【北师大版】2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2.3函数的奇偶性对称性与周期性练习

2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性核心考点·精准研析考点一　函数奇偶性的判断 1.下列函数为奇函数的是 (　　)A.f(x)=　　　　　　    B.f(x)=exC.f(x)=cos x　     D.f(x)=ex-e-x2.已知函数f(x)=3x-,则f(x) (　　)A.是奇函数,且在R上是增加的B.是偶函数,且在R上是增加的C.是奇函数,且在R上是减少的D.是偶函数,且在R上是减少的3.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则 (　　)A.函数f(g(x))是奇函数B.函数g(f(x))是奇函数C.函数f(x)·g(x)是奇函数D.函数f(x)+g(x)是奇函数4.已知定义在R上的函数f(x),对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)-f(x1)=f(x2)+5,则下列命题正确的是 (　　)A.f(x)是奇函数 　　　　  B.f(x)是偶函数C.f(x)+5是奇函数　   D.f(x)+5是偶函数【解析】1.选D.对于A,定义域不关于原点对称,故不是奇函数;对于B, f(-x)=e-x=≠-f(x),故不是奇函数;对于C,f(-x)=cos(-x)=cos x≠-f(x),故不是奇函数;对于D,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),是奇函数.2.选A.因为函数f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x-=-3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.因为函数y=在R上是减少的,所以函数y=-在R上是增加的.又因为y=3x在R上是增加的,所以函数f(x)=3x-在R上是增加的.3.选C.令h(x)=f(x)·g(x),因为函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),所以h(x)=f(x)·g(x)是奇函数.4.选C.取x1=x2=0,得f(0+0)-f(0)=f(0)+5,所以f(0)=-5.令x1=x,x2=-x,则f[x+(-x)]-f(x)=f(-x)+5,所以f(0)-f(x)=f(-x)+5,所以f(-x)+5=-[f(x)+5],所以函数f(x)+5是奇函数.　判断函数奇偶性的方法(1)定义法:利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式:=±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性.(2)图像法:利用函数图像的对称性判断函数的奇偶性.(3)验证法:即判断f(x)±f(-x)是否为0.(4)性质法:在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.考点二　函数的周期性及应用 【典例】1.(2020·南昌模拟)已知函数f(x)=如果对任意的n∈N*,定义fn(x)=,那么f2 019(2)的值为 (　　)A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.32.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-,且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 017)+f(2 019)的值为              (　　)A.0　 B.-4　　  C.-2　　  D.23.(2019·重庆模拟)已知奇函数f(x)的图像关于直线x=3对称,当x∈[0,3]时,f(x)=-x,则f(-16)=________.              【解题导思】序号联想解题1由已知想到周期函数2由f(x+2)=-,想到周期函数3由f(x)的图像关于直线x=3对称,想到f(x)=f(6-x)【解析】1.选C.因为f1(2)=f(2)=1,f2(2)=f(1)=0,f3(2)=f(0)=2,所以fn(2)的值具有周期性,且周期为3,所以f2 019(2)=f3×673(2)=f3(2)=2.2.选A.当x≥0时,f(x+2)=-,所以f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周期.所以f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1,f(2 019)=f(3)=-=-1,所以f(-2 017)+f(2 019)=0.3.根据题意,函数f(x)的图像关于直线x=3对称,则有f(x)=f(6-x),又由函数为奇函数,则f(-x)=-f(x),则有f(x)=-f(x-6)=f(x-12),则f(x)的最小正周期是12,故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.答案:21.抽象函数的周期性(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x+a)=f(x-b),则T=|a+b|.(5)如果f(x)的图像关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|a-b|.(6)如果f(x)的图像关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|a-b|.2.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图像的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.1.(2020·菏泽模拟)定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,f=1,则f的值为 (　　)A.1 B.-1 C.0 D.2【解析】选B.因为函数f(x)的周期为π,所以f=f=f,因为f(x)为奇函数,所以f=-f=-1.2.(2019·长春模拟)已知定义在R上的函数f(x)的周期为6,且f(x)=则f(-7)+f(8)= (　　)A.11  B.  C.7 D.【解析】选A.