安徽省当涂一中2021届高三数学周考测试卷（一）文科（2020年11月18）
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一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
- 已知复数，则（ ）
- 已知集合，则( )
- 已知（ ）
- 已知，，则=（ ）
- 已知数列为等差数列，其前项和为，若,则=( )
- 设为单位向量，且的夹角为，若，则在方向上的射影为（ ）
- 已知函数在内是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
- 将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为， 则函数的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
- 函数的大致图象是（ ）
10. 三内角的对边分别为,则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
11. 已知奇函数在上是增函数，.若，，，则的大小关系为
- 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分。
- 设等比数列满足，则的最大值为______．
- 在△中，分别是三内角的对边，且，则角等于
- 定义在上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时，(a∈R)，则f(x)在[0，1]上的最大值为
- 已知函数，是图象上任意一点，过点作直线和轴的垂线，垂足分别为，又过点作曲线的切线，交直线和轴于点.给出下列四个结论：①是定值；②是定值；③（是坐标原点）是定值；④是定值.其中正确的是
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。
- （本小题满分10分）
设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，
(1)求和的通项公式；
(2)设，令，求
- （本小题满分12分）
在中，角所对的边分别是，已知
（1）求角的大小; （2）若，求的最小值。
- （本小题满分12分）
已知
(1)若函数在处取得极值，求的值;
(2)当时，函数在区间上的最小值为1，求在该区间上的最大值。
- （本小题满分12分）
函数的一段图像过点(0,1)，如图所示．
(1)求函数的表达式；
(2)将函数的图像向右平移个单位，得函数的图像，当，求的最小值和最大值。
- （本小题满分12分）
已知函数，
(1)求函数的单调区间.
(2)试问过点可作多少条直线与曲线相切?请说明理由.
- （本小题满分12分）
已知函数，．
（1）记，试判断函数极值点的情况；
（2）若有且仅有两个整数解，求实数的取值范围．
答案与解析
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | A | B | D | D | A | D | B | D | C | C | D |
13 64 14 15 0 16 ①②③
- (1)
（2）
- （1） (2)
当且仅当
- （1） （2） 根据导数分析
20.（1） （2）
21.【解析】(1)由题意得,函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=.
当a≤0时,f′(x)>0恒成立,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),当a>0时,令
f′(x)>0,x>a,令f′(x)<0,0<x<a.
故f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a).
(2)设切点为(m,n),g′(x)= +2,
所以,n=ln m+2m,
所以ln m+-2=0,
令h(x)=ln x+-2,所以h′(x)=,
由导数为0可得,x=2,所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
因为h()>0,h(2)=ln 2-1<0,所以h(x)与x轴有两个交点,
所以过点(2,5)可作2条曲线y=g(x)的切线.
22.【详解】（Ⅰ）由得：
设，则在上单调递增
又，
存在唯一的，使得，即
当时，；当时，
在上单调递减；在上单调递增
为的极小值点，无极大值点
（Ⅱ）由得：，即
①当时，恒成立，有无穷多个整数解，不合题意
②当时，，
， 当时，由（Ⅰ）知：
有无穷多个整数解，即有无穷多个整数解，不合题意
③当时，
i.当时，，又
两个整数解为：
，解得：
ii.当时，
当时，由（Ⅰ）知： 无整数解，不合题意
综上所述：
