【精品试卷】2021届高三数学入学调研试题四文（含解析）
展开2021届高三数学入学调研试题（四）文
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．或 C． D．或
3．设，则的值是（ ）
A．1 B．e C． D．
4．已知，则这三个数由小到大的顺序为（ ）
A． B． C． D．
5．若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．要得到函数的图象，只需将函数的图象经过下列两次变换，则下面结论正确的是（ ）
A．先将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再将所得图象向右平移个单位长度
B．先将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度
C．先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍
D．先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍
7．若且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C．6 D．3
9．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面BCD，
若该三棱锥的外接球表面积为，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，，则函数在区间内有（ ）个零点．
A．4038 B．4039 C．4040 D．4041
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数．则函数在处的切线方程为___________．
14．如图，在△ABC中，D，E是BC的两个三等分点，若，
则_______．
15．已知为等差数列的前项和，且，，则______．
16．已知函数在函数的零点个数________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知，，其中．
（1）若且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（12分）已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）求函数在区间的最小值．
19．（12分）设函数．
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）当时，求函数的最值．
20．（12分）已知各项都不相等的等差数列，又构成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和为．
21．（12分）如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，是的中点，在上取一点，过和作平面交于点．
（1）求证：；
（2）已知是边长为4的等边三角形，，且平面平面，，求四棱锥的体积．
22．（12分）已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围．
2021届高三入学调研试卷
文 科 数 学（四）答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】，所以，故选D．
2．【答案】C
【解析】解不等式，得或，
结合四个选项，D是其充要条件，AB是其既不充分也不必要条件，C选项是其充分不必要条件，
故选C．
3．【答案】B
【解析】由分段函数解析式可得，
则，故选B．
4．【答案】A
【解析】因为，
所以这三个数由小到大的顺序为，故选A．
5．【答案】C
【解析】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线到可行域边界的位置，
由此求得目标函数的最小值为，故选C．
6．【答案】D
【解析】得函数的图象，有两种方法，
方法一：先将的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，
再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象；
方法二：先将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得函数的图象，
故选D．
7．【答案】D
【解析】因为，所以，则，
所以，故选D．
8．【答案】C
【解析】因为，所以，解得，，
又，所以，故选C．
9．【答案】A
【解析】令，
则，为奇函数，
又因为为偶函数，的定义域为，
故为奇函数，排除B，C；
因为，
，排除D，
故选A．
10．【答案】B
【解析】对于A选项，双曲线的渐近线为，不符合题意；
对于B选项，双曲线的渐近线为，且过点，符合题意；
对于C选项，双曲线的渐近线为，但不过点，不符合题意；
对于D选项，双曲线的渐近线为，不符合题意，
综上所述，本小题选B．
11．【答案】C
【解析】根据题意，画出图形，
设且外接球球心为O，半径为R，
根据题意，有，解得，
根据题意，有球心O为正三角形的中心，
因为，所以，，所以正三角形的边长为，
，所以，
因为平面平面BCD，所以，
所以，故选C．
12．【答案】B
【解析】，
令，得，，
∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，……且是上的奇函数且，，，，……，
如图所示在同一坐标系下作出与的图象可知：
与的图象在上有2020个交点，在上有2019个交点，
∴函数有4039个交点，
故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】
【解析】，，
，，
故切线方程为，即，
故答案为．
14．【答案】
【解析】已知是的两个三等分点，
则，
已知，则，，
故答案为．
15．【答案】120
【解析】设等差数列的公差为，
根据题意得，解得，，
所以，
故答案为120．
16．【答案】4
【解析】当时，，所以或，
本题转化为上述方程有几解，当时，或，
当时，或，
所以共有四个解，因此零点个数为4个，故填4．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，解得，所以，
又，因为，解得，所以．
当时，，
又为真，，都为真，所以，即．
（2）由是的充分不必要条件，即，，
所以，所以，解得，即．
18．【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）见解析．
【解析】（1）由题可知：，对称轴为，开口向上，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由题可知：，，
对称轴为，开口向上，
当时，函数在单调递增，所以；
当时，函数在单调递减，在单调递增，
所以；
当时，函数在单调递减，所以，
则函数在区间的最小值为．
19．【答案】（1），对称中心是，；（2）的最小值为，最大值为．
【解析】（1）
，
∴的最小正周期是，
由，得，，对称中心是，．
（2）时，，此时．
最大值为，此时，；
最小值为，此时，，
综上，的最小值为，最大值为．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵各项都不相等的等差数列，，
又成等比数列，∴，解得，，
∴数列的通项公式．
（2）∵，
∴数列的前n项和
．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：如图所示，连接交于点，连接，
∵四边形是平行四边形，∴是的中点，
又是的中点，∴，
又平面，平面，所以平面，
又平面平面，所以．
（2）由（1）知，且，，
所以为的中点，为的中点，
延长与交于，则在上，如图：
因为为的中点，所以，所以，，
取的中点，则，
又平面平面，所以平面，
所以到平面的距离为，
∴
．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，，，．
切线方程为，化简得．
曲线在点处的切线方程为．
（2），定义域为，函数在上有两个零点，
即方程在上有两个正根，
即与的图象在上有两个交点，
，令，，
所以在上单调递减，且．
所以当时，中，即，单调递增；
当时，，即，单调递减，
所以，
又知，，
结合与图象可知，若有两个交点只需，
综上可知满足题意的范围为．