根据f(x)的周期是6,故f(-7)=f(-1)=-(-1)+1=4, f(8)=f(2)=f(-2)=-(-2)+1=7,所以f(-7)+f(8)=11.3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________. 【解析】因为f(x+4)=f(x-2),所以f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2]即f(x+6)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1).又f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.答案:6考点三　函数性质的综合应用 命题精解读1.考什么:(1)求函数值、解析式或参数值,奇偶性与单调性、奇偶性与周期性交汇等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心素养.2.怎么考:函数奇偶性、单调性、周期性以及对称性(奇偶性质的扩展)等知识单独或交汇考查.学霸好方法奇偶函数对称区间上的单调性奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.求函数值、解析式或参数值【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=________________. 2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x2-x,则当x>0时,f(x)=  (　　)A.2x2-x　　    B.2x2+xC.-2x2-x　    D.-2x2+x【解析】1.因为ln 2>0,所以-ln 2<0,由于f(x)是奇函数,所以f(-ln 2)=-f(ln 2)=-8,即-e(-ln 2)a=-8,解得a=-3.答案:-32.选C.当x>0时,-x<0,f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-2x2-x.1.如何求奇偶函数对称区间上的解析式?提示:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.2.如何求奇偶函数对称区间上的函数值?提示:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.奇偶性与单调性交汇问题【典例】函数f(x)在(-∞,+∞)上是减少的,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是               (　　)A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]【解析】选D.由已知,得f(-1)=1,使-1≤f(x)≤1成立的x满足-1≤x≤1,所以由-1≤x-2≤1得1≤x≤3,即使-1≤f(x-2)≤1成立的x满足1≤x≤3.解决与抽象函数有关的不等式问题的关键是什么?提示:利用题设条件,想办法去掉“f”符号即可解决.奇偶性与周期性交汇问题【典例】(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= (　　)A.-50   B.0  C.2  D.50【解析】选C.f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,图像关于原点对称,满足f(1-x)=f(1+x),则f(x+4)=f(1-(x+3))=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1))=-f(-x)=f(x),所以f(x)是周期为4的函数.又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.如何求解项数较多的式子的值?提示:因为多项式个数较多,可能与函数的周期性有关,可依据题设条件,先探索函数的周期性,再去求解.1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)= 则g(-8)=                                                            (　　)A.-2　 B.-3　　　 C.2 　　 D.3【解析】选A.方法一:当x<0时,-x>0,且f(x)为奇函数,则f(-x)=log3(1-x),所以f(x)=-log3(1-x).因此g(x)=-log3(1-x),x<0,故g(-8)=-log39=-2.方法二:由题意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2.2.(2020·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=,则实数a的取值范围为              (　　)A.(-1,4)   B.(-2,1)   C.(-1,2)  D.(-1,0)【解析】选A.因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,所以f(5)=f(-1)=f(1),即<1,化简得(a-4)(a+1)<0,解得-1<a<4. 3.设函数f(x)=为奇函数,则a=______. 【解析】因为f(x)=为奇函数,所以f(1)+f(-1)=0,即+=0,所以a=-1.答案:-11.(2020·滁州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2 017)+f(2 019)的值为________. 【解析】由题意得,g(-x)=f(-x-1),因为f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,所以g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),所以f(x-1)=-f(x+1),即f(x-1)+f(x+1)=0.所以f(2 017)+f(2 019)=f(2 018-1)+f(2 018+1)=0.答案:02.(2020·榆林模拟)已知f(x)=2x+为奇函数,g(x)=bx-log2(4x+1)为偶函数,则f(ab)= (　　)A.   B.　  C.-  D.-【解析】选D.根据题意,f(x)=2x+为奇函数,则f(-x)+f(x)=0,即+=0,解得a=-1.g(x)=bx-log2(4x+1)为偶函数,则g(x)=g(-x),即bx-log2(4x+1)=b(-x)-log2(4-x+1),解得b=1,则ab=-1,所以f(ab)=f(-1)=2-1-=-.