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江西省信丰中学2020届高三数学上学期第十二次周考理A层13班2（含解析） 试卷
展开江西省信丰中学2020届高三数学上学期第十二次周考（理A层）（13班）
一、选择题（本大题共6题，每小题5分，总共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）
A． B． C． D．
3.方程与的曲线在同一坐标系中的示意图可能( ）
4．如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，
交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )．
A． B． C． D．
5.直三棱柱的所有顶点都在半径为的球面上，，，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，若椭圆上存在点使得，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
7．等边三角形的边长为a，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为_____
8．已知满足约束条件，且的最小值为6，则常数 ；
9．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为 ___ .
10． 不等式对一切成立，则实数a的取值范围为 .
三、解答题（本大题共3小题,共36分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
11（12分）．如图，在四棱锥中，//，，，平面，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）点为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
12、（13分）已知椭圆的离心率为，且过点，其长轴的左右两个端点分别为A，B，直线与x轴、y轴分别交于两点M，N，交椭圆于两点C，D。
（I）若，求直线的方程：
（II）设直线AD，CB的斜率分别为，若，求k的值。
13．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点．
（1）求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值；
（2）求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值．
数学周考试卷（A层）参考答案
一．选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
答案 | B | B | A | C | D | D |
二．填空题
7．πa3 8。—3 9．答: 10.答案：或
三．解答题
11（法一）（Ⅰ）证明：以A为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则 …3分
又，平面 ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面的一个法向量为， ……8分
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为． ……12分
（法二）（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，∵CD∥AB，∴OB:OD=OA:OC=AB:CD=2
Rt△DAB中，DA=，AB=4，∴DB=，∴DO=DB=
同理，OA=CA=，∴DO2+OA2=AD2，即∠AOD=90o，∴BD⊥AC ……3分
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD ……5分
由AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC ……6分
（Ⅱ）解：连PO，取PO中点H，连QH，则QH∥BO，由（Ⅰ）知，QH⊥平面PAC
∴∠QCH是直线QC与平面PAC所成的角． ……8分
由（Ⅰ）知，QH=BO=，
取OA中点E，则HE=PA=2，又EC=OA+OC=
Rt△HEC中，HC2=HE2+EC2=
∴Rt△QHC中，QC=，∴sin∠QCH=
∴直线与平面所成的角的正弦值为． ……12分
12解：由题意得：，解得。
所以，椭圆方程为。
（1）设，联立方程，得①，
所以，判别式，
因为为①式的根，所以，
由已知得，又，所以，
所以，即，解得。
所求方程为。
（2）由题意得：，所以。
因为，即，平方②，
又，所以，同理，代入②式，
解得，即，
所以
解得或。
又，，所以异号，所以（舍去），
所以。
13【答案】（1） （2）
（1）如图所示，以C为原点，CA、CB、CC1为坐标轴，建立空间直角坐标系
C﹣xyz．
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1）．
所以（﹣2，0，1），（0，﹣2，﹣2）．
所以cos．
即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为．
（2）因为（0，2，0），（2，0，0），（0，0，2），
所以•0，•0，
所以为平面ACC1A1的一个法向量．
因为（0，﹣2，﹣2），（2，0，1），
设平面B1DC的一个法向量为n，n＝（x，y，z）．
由，得
令x＝1，则y＝2，z＝﹣2，n＝（1，2，﹣2）．
所以cos＜n，．
所以二面角B1﹣DC﹣C1的余弦值为．
