3）2+（m﹣4）2=52，解得m3=0，m4=8（舍去），
∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时，（m﹣8）2+（m﹣4）2=（m﹣3）2+（m﹣4）2解得m5=5.5，
∴E（，﹣）．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（8﹣2，﹣）、（0，﹣4）、（，﹣）．

（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，
∵P点的横坐标为m，
∴P点的纵坐标为m2﹣m﹣4，
∵△PBD的面积S=S梯形﹣S△BOD﹣S△PFD=m[4﹣（m2﹣m﹣4）]﹣（m﹣3）[﹣（m2﹣m﹣4）]﹣×3×4
=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+
∴当m=时，△PBD的最大面积为，
∴点P的坐标为（，﹣）．
　








16．解：（1）∵点B是点A关于y轴的对称点，
∴抛物线的对称轴为y轴，∴抛物线的顶点为（0，），故抛物线的解析式可设为y=ax2+．
∵A（﹣1，2）在抛物线y=ax2+上，∴a+=2，解得a=﹣，
∴抛物线的函数关系表达式为y=﹣x2+；

（2）①当点F在第一象限时，如图1，令y=0得，﹣x2+=0，
解得：x1=3，x2=﹣3，∴点C的坐标为（3，0）．
设直线AC的解析式为y=mx+n，则有，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x+．
设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）．
∵点F（p，p）在直线y=﹣x+上，∴﹣p+=p，解得p=1，∴点F的坐标为（1，1）．
②当点F在第二象限时，
同理可得：点F的坐标为（﹣3，3），此时点F不在线段AC上，故舍去．
综上所述：点F的坐标为（1，1）；
（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，则OD=t，OE=t+1．
∵点E和点C重合时停止运动，∴0≤t≤2．
当x=t时，y=﹣t+，则N（t，﹣t+），DN=﹣t+．
当x=t+1时，y=﹣（t+1）+=﹣t+1，则M（t+1，﹣t+1），ME=﹣t+1．
在Rt△DEM中，DM2=12+（﹣t+1）2=t2﹣t+2．
在Rt△NHM中，MH=1，NH=（﹣t+）﹣（﹣t+1）=，∴MN2=12+（）2=．
①当DN=DM时，（﹣t+）2=t2﹣t+2，解得t=；
②当ND=NM时，﹣t+==，解得t=3﹣；
③当MN=MD时，=t2﹣t+2，解得t1=1，t2=3．
∵0≤t≤2，∴t=1．
综上所述：当△DMN是等腰三角形时，t的值为，3﹣或1．


　





17．（1）设平移后抛物线的解析式y=﹣x2+bx，将点A（8，0）代入，
得y=﹣，顶点B（4，3），S阴影=OC×CB=4×3=12．
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（8，0），B（4，3）代入得：直线AB的解析式为y=﹣x+6，作NQ垂直于x轴于点Q，
①当MN=AN时，N点的横坐标为，纵坐标为，
由△NQM和△MOP相似可知，=，
解得t1=，t2=8（舍去）．
当AM=AN时，AN=8﹣t，
由△ANQ和△APO相似可知NQ=（8﹣t），AQ=（8﹣t），MQ=，
由△NQM和△MOP相似可知得：=，解得：t=18（舍去）．
当MN=MA时，∠MNA=∠MAN＜45°，故∠AMN是钝角，显然不成立，故t=．
②方法一：作PN的中点E，连接EM，则EM=PE=PN，
当EM垂直于x轴且M为OQ中点时PN最小，
此时t=3，证明如下：
假设t=3时M记为M0，E记为E0
若M不在M0处，即M在M0左侧或右侧，
若E在E0左侧或者E在E0处，则EM一定大于E0M0，而PE却小于PE0，这与EM=PE矛盾，
故E在E0右侧，则PE大于PE0，相应PN也会增大，
故若M不在M0处时PN大于M0处的PN的值，
故当t=3时，MQ=3，NQ=，
根据勾股定理可求出PM=与MN=，PN=．
故当t=3时，PN取最小值为．
方法二：由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=﹣x+6联立，
得点N的横坐标为xN=，即t2﹣xNt+36﹣xN=0，△=x2N﹣4（36﹣）=0，得xN=6或xN=﹣24，
又因为0＜xN＜8，
所以xN的最小值为6，此时t=3，当t=3时，N的坐标为（6，），此时PN取最小值为．